小彈目速度比下攔截高超聲速飛行器微分對策制導(dǎo)律研究

劉雙喜，王一沖，朱夢杰，李 勇，閆斌斌

（1.西北工業(yè)大學(xué)無人系統(tǒng)技術(shù)研究院，陜西西安 710072；2.上海機(jī)電工程研究所，上海 201109；3.西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，陜西西安 710072）

0 引 言

隨著空天技術(shù)的不斷發(fā)展，世界各國之間的軍事競爭范圍逐漸擴(kuò)大到外層空間。高超聲速飛行器憑借其攻擊速度快、飛行距離遠(yuǎn)、可多平臺發(fā)射、具備一定的機(jī)動能力等特點(diǎn)，可以對各類軍事目標(biāo)實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)程快速打擊，極大地增加突防和摧毀目標(biāo)的概率，完成常規(guī)導(dǎo)彈無法完成的任務(wù)，這給現(xiàn)有的防空反導(dǎo)防御系統(tǒng)帶來了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。

比例導(dǎo)引律（proportional navigation guidance，PNG）因其形式簡單、易于實(shí)現(xiàn)，而被廣泛應(yīng)用。楊佳等采用高拋彈道攔截的設(shè)計(jì)思路，將攔截彈拋射到較高的空域，采用修正比例導(dǎo)引法實(shí)現(xiàn)對高超聲速飛行器的攔截任務(wù)。于志鵬等基于末角約束比例導(dǎo)引法，設(shè)計(jì)出空基攔截彈復(fù)合制導(dǎo)律，充分利用攔截彈中制導(dǎo)段過載承受能力，有效地加快了攔截彈達(dá)到期望末視線角的速度，能夠?qū)Φ湫蜋C(jī)動目標(biāo)實(shí)施有效攔截。邵節(jié)等在擴(kuò)展比例導(dǎo)引律的基礎(chǔ)上，采用模糊邏輯理論，使導(dǎo)彈在攔截過程中能夠有效地跟蹤彈目視線角速率的變化及目標(biāo)的機(jī)動加速度，實(shí)現(xiàn)高效攔截。張佳梁等基于非線性反演方法，在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中引入已知的控制回路時間常數(shù)信息，并對有效導(dǎo)航比系數(shù)進(jìn)行修正。周覲等針對高超聲速飛行器攔截問題，通過分析攔截彈速度前置角和目標(biāo)速度前置角的變化關(guān)系，給出了真比例導(dǎo)律下攔截彈可攔截區(qū)域數(shù)值計(jì)算結(jié)果。然而，PNG 及以其為基礎(chǔ)的改進(jìn)型制導(dǎo)律對靜止或勻速目標(biāo)的制導(dǎo)效果較好，對于高速、大機(jī)動目標(biāo)，則需要準(zhǔn)確的目標(biāo)加速度信息，而不準(zhǔn)確的目標(biāo)加速度信息會對制導(dǎo)效果產(chǎn)生極大影響，因而適用范圍受到了一定的限制。

近年來，隨著現(xiàn)代控制理論和非線性控制理論的興起，基于滑模理論的制導(dǎo)律也在高超聲速飛行器攔截中得到廣泛的應(yīng)用。Liu 等基于零化視線角速率方法，將分?jǐn)?shù)階算子引入滑模面中，設(shè)計(jì)了一種小彈目速度比下攔截高超聲速飛行器的分?jǐn)?shù)階滑模制導(dǎo)律，實(shí)現(xiàn)對高超聲速飛行器的高精度攔截。Chen等采用高階滑模觀測器對目標(biāo)機(jī)動信息進(jìn)行估計(jì)，并結(jié)合虛擬控制思想，提出針對高超聲速飛行器制導(dǎo)控制一體化的方法。為了減小彈目相對運(yùn)動速度并且降低對攔截彈的過載能力要求，司玉潔等采用連續(xù)快速雙冪次趨近律，提出有限時間收斂的三維前向攔截自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律。楊峰將高超聲速飛行器的攔截問題轉(zhuǎn)化為視線角速率（或視法向速度）的有限時間魯棒控制問題，采用通用super-twisting 算法進(jìn)行了三維制導(dǎo)律設(shè)計(jì)。然而，在設(shè)計(jì)基于滑模理論的制導(dǎo)律過程中，大多數(shù)情況需要假設(shè)目標(biāo)機(jī)動形式已知，對目標(biāo)加速度信息依賴性強(qiáng)，導(dǎo)致制導(dǎo)參數(shù)選取比較困難，且在制導(dǎo)末端容易發(fā)生抖振現(xiàn)象，亦沒有考慮最優(yōu)特性來保證導(dǎo)彈能夠在中遠(yuǎn)程距離執(zhí)行任務(wù)。

