構建數學模型 驅動深度學習

楊曉青

（南寧市第四十四中學 廣西 南寧 530219）

教材中的“習題”或“練習”只是知識的簡單運用，一般不需較高的思維過程，屬于“常規(guī)問題”。而深度學習，是相較于淺層學習而言，它是指一種從表到里，從一般到特殊，從現象到本質，再到事物內核，從切身體驗、個人感悟、高階思維，最后達深層理解、探索創(chuàng)新的一個過程。高階思維是高階能力的核心，主要指創(chuàng)新能力、問題求解能力、決策力和批判性思維能力。挖掘學習者的高階思維能力，包括分析能力、評價能力和創(chuàng)造能力的教學實踐是我們教學中需要重點關注和探索的。初中數學階段中，有以下三種類型的問題需要學生具備較高的思維過程，構建數學模型，從而驅動學生深度學習。

1.探究性問題

需通過學生投入到探索與交流的學習活動，經一定探索、研究，深入了解和認識數學對象的本質，并發(fā)現數學規(guī)律和真理的問題。如對象之間的數量關系、圖形性質及變化規(guī)律，數學公式、命題、定理等的探索發(fā)現等問題。

著名的“哥尼斯堡七橋問題”提出后，很多人對此很感興趣，紛紛進行試驗，但始終未能解決，直至大數學家歐拉的出現。他巧妙地把一個實際問題抽象成合理的“數學模型”，即把小島、河岸抽象成“點”，把橋抽象成“線”，接著運用圖中的一筆畫定理為判斷準則，很快地就判斷出要一次不重復走遍哥尼斯堡的7座橋是不可能的。歐拉的成功之處得益于他找到了問題的關鍵，事物的本質，進而構建成數學模型，并運用數學思維解決了問題。

在初中幾何證明中，如果我們能將一些具有一定條件或具有某種特征的基本圖形進行歸納提煉，并賦予它們一個特定稱謂“某某模型”，接著再深入了解這些幾何模型的基本條件和基本結論，那么對解較為復雜的幾何證明中必然能起到事半功倍的效果。特別是需要添加輔助線的幾何證明，很多學生不明白：為什么要添加輔助線？為什么要這樣子添加？其實啊，只有當我們對模型有深刻的理解，能夠抓住題目中已知條件的切入點，聯想到相關聯的模型，從而去構建模型，才能觸動到我們添加輔助線的需求，最終實現突破解題難點。

2.非常規(guī)實際問題

在數學“問題解決”中，部分需將社會生活、生產活動抽取出來，通過構造數學模型、設計求解模型的方法，由學生發(fā)現、設計、創(chuàng)新，應用數學思想或方法來解決的實際問題。把實際問題經過抽象轉化，構建數學模型，是解決實際問題的重要途徑。在這一過程中，強化和提升學生在理解問題、分析問題、解決問題、運用反饋、構建模型等學習能力，學會數學地思維的過程。

（1）當運動員運動到離A處的水平距離為4米時，離水平線的高度為8米，求拋物線C2的函數解析式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；

（2）在（1）的條件下，當運動員運動的水平距離為多少米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米？

（3）當運動員運動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過3米時，求b的取值范圍．

這道題來自九年級上冊數學課本P43數學問題的改編。通過建立直角坐標系，以解決投物、射擊、噴灌等物體運動軌跡的某種規(guī)律，或者變量之間具有的某種函數關系的實際問題，可透過實際問題的背景，抓住本質，挖掘隱含的數量關系，抽象成函數的增減性或極值模型等。

3.開放性問題

答案不唯一或在設問方式上要求學生從各層面、角度進行探索，具有多種不同的解法、或者多種可能解答的問題。如條件開放、結論開放等數學問題。

3.1 條件開放的類型

此類題目一般給定結論，缺少條件或者條件不全，需要學生從結論出發(fā)，推導出必要的條件。?？碱}型有：添加一個條件__________________，使得某兩個三角形全等。

3.2 結論開放的類型

此類題目一般給出問題的已知條件，讓學生根據條件大膽地猜測所有可能的結論，最后小心地求證，最后得出正確的結論。?？碱}型有：說明這些角或線段之間的關系（位置關系或數量關系），并說明理由。

