隨機利率下基于O-U過程的商期權(quán)定價*

李敬楠，劉會利

(河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，河北 石家莊 050024)

Black-Scholes(B-S)期權(quán)定價理論所考慮的無風(fēng)險利率被假定為常數(shù)，這樣的假設(shè)在短期期權(quán)中是可以接受的，此時利率只出現(xiàn)在貼現(xiàn)因子中.近年來，市場中出現(xiàn)固定收益衍生品和新型利率衍生品，它們的收益是強烈依賴于利率的.在這些新型衍生品中，利率不僅用于貼現(xiàn)，也出現(xiàn)在衍生品的收益函數(shù)中.因此，有學(xué)者開始研究隨機利率下的期權(quán)定價，創(chuàng)造性地開發(fā)出各種隨機利率模型，如Hull-White利率模型[1]、Vasicek利率模型[2]、Ho-Lee利率模型[3]和CIR利率模型[4]等.還有學(xué)者就這幾種利率模型對期權(quán)的定價問題進(jìn)行了討論[5-8].

Zhang[9]于1998年首次給出了商期權(quán)的定義.商期權(quán)是以2個標(biāo)的資產(chǎn)或者股指指數(shù)或者其他數(shù)量比值為標(biāo)的的期權(quán)，也稱比率期權(quán).Zhang還給出了在B-S框架下2個標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運動的商期權(quán)價格解析式.2016年，楊曉琳等[10]分析了在分?jǐn)?shù)布朗運動環(huán)境下標(biāo)的資產(chǎn)服從跳擴散模型的商期權(quán)定價問題.2017年，張鳴明等[11]研究了基于雙指數(shù)跳擴散和Heston隨機波動率模型的商期權(quán)定價問題.受這些研究工作的啟發(fā)，筆者擬討論標(biāo)的資產(chǎn)價格服從多維指數(shù)O-U過程，利率分別服從Ho-Lee利率模型和擴展的Vasicek利率模型，且具有不確定執(zhí)行價格的商期權(quán)定價問題.

1 市場模型和基本引理

假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格Si(t)(i=1,2)服從如下多維指數(shù)O-U過程:

(1)

其中：μi(t)為第i個標(biāo)的資產(chǎn)預(yù)期收益率；σij(t)(j=1,…,m)為第i個標(biāo)的資產(chǎn)價格波動率，都是時間函數(shù)；αi為常數(shù)；(W1(t),W2(t),…,Wm(t))為測度Q下的m維標(biāo)準(zhǔn)布朗運動.

假設(shè)執(zhí)行價格K(t)是隨機的，且服從如下隨機微分方程：

(2)

其中β(t)和bj(t)為時間函數(shù).

經(jīng)典B-S模型在期權(quán)定價理論的發(fā)展中起到極其重要的作用，在無風(fēng)險利率為常數(shù)及其他一些理想假設(shè)下，利用該模型可以推算出標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)的定價公式.然而在現(xiàn)實世界中，利率通常是具有波動性的，本研究假設(shè)利率服從多維Ho-Lee利率模型和多維擴展的Vasicek利率模型.

多維Ho-Lee利率模型為

(3)

特別地，當(dāng)θ(t)=0,r(0)=r時，(3)式轉(zhuǎn)化為

(4)

從模型(4)可知，利率本身是沒有穩(wěn)定移動趨勢的，只是圍繞波動率波動，其初值為r.模型(4)的解的形式相對簡單，即

(5)

多維擴展的Vasicek利率模型一般形式為

(6)

其中θ(t)，a(t)，σVj(t)為關(guān)于時間的確定函數(shù).(6)式的解

對s由t到T進(jìn)行積分，可得

(7)

引理1[12]設(shè)W(t)=(W1(t),W2(t),…,Wm(t))是概率空間(Ω,F,(Ft)t≥0,Q)上的m維布朗運動，Θ(t)=(θ1(t),θ2(t),…,θm(t))是一個m維適應(yīng)過程，T是給定的正數(shù).定義

引理2[13]假設(shè)資產(chǎn)價格Si(t)(i=1,2)滿足(1)式，則資產(chǎn)價格在t時刻滿足

(8)

引理3[14]假設(shè)執(zhí)行價格K(t)滿足(2)式，則執(zhí)行價格在t時刻滿足

(9)

2 隨機利率下不確定執(zhí)行價格的商期權(quán)定價

定理1假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格Si(t)(i=1,2)服從(1)式，執(zhí)行價格K(t)滿足(2)式，隨機利率r(t)服從(3)式，則到期日為T的看漲商期權(quán)在0時刻的期權(quán)價格

其中：

d12=d11-σ(T);

gj(T,s)=bj(s)-σHj(s)(T-s).