微分對策制導(dǎo)律對于精確目標(biāo)加速度信息的依賴程度較小，制導(dǎo)過程中只需要目標(biāo)的機(jī)動能力信息，而不需要精確的目標(biāo)加速度信息。微分對策理論，是一種雙邊最優(yōu)理論，即考慮“追-逃”雙方的最優(yōu)策略。如果“追-逃”雙方有一方不動，而只把另一方按照某個代價函數(shù)的最小或最大帶到目標(biāo)位置，則稱為最優(yōu)控制；如果雙方都在運(yùn)動，且一方要求目標(biāo)函數(shù)最小，另一方要求目標(biāo)函數(shù)最大，那么兩方如何運(yùn)動的對策問題就稱為微分對策理論。微分對策理論不斷地被應(yīng)用到很多軍事背景問題中，比如目標(biāo)的攔截、對攔截的規(guī)避、軍事策略的制定等。Shima基于線性時變微分對策追逃模型，推導(dǎo)用于攔截彈道導(dǎo)彈的微分對策制導(dǎo)律，并詳細(xì)分析了能夠?qū)崿F(xiàn)零脫靶量的條件。Shinar在設(shè)計(jì)微分對策制導(dǎo)律的過程中，對制導(dǎo)信息的延遲進(jìn)行了研究，并通過仿真實(shí)驗(yàn)證明了其在制導(dǎo)信息延遲環(huán)境仍然具有穩(wěn)定的跟蹤效果?；ㄎ娜A等通過選取合適的狀態(tài)變量對速度可控導(dǎo)彈模型進(jìn)行合理線性化，推導(dǎo)出微分對策制導(dǎo)律形式，對帶有攻擊角約束的情形進(jìn)行了微分對策問題的指標(biāo)設(shè)計(jì)，還通過系統(tǒng)的降階實(shí)現(xiàn)了解析形式的制導(dǎo)律求解。孫磊等針對具有主動博弈突防能力的高超聲速目標(biāo)攔截場景，采用基于雙啟發(fā)式的自適應(yīng)動態(tài)規(guī)劃算法，對連續(xù)非線性系統(tǒng)的微分對策納什均衡解進(jìn)行求取來設(shè)計(jì)相應(yīng)的制導(dǎo)律。許佳駱等針對延遲信息條件下的機(jī)動目標(biāo)攔截問題，設(shè)計(jì)出一種考慮目標(biāo)加速度方向觀測的微分對策制導(dǎo)律。

本文針對高超聲速飛行器速度快、機(jī)動能力強(qiáng)的特點(diǎn)，基于微分對策理論，利用狀態(tài)依賴?yán)杩ㄌ岱匠蹋╯tate-dependent Riccati equation，SDRE）方法研究了小彈目速度比下高超聲速飛行器攔截問題，將高超聲速飛行器攔截問題轉(zhuǎn)化為狀態(tài)依賴參數(shù)（state-dependent coefficient，SDC）和代數(shù)黎卡提方程的求解，給出了基于狀態(tài)依賴?yán)杩ㄌ岱匠谭椒ㄎ⒎謱Σ咧茖?dǎo)律（SDRE-DG）。通過對比比例制導(dǎo)律和自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律，證明了所設(shè)計(jì)的微分對策制導(dǎo)律在小彈目速度比下攔截高超聲速飛行器的可行性及優(yōu)越性。

1 問題描述

為了準(zhǔn)確地分析微分對策問題，對攔截制導(dǎo)律進(jìn)行求解，需要對攔截彈與高超聲速飛行器的相對運(yùn)動關(guān)系進(jìn)行建模分析。末制導(dǎo)階段縱向平面內(nèi)彈目相對運(yùn)動關(guān)系如圖1所示。

圖1 縱向平面內(nèi)彈目運(yùn)動關(guān)系Fig.1 Relative motion in the longitudinal plane

圖1中，攔截彈用M表示，高超聲速飛行器用T表示。表示慣性坐標(biāo)系，表示彈目相對距離，表示彈目視線角。、、分別表示攔截彈的速度、彈道傾角和法向加速度；、、分別表示高超聲速飛行器的速度、彈道傾角和法向加速度。

攔截彈的運(yùn)動學(xué)模型可表達(dá)為

本文基于“零化視線角速率”的方法，設(shè)計(jì)微分對策制導(dǎo)律對高超聲速飛行器實(shí)施精準(zhǔn)打擊。因此，本文的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)任務(wù)可以歸納為：基于微分對策理論，設(shè)計(jì)合理的制導(dǎo)指令使lim?=0（其中，表示攔截時刻時間）。

2 微分對策制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2.1 制導(dǎo)律性能指標(biāo)設(shè)計(jì)