3.3 條件和結論都開放的類型

此類題目一般沒有明確的條件和結論，學生需要深挖出幾個關系式之間具有什么內在的聯系，將它們串聯起來后，嘗試得到什么樣的結論。這就非?？简瀸W生對基本模型的深刻了解，包括它的基本圖形特征、基本條件、基本結論。?？碱}型有：有三個關系式，試用其中兩個作為條件，另一個作為結論，接著再去證明其正確性，即我們常說的，知二求一。在我們初中數學課本上的幾何命題中也有類似這樣的推論：比如：等腰三角形的三線合一；圓的兩條弦、兩條弧、所對的圓心角之間的推論。

3.4 編制開放型

此類題目一般是僅僅提供一種問題情境，或者只是告訴我們需要得到一種什么效果，至于已知條件、結論、解題思路、解題方法都沒有明確給出。這種類型就更具有開放性了。例如：在如圖所示的三個函數圖象中，有兩個函數圖象能近似地刻畫如下a，b。

兩個情境：

情境a：小紅離開家不久，發(fā)現把鑰匙忘在家里，于是返回了家里找到了鑰匙再去學校；

情境b：小紅從家出發(fā)，走了一段路程后，為了趕時間，以更快的速度前進。

（1）情境a，b所對應的函數圖象分別是___________、___________（填寫序號）；

（2）請你為剩下的函數圖象寫出一個適合的情境。

點評：主要考查學生的觀察圖形的能力，同時也考查了學生的表達敘述能力，培養(yǎng)學生數形結合思想。這道題還有別于其他解決實際問題的題目，因為它是給出數學函數模型，讓學生從模型中找到數量之間的邏輯關系，并且能夠用文字形式嚴謹、準確地表達自己的觀點。這種逆向思維的考查方式更能鍛煉學生應用能力和創(chuàng)新能力。

以上的三大類型，都在告訴我們一個道理：應用數學知識解決以上的數學問題時，構建數學模型是很關鍵的第一步，同時也是學生學習最害怕的一步。甚至有學生感覺建模高深莫測，實際上，很多學生大量刷題卻很少進行收集整理、歸納總結、反思內化，而構建模型就是我們在掌握基礎知識、方法和思路基礎之上的提煉和升華，是經驗的總結和積累。在日常學習課本中或者課外拓展學習中或者老師課上的補充，我們都或多或少地接觸到模型，老師也會潛移默化地灌輸模型思想。只是有些題目中包含的模型顯而易見且比較簡單，學生基本上一眼就看出來，并且能更好地運用。而有一些題目包含的模型比較隱蔽且復雜，甚至是一些殘缺圖形，需要添加輔助線的，在解決問題時，很多學生就找不到構建模型的切入點了，可是當別人告知原理，梳理出模型時，又恍然大悟，似乎明白了。但是下一次遇到類似的題目，仍然沒有任何頭緒，因此學生才會“忘型生怯”，無從下手。教學過程的重點是創(chuàng)造一個環(huán)境去誘導學生的學習欲望、培養(yǎng)他們的自學能力，增強他們的數學素質和新能力，提高他們的數學素質，強調的是獲取新知識的能力，是解決問題的過程，而不是知識與結果。而這一過程，恰恰就是學生進行深度學習的過程。

初中數學深度學習是指在教師引領下，學生圍繞具有挑戰(zhàn)性的數學學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的數學學習過程。下面我先以2019年南寧市的一道中考題為例，談談如何在建模過程中，驅動學生深度學習。

3.5 原題呈現

（2019年南寧市中考第25題）如圖1，在正方形ABCD中，點AB邊上的一個動點（點E與點A,B不重合），連接CE，過點B作BF⊥于點G，交AD于點F。

圖1

（1）求證： △ABF≌△BCE;

