架空梁式圓管橫向結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算的彈性理論解析法

蔡勇斌，蔡勇平，蔡曉鴻

（1.吉安市水利局，江西吉安，343000；2.吉安市水利水電規(guī)劃設(shè)計(jì)院，江西吉安，343000）

0 引言

輸水管道有時(shí)需跨越河谷溪溝，但又不便深埋，往往采用架空跨越更為合理，其結(jié)構(gòu)型式類似于橫斷面為圓形的封閉式渡槽。此時(shí)，作用于管橋中間段單位管長(zhǎng)脫離體上的荷載除管體自重、均勻內(nèi)水壓力、水重外，管段兩截面之間還存在剪力差，剪力差與上述荷載之和維持平衡。其內(nèi)力計(jì)算，以往均視圓管橫斷面為在荷載和反力作用下處于平衡狀態(tài)的三次超靜定環(huán)形結(jié)構(gòu)，采用結(jié)構(gòu)力學(xué)的彈性中心法列出力法方程，求解出其超靜定結(jié)構(gòu)多余力，再據(jù)圓管截面的靜力平衡方程進(jìn)行內(nèi)力求算。為此，采用了如下簡(jiǎn)化處理措施[1]：一是利用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，假想從管頂切開，然后用鋼臂將切口點(diǎn)與彈性中心點(diǎn)（可證明圓管的彈性中心即為圓心）相連接；二是將切口處的未知力移至彈性中心，列出其力法方程式，求算出未知力，再據(jù)靜力平衡方程求得圓管任一斷面的內(nèi)力。

利用鋼臂進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，其本質(zhì)是假定在荷載作用下，圓管頂點(diǎn)無任何相對(duì)位移，而這與彈性理論揭示的圓管內(nèi)力精確解及管頂部位的變形性態(tài)不協(xié)調(diào)一致，且未能反映圓管材料抗力參數(shù)對(duì)內(nèi)力及變形的影響。因此，有必要采用彈性力學(xué)圓弧曲梁計(jì)算模型，建立自重、均勻內(nèi)水壓力和滿管水重荷載并計(jì)及與荷載豎向作用相平衡的截面剪力作用下的彈性圓弧曲梁控制微分方程，推求架空梁式圓形管道橫向結(jié)構(gòu)內(nèi)力與變位的彈性理論精確解析計(jì)算式。

1 彈性圓弧曲梁控制微分方程

圖1（a）為滿管水重、均勻內(nèi)水壓力荷載及圓管截面剪應(yīng)力τ分布示意圖，圖1（b）為管體自重、均勻內(nèi)水壓力、滿管水重、剪力引起的圓弧曲梁內(nèi)力計(jì)算簡(jiǎn)圖。

圖1 自重、均勻內(nèi)水壓力、滿管水重與環(huán)間截面剪力引起的內(nèi)力計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.1 Calculation of internal force under the effect of dead weight,uniform internal water pressure,full tube water load and shearing force

圓管橫向內(nèi)力計(jì)算時(shí)，沿槽長(zhǎng)方向取單位管長(zhǎng)按平面問題進(jìn)行分析，作用于單位管長(zhǎng)脫離體向下的管體自重、均勻內(nèi)水壓力、滿管水重等荷載與脫離體兩側(cè)橫截面上的剪力差維持平衡。設(shè)τ為分布于圓管截面上的剪應(yīng)力，則τ(r1-r0)為管體壁厚切線方向的剪力，沿圓管壁厚中心線的切線方向向上作用。圓心角為θ斷面的彎矩為M(θ)、剪力為Q(θ)、軸力為N(θ)。上述各力與圓心角θ的正負(fù)號(hào)約定均以圖示方向?yàn)檎?。顯見，圖中滿管水重荷載為：

將式（2）代入式（4）和式（5）分別得式（6）和式（7）：

式（6）和式（7）表明，微元段截面上的剪力τ(r1-r0)對(duì)切線方向的內(nèi)力、對(duì)原點(diǎn)O的力矩，與架空?qǐng)A管自重荷載產(chǎn)生的切線方向的內(nèi)力及對(duì)原點(diǎn)O的力矩方向相反，起抵消作用。因此，計(jì)及截面剪力作用的架空?qǐng)A管管壁厚度可以減薄，即圓管截面上的剪力具減載效應(yīng)。

對(duì)式（7）從0到θ積分，整理得：

式中：γw為水的重度。

剪應(yīng)力τ的計(jì)算式為：

式中：q1為單位管長(zhǎng)圓管自重與滿管水重，即；γc為圓管材料重度；J

據(jù)式（6）和式（7）可得：為圓管慣性矩（應(yīng)注意辨識(shí)圓管環(huán)截面對(duì)中性軸的慣性矩J與單位管長(zhǎng)管壁對(duì)其中性軸之慣性矩I的差異）。