由式（4）可知，影響攔截彈制導(dǎo)精度的因素只和?有 關(guān)。因 此，選 取 狀 態(tài) 變 量∈R，令=?，針 對式（4），建立攔截彈和高超聲速飛行器的微分方程，可表示為

式中：>0表示高超聲速飛行器相對于攔截彈的機(jī)動能力大小，值越大，表示高超聲速飛行器機(jī)動能力越?。?) 表示與視線角速率相關(guān)的權(quán)重系數(shù)；()和()分別表示和攔截彈與高超聲速飛行器機(jī)動指令相關(guān)的權(quán)重系數(shù)。

由式（7）可知，對于攔截彈M，應(yīng)該選擇最佳指令，使得性能指標(biāo)函數(shù)取得最小值；而對于高超聲速飛行器T，應(yīng)選擇最佳指令，使性能指標(biāo)函數(shù)取得最大值。

2.2 SDRE-DG制導(dǎo)律求解

目前，求解微分對策最常用方法是梯度迭代法，然而該方法計(jì)算工作復(fù)雜，并且會遇到難以求解的兩點(diǎn)邊值的問題，嚴(yán)重影響制導(dǎo)律計(jì)算的快速性和有效性。SDRE方法是一種基于狀態(tài)反饋的非線性控制方法，其基本思想是將非線性系統(tǒng)方程通過系統(tǒng)狀態(tài)相關(guān)的矩陣偽線性化得到線性二次型調(diào)節(jié)器（linear quadratic regulator，LQR）方法類似控制器形式并求解得到其解析解。本文采用SDRE方法對微分對策制導(dǎo)律進(jìn)行求解，可以將高超聲速飛行器攔截問題轉(zhuǎn)化為SDC和代數(shù)黎卡提方程的求解，這樣不僅可以滿足計(jì)算的快速性和性能指標(biāo)的要求，還可以舍去黎卡提方程的微分項(xiàng)以避免在制導(dǎo)指令中出現(xiàn)剩余時間估計(jì)。

對于式（5），假設(shè)()=0，則()可以表示為()=()。那么，式（5）就轉(zhuǎn)化為所需要的SDC形式，可表示為

觀察可知，上式制導(dǎo)律中不需要計(jì)算攔截彈剩余飛行時間，并且在制導(dǎo)律計(jì)算過程中綜合考慮了攔截彈和目標(biāo)之間的運(yùn)動，充分體現(xiàn)了攔截彈和目標(biāo)之間的博弈對抗關(guān)系。制導(dǎo)律中包含了目標(biāo)的機(jī)動能力，并且不需要提前知道目標(biāo)具體的機(jī)動形式，具有一定的工程實(shí)現(xiàn)價值。

3 仿真分析

基于SDRE-DG 的微分對策制導(dǎo)律仿真框圖如圖2所示。

圖2 制導(dǎo)律仿真框圖Fig.2 Block diagram of the proposed guidance law simulation

為了對本文所設(shè)計(jì)的微分對策制導(dǎo)律的可行性進(jìn)行分析，假設(shè)仿真環(huán)境是理想條件，即：，，是可以實(shí)時精準(zhǔn)測量的；，，?是可以實(shí)時精準(zhǔn)預(yù)測的。攔截彈和高超聲速飛行器的仿真初始條件如表1所示。

表1 仿真初始條件Tab.1 Initial conditions of simulation

此外，為了驗(yàn)證SDRE-DG 微分對策制導(dǎo)律算法的優(yōu)越性，將比例導(dǎo)引律PNG和文獻(xiàn)［23］中自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律（adaptive sliding-mode guidance，ASMG）的仿真結(jié)果作為參考，進(jìn)行對比分析。分別針對高超聲速飛行器不機(jī)動、進(jìn)行常值機(jī)動及不同彈目速度比3種不同攔截場景開展實(shí)驗(yàn)。攔截彈的最大法向過載為12，各制導(dǎo)律下的攔截彈法向過載表達(dá)為

表2 制導(dǎo)律參數(shù)Tab.2 Guidance parameters

3.1 高超聲速飛行器不機(jī)動情況

當(dāng)高超聲速飛行器不機(jī)動時，3 種制導(dǎo)律的仿真結(jié)果如表3和圖3所示。

圖3 高超聲速飛行器不機(jī)動時仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results when hypersonic vehicle is not maneuvering

表3 高超聲速飛行器不機(jī)動時分析結(jié)果Tab.3 Analysis results when hypersonic vehicle is not maneuvering

