帶P-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解的唯一性

楊可麗，吳克晴

(江西理工大學(xué)理學(xué)院，江西 贛州 341000)

0 引言

分?jǐn)?shù)階微分方程理論因其廣泛的應(yīng)用而日趨完善，并取得了許多有意義的成果[1-7].P-Laplacian算子出現(xiàn)在非牛頓流體中的非線性現(xiàn)象，可以建立復(fù)雜的過程模型，中外學(xué)者越來越重視對于含有P-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階邊值問題可解性的研究[8-13].利用非線性泛函分析技術(shù)來研究分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題已有大量文獻(xiàn).但是，運(yùn)用算子方程的不動點(diǎn)定理來研究帶P-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解的相關(guān)文獻(xiàn)較少見.

TUDORACHE等[4]研究了帶參數(shù)的Riemann-Liouville型奇異分?jǐn)?shù)階微分方程：

(1)

具有非局部邊界條件：

利用相關(guān)線性算子第一特征值的性質(zhì)，結(jié)合不動點(diǎn)指數(shù)定理獲得了該邊值問題正解的存在性與多重性.當(dāng)式(1)中的λ=h(t)=1，非線性項(xiàng)f具有變號且關(guān)于t=0和t=1均為奇異時，AGARWAL等[5]運(yùn)用不動點(diǎn)定理以及特殊有界集上的高度函數(shù)得到該半正問題三個正解的存在性.當(dāng)式(1)中的λ=h(t)=1時，LUCA[6]應(yīng)用Krein-Rutman理論結(jié)合不動點(diǎn)指數(shù)定理獲得了該邊值問題正解的存在性與多重性.但是都沒有考慮帶P-Laplacian算子條件下正解的唯一性.

AFSHARI等[7]研究了以下分?jǐn)?shù)階邊值問題唯一正解的存在性：

(2)

運(yùn)用錐上的混合單調(diào)算子與γ-凹算子，得到邊值問題(2)的唯一正解與逼近唯一正解的迭代序列，但該問題的非線性項(xiàng)未含有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與線性算子.

受文獻(xiàn)[4,7]的影響與啟發(fā)，本文研究如下帶P-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題：

(3)

1 預(yù)備知識

定義1[14]若α>0，函數(shù)u∶(0,+∞)→R的Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階積分為

定義2[14]若α>0，函數(shù)u∶(0,+∞)→R的Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為

引理3 設(shè)y∈C[0,1]，若Δ≠0，則分?jǐn)?shù)階邊值問題：

(4)

(5)

(6)

結(jié)合邊界條件u(0)=u′(0)=…=u(n-2)(0)=0，則有c2=c3=…=cn=0，從而式(6)變成

(7)

(8)

最后將式(8)代入式(7)中，則可得出結(jié)論成立.

引理4[5]假定Δ>0，則格林函數(shù)G(t,s)∈C([0,1]×[0,1])具有如下性質(zhì)：

定義3[17]設(shè)E為實(shí)Banach空間，對于錐P?E，定義E中的偏序關(guān)系，即y-x∈P?x≤y.若存在常數(shù)

引理5[7]令P為實(shí)Banach空間E上的正規(guī)錐，γ∈(0,1)，A,B∶P×P→P為混合單調(diào)算子，并且A∶P×P→P為γ-凹算子，B∶P×P→P為次齊次算子，且滿足以下條件：

(i)存在h0∈Ph，使得A(h0,h0)∈Ph，B(h0,h0)∈Ph；

(ii)存在一個正常數(shù)δ，使得對?u,v∈P，有A(u,v)≥δB(u,v).

則有以下結(jié)論：

①A∶Ph×Ph→Ph，B∶Ph×Ph→Ph；

②存在z0，w0∈Ph,r∈(0,1)，使得rz0≤z0≤w0，z0≤A(z0,w0)+B(z0,w0)≤A(w0,z0)+B(w0,z0)≤w0；

③算子方程A(u,u)+B(u,u)=u在Ph有唯一解u*；

④對任意初值u0,v0∈Ph，可以構(gòu)造迭代序列un=A(un-1,vn-1)+B(un-1，vn-1)，vn=A(vn-1,un-1)+B(vn-1,un-1),n=1,2,…；當(dāng)n→∞時，則有un→u*,vn→v*.

注 當(dāng)引理5中的算子B為一個零算子時，引理5也成立.