證明由風(fēng)險中性定價原理可得

由(8)式進(jìn)一步計算可得

(10)

首先計算φ1.由(5)，(10)式可得

進(jìn)一步有

(11)

由(9)，(10)式進(jìn)一步計算可得

其中：

于是X1～N(0,σ2(T))，由此可得

(12)

接下來計算φ2.由(5)，(9)式可得

(13)

于是X2～N(0,σ2(T))，從而

(14)

綜合(11)～(14)式可得定理1.證畢.

定理2在定理1的條件下，看跌商期權(quán)在0時刻的期權(quán)價格

定理2的證明可參考定理1.

定理3假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格Si(t)(i=1,2)服從(1)式，執(zhí)行價格K(t)滿足(2)式，隨機利率r(t)服從(6)式，則到期日為T的看漲商期權(quán)在0時刻的期權(quán)價格

其中：

證明其證明思想與定理1的類似，即利用多維Girsanov定理和測度變換，但此時利率模型發(fā)生了變化.由(7)，(10)式可得

由風(fēng)險中性定價原理可得

(15)

于是Y1～N(0,σ2(T))，從而

(16)

再計算φ2.由(7)，(9)式可得

(17)

于是Y2～N(0,σ2(T))，從而

(18)

綜合(15)～(18)式可得定理3.證畢.

定理4在定理3的條件下，看跌商期權(quán)在0時刻的期權(quán)價格

定理4的證明可參考定理3.

3 數(shù)值分析

為了觀察各參數(shù)對商期權(quán)價格c的影響，給出在不同常數(shù)參數(shù)下期權(quán)價格關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)價格和執(zhí)行價格的變化趨勢(圖1～6).實驗中假定m=1，Ho-Lee模型和Vasicek模型中r(0)=0.05，Vasicek利率模型中θ=0.05，a=0.2.

圖1 Ho-Lee模型下c與S1的關(guān)系

接下來分析2個利率模型的波動率對商期權(quán)價格的影響：

假設(shè)S2=100，K=1，從圖1可以看出期權(quán)價格隨標(biāo)的資產(chǎn)價格S1的增長而增長；假設(shè)S1=100，K=1，從圖2可以看出期權(quán)價格隨標(biāo)的資產(chǎn)價格S2的增長而降低；假設(shè)S1=S2=100，從圖3可以看出期權(quán)價格隨執(zhí)行價格K的增長而降低.圖1～3表明，Ho-Lee利率模型的波動率越大，期權(quán)的價格越高.

圖2 Ho-Lee模型下c與S2的關(guān)系

圖3 Ho-Lee模型下c與K的關(guān)系

假設(shè)S2=100，K=1，從圖4可以看出期權(quán)價格隨標(biāo)的資產(chǎn)價格S1的增長而增長；假設(shè)S1=100，K=1，從圖5可以看出期權(quán)價格隨標(biāo)的資產(chǎn)價格S2的增長而降低；假設(shè)S1=S2=100，從圖6可以看出期權(quán)價格隨執(zhí)行價格K的增長而降低.圖4～6表明，Vasicek利率模型的波動率越大，期權(quán)的價格越高.

圖4 Vasicek模型下c與S1的關(guān)系

圖5 Vasicek模型下c與S2的關(guān)系

4 結(jié)語

在資產(chǎn)價格服從指數(shù)O-U過程和執(zhí)行價格是隨機的假設(shè)下,分別給出了Ho-Lee利率模型和擴展的Vasicek利率模型下商期權(quán)的風(fēng)險中性價格公式.值得注意的是，本研究假定多維布朗運動每個分量之間是相互獨立的，因此下一步可以考慮具有相關(guān)性的布朗運動.