由仿真結(jié)果可知，采用PNG時脫靶量最大，并且視線角速率隨著制導(dǎo)時間的增大逐漸呈現(xiàn)出發(fā)散的趨勢。由于比例導(dǎo)引律的制導(dǎo)指令和視線角速率成正比關(guān)系，導(dǎo)致攔截器的需用過載隨著制導(dǎo)時間的增加而增大，這樣的過載分布對于攔截器來說具有很大的缺陷。采用ASMG和SDRE-DG兩種制導(dǎo)律時，攔截彈均能成功攔截目標(biāo)，脫靶量分別為0.699 9 m和0.302 5 m，并且在攔截時刻視線角速率均趨于0，符合制導(dǎo)律設(shè)計(jì)任務(wù)要求。但采用SDRE-DG的攔截彈道相對于ASMG的攔截彈道更加平直，所消耗的能量最小，并且視線角速率和法向加速度的收斂速度略勝一籌。

3.2 高超聲速飛行器機(jī)動

假設(shè)高超聲速飛行器法向加速度變化規(guī)律為2sin(π/3+π/4)，3種制導(dǎo)律的仿真結(jié)果如表4和圖4所示。

表4 高超聲速飛行器常值機(jī)動時分析結(jié)果Tab.4 Analysis results when hypersonic vehicle is maneuvering

圖4 高超聲速飛行器常值機(jī)動時仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results when hypersonic vehicle is maneuvering

由仿真結(jié)果可知，攔截彈在3 種制導(dǎo)律的導(dǎo)引下均可成功攔截目標(biāo)。采用SDRE-DG 時，攔截精度最高，所消耗的能量最少，并且在視線角速率和法向加速度收斂方面的優(yōu)勢更為明顯，攔截彈道更加平直。

3.3 不同彈目速度比

從前面的分析可以看出，SDRE-DG具有攔截精度高、末端過載小、彈道平直等優(yōu)勢。定義=：，表示彈目（攔截彈和高超聲速飛行器）速度比，分別分析5種不同彈目速度比下，PNG和SDRE-DG兩種制導(dǎo)律的制導(dǎo)性能，攔截彈和高超聲速飛行器的仿真初值與3.1節(jié)一樣，仿真結(jié)果如表5及圖5～6所示。

表5 不同彈目速度比下仿真分析Tab.5 Simulation analysis of the different missile-to-target speed ratios

圖5 不同彈目速度比下仿真結(jié)果（PNG）Fig.5 Simulation results of the different missile-to-target speed ratios（PNG）

圖6 不同彈目速度比下仿真結(jié)果（SDRE-DG）Fig.6 Simulation results of the different missile-to-target speed ratios（SDRE-DG）

由仿真結(jié)果可知，當(dāng)彈目速度比小于（2∶3）時，PNG 無法滿足攔截任務(wù)需求，而SDRE-DG 在不同彈目速度比下均可成功攔截目標(biāo)，且同等條件下的制導(dǎo)精度和消耗能量均優(yōu)于PNG，在小彈目速度比下具有較好的攔截效果。法向加速度分布方面，采用PNG時，隨著彈目速度比的減小，法向過載的飽和時間在逐漸后移；采用SDRE-DG 時，隨著彈目速度比的減小，法向過載在制導(dǎo)初期的飽和時間也逐漸減小，并且在攔截時刻趨于0。視線角速率分布方面，視線角速率隨著彈目速度比的減小而逐漸增大，呈現(xiàn)出發(fā)散的趨勢，由于PNG 和視線角速率成正比關(guān)系，導(dǎo)致制導(dǎo)精度逐漸降低；采用SDRE-DG 制導(dǎo)律可以保證攔截彈在不同彈目速度比下的視線角速率在攔截時刻趨于0，在保證了制導(dǎo)精度的同時也滿足了制導(dǎo)任務(wù)需求。

4 結(jié)束語

本文針對高超聲速飛行器攔截問題，設(shè)計(jì)了小彈目速度比下攔截高超聲速飛行器微分對策制導(dǎo)律。該制導(dǎo)律選取攔截彈與高超聲速飛行器視線角速率為狀態(tài)量進(jìn)行推導(dǎo)，給出了基于狀態(tài)依賴?yán)杩ㄌ岱匠谭椒ㄎ⒎謱Σ咧茖?dǎo)律（SDRE-DG）解析解形式，并針對高超聲速飛行器不機(jī)動、進(jìn)行常值機(jī)動及和不同彈目速度比下3種情況進(jìn)行仿真驗(yàn)證。本文所設(shè)計(jì)的微分對策制導(dǎo)律具有對高超聲速飛行器攔截精度高、機(jī)動不敏感及攔截末端需用過載小的特點(diǎn)，攔截性能優(yōu)于比例制導(dǎo)律和自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律的攔截性能，在小彈目速度比下的攔截場景中更有優(yōu)勢。