（2）如圖2，當點E運動到AB中點時，連接DG，求證：DC=DG；

圖2

（3）如圖3，在（2）的條件下，過點C作CM⊥DG于點H，分別交AD,BF于點M,N, 求H的值。

圖3

3.6 解法分析

第（1）問：考查較為熟悉的正方形中的十字模型——知垂直，證全等。

第（2）問：要證線段相等，常用的方法有：證全等、等角對等邊、等腰三角形的三線合一、等面積法、勾股定理、相似三角形、銳角三角函數等。方法很多，反倒會讓學生無所下手，因此，抓住題目中已知條件的切入點——中點，進行模型的聯想（添加輔助線，完善模型），是突破此題的關鍵。

下面介紹解決本題的幾種方法。

解法一：由已知條件點E為AB中點+平行，可聯想構造“全等三角形”，再由直角三角形的性質得出線段相等。

解法二：由已知條件點E為AB中點+直角，可聯想構造“全等三角形”解決。

解法三：由已知條件點E為AB中點+平行，可聯想構造“平行四邊形”，再由另一組的中點+平行，得出線段相等，從而得出三角形全等，由全等三角形的性質得出線段相等。

解法四：由已知條件點E為AB中點，可聯想到線段成比例，再結合正方形的對邊平行，可聯想構造“相似三角形”模型解決。

解法五：由已知條件點E為AB中點，可聯想到線段成比例，通過計算得出線段相等，從而得出三角形全等，由全等三角形的性質得出線段相等。

解法六：運用解析幾何法來求線段的長度。建立平面直角坐標系，求出關鍵點的坐標，最后根據兩點間距離公式來解決。需要說明的是：兩點間距離公式的運用屬于超綱內容，不到十萬分火急的情況，盡量不要使用。

第（3）問：延續(xù)第（2）問的思路去解決就不難了。通過設未知數，然后盡可能多的表示出其他的線段，構造相似三角形，建立等量關系，從而求出未知數。這種解題思路是比較常規(guī)的，但學生苦于計算，因為放在這個位置的計算難度較大。

3.7 解題反思

我認為，可以從以下幾方面去關注。

（1）構建“問題式”的深度學習課堂

學生的思維活動狹義地說，就是在“發(fā)現問題——提出問題——分析問題——解決問題”的過程中得到發(fā)展。因此，我們的課堂教學要以學生的問題的主線，以學科的問題為本質，以老師的問題為導向，通過有層次、有內在聯系、可啟發(fā)、可遷移、可拓展的一系列問題來貫穿整個學習過程。在學生未能找到模型時，老師的穿針引線就很關鍵。老師提出的問題必須精準，能夠幫助學生快速地在眾多已知條件當中找到切入點，以此打開學生思維的大門。

（2）培養(yǎng)學生主動構建模型的解題意識

學習從來都是“我要學”，而非“要我學”，因此老師在培養(yǎng)學生模型思想的時候，一定要注意，切莫直接灌輸，強加給學生。在平時教學中，老師要盡量讓學生主動參與到探索模型的教學活動，深刻理解并找到了關鍵條件，從而歸納總結出模型。在這一過程中，學生不僅得到切身體驗，還獲取了情感的升華，這有助于學生遇到圖形會主動展開豐富的模型聯想，使得添加輔助線就更具有方向性和目的性了。在構建模型解決問題的過程中，我們從不同的已知條件作為切入點，就有可能聯想到不同的模型，也就形成了多種的解題方法。

（3）多方位培養(yǎng)學生應用意識和創(chuàng)新意識

古人云“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，這句話也可以理解為：同一道題，當我們研究的角度不一樣的時候，可能得到的解題方法就多種多樣?！耙活}多變、一題多解、多題歸一”都是培養(yǎng)學生思維發(fā)展的好方法以及歸納總結能力的好方式?！耙活}多變”培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維，“一題多解”培養(yǎng)學生發(fā)散思維，“多題一解”培養(yǎng)學生歸納總結的能力。我們要求學生解決問題要想得深、想得寬、想得透，目的不是在于“多變、多解、歸一”，而是思維的“多層次”。只有多角度地挖掘題目已知條件，找到解題切入點，聯想到相關模型，并嘗試從不同的角度去尋找解題方法，從而培養(yǎng)學生的探究精神、應用意識和創(chuàng)新意識。