2 主要結(jié)論

做出如下假設(shè)：

(H2)對λ∈(0,1),t∈[0,1],u,v∈[0,+∞),有g(shù)(t,λu,λ-1v)≥λp-1g(t,u,v)；存在常數(shù)γ∈(0,1)，使得對λ∈(0,1)，t∈[0,1]，u,v∈[0,+∞)，有f(t,λu,λ-1v)≥(λγ)p-1f(t,u,v).

(H3)存在正常數(shù)δ，使得對t∈[0,1]，u,v∈[0,+∞)，有f(t,u,v)≥δp-1g(t,u,0).

(H5)?γ∈(0,1)，使得對?λ∈(0,1)，t∈[0,1],u,v∈[0,+∞],有f(t,λu,λ-1v)≥(λγ)p-1f(t,u,v).

定理1 若Δ>0，且使得條件(H1)～(H3)都成立，則邊值問題(3)有唯一正解u*∈Ph，其中，h(t)=tα-1，t∈[0,1]，對u0∈Ph，構(gòu)造迭代序列：

當(dāng)n→∞時，則有un(t)→u*(t).

證明 由引理3可知,邊值問題(3)可以轉(zhuǎn)化為如下等價的積分方程：

定義兩個算子A,B∶P×P→E，

僅僅只有u滿足算子方程u=A(u,u)+B(u,u)時，u是邊值問題(3)的解.

結(jié)合假設(shè)條件(H1)與引理4易得出A,B∶P×P→P.

對于(u1,v1),(u2，v2)∈P×P,u1≥u2,v1≤v2,結(jié)合引理4和條件(H1)，有

對于γ∈(0,1)，λ∈(0,1),(u,v)∈P×P,結(jié)合條件(H2)，有

即A(λu,λ-1v)(t)?λγA(u,v)(t)，所以A∶P×P→P為γ-凹算子.

即B(λu,λ-1v)(t)?λB(u,v)(t)，所以，B∶P×P→P為次齊次算子.

結(jié)合引理4與條件(H1)，有

從而有0

所以，有A(h,h)∈Ph.

結(jié)合引理4與條件(H1)，有

由條件(H1)，有g(shù)(τ,1,0)≥g(τ,0,k*)>0，即0

所以，有B(h,h)∈Ph.

對于(u,v)∈P×P，結(jié)合條件(H3)，則有

所以，有A(u,v)(t)≥δB(u,v)(t).因此引理5中的條件都成立，從而u=A(u,u)+B(u,u)在Ph中有唯一不動點(diǎn)u*，對任意初始值u0∈Ph可構(gòu)造迭代序列un=A(un-1,un-1)+B(un-1,un-1),n=1,2,…，當(dāng)n→∞時，則有un→u*.從而邊值問題(3)有唯一正解u*∈Ph，對于序列：

當(dāng)n→∞時，則有un(t)→u*(t).

推論1 若Δ>0，且滿足條件(H4)(H5)，則邊值問題：

在Ph中有唯一正解u*，h(t)=tα-1,t∈[0,1].對于u0∈Ph，構(gòu)造迭代序列：

當(dāng)n→∞時，則有un(t)→u*(t).

3 數(shù)值算例

例1 分析以下分?jǐn)?shù)階邊值問題：

(9)

對于t∈[0,1]，λ∈(0,1)，u,v∈[0,+∞)，有

令δ=1，有

所以定理1的所有條件都成立，根據(jù)定理1可得出邊值問題(9)在Ph中有唯一正解u*，h=t7/2，t∈[0,1].對任意給定的初始值u0∈Ph，可構(gòu)造如下序列：

當(dāng)n→∞時，有un(t)→u*(t).

4 結(jié)語

帶P-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程是一般微分方程的推廣，在各種非線性現(xiàn)象、彈性問題、扭轉(zhuǎn)蠕變問題、熱輻射問題等建模中有廣泛的應(yīng)用.本文利用錐上混合單調(diào)算子的性質(zhì)，根據(jù)相關(guān)算子方程的不動點(diǎn)定理獲得了邊值問題(3)唯一正解的存在結(jié)果以及逼近唯一正解的迭代序列.需要指出的是，文獻(xiàn)[3-6]都只考慮了正解的存在性與多重性，未考慮帶P-Laplacian算子的條件下正解的唯一性，本文對此進(jìn)行了擴(kuò)展.此外還可以進(jìn)一步研究其在帶有參數(shù)的條件下正解的不存在性.