如圖1（b）所示，架空?qǐng)A管弧段可視作彈性圓弧曲梁。設(shè)圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，截取微分單元r idθ，起始斷面的彎矩為M(θ)、剪力為Q(θ)、軸力為N(θ)，列出微段的靜力平衡方程∑F r=0（沿微段徑向的力平衡方程）、∑Fθ=0（沿微段切線方向的力平衡方程）、∑M o=0（對(duì)原點(diǎn)O的力矩方程），略去二階微量后有：

將式（8）和式（9）代入式（10），整理后有：

對(duì)式（6）求導(dǎo)，并將式（1）和式（8）代入，化簡(jiǎn)后有：

設(shè)架空?qǐng)A管材料的彈性模量為E c，圓管計(jì)算截面的徑向位移為w(θ)，斷面面積為F，管壁對(duì)其中性軸的慣性矩為I，則據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)知，截面的徑向位移w(θ)與截面內(nèi)力間有關(guān)系式：

對(duì)式（13）求導(dǎo)2次，并將式（11）和式（12）代入，可得徑向位移w(θ)應(yīng)滿足的控制微分方程：

式（14）即為受架空?qǐng)A管自重、均勻內(nèi)水壓力和滿管水重并計(jì)及截面剪力作用下的彈性圓弧曲梁控制微分方程。

2 彈性圓弧曲梁內(nèi)力與變位計(jì)算

微分方程式（14）的通解由特解w0(θ)與基本解w

1(θ)組成，即：

特解w0(θ)可利用微分算子法求得[2]。據(jù)微分方程理論有算子多項(xiàng)式：

基本解w1(θ)可由下列特征方程確定[2]：

式（17）有二重根λ1與λ2：

在學(xué)習(xí)目標(biāo)闡述環(huán)節(jié)，教師要避免的誤區(qū)是將“學(xué)習(xí)目標(biāo)”設(shè)定為“教學(xué)目標(biāo)”，應(yīng)從學(xué)習(xí)者的角度對(duì)學(xué)習(xí)者應(yīng)達(dá)到的目標(biāo)進(jìn)行行為或者認(rèn)知方面的闡述。良好的學(xué)習(xí)內(nèi)容分析結(jié)果為學(xué)習(xí)目標(biāo)提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，繼而是在分析學(xué)習(xí)目標(biāo)完成后，依據(jù)一定的學(xué)習(xí)目標(biāo)分類理論，結(jié)合具體的教學(xué)實(shí)際確定哪些層次的學(xué)習(xí)目標(biāo)需在課前通過觀看視頻自主學(xué)習(xí)完成，哪些則是必須通過課堂上的活動(dòng)才能夠?qū)崿F(xiàn)的。

于是控制微分方程式（14）的基本解為：

據(jù)對(duì)稱性，w(-θ)=w(θ)對(duì)任意θ成立，可得c1=0、c2=0、c3=0、c4=0，從而得自重、均勻內(nèi)水壓力與滿管水重作用下的架空?qǐng)A管彈性圓弧曲梁控制微分方程的通解即為其特解，即有w(θ)=w0(θ)，對(duì)式（16）整理得：

忽略軸向力產(chǎn)生的切向應(yīng)變?chǔ)纽?，于是由彈性理論及架空梁式圓管對(duì)稱性有[3]：

據(jù)式（21）得切向位移：

式中：c為積分常數(shù)。

將式（20）代入式（22），并利用V(θ)|θ=0=0確定積分常數(shù)c=0，可得：

3 內(nèi)力與變位計(jì)算

據(jù)式（9）有：

將式（24）代入式（13），整理得：

將式（26）代入式（25），化簡(jiǎn)得：

于是由式（9）可得軸力N(θ)計(jì)算式：

由自重、均勻內(nèi)水壓力和滿管水重作用下的架空?qǐng)A管切向應(yīng)變對(duì)稱性[4]，有：

將式（23）代入式（29），可求得：

據(jù)式（28）可得：

將式（31）代入式（30）得：

將式（30）代入式（27），得彎矩M(θ)計(jì)算式：

將式（31）、（32）分別代入式（20）、（23），則易得自重、均勻內(nèi)水壓力和滿管水重作用下的架空?qǐng)A管各計(jì)算截面徑向位移w(θ)、切向位移V(θ)計(jì)算式，不予贅列。

式（28）和式（33）表明，自重、均勻內(nèi)水壓力和滿管水重及計(jì)及截面剪力作用下的架空?qǐng)A管計(jì)算截面彎矩M(θ)、N(θ)，除與圓管幾何參數(shù)內(nèi)半徑r0、外半徑r1及計(jì)算截面與豎向直徑間的夾角θ有關(guān)外，還與架空?qǐng)A管結(jié)構(gòu)材料的物理力學(xué)參數(shù)彈性模量E c、計(jì)算截面的斷面面積F、環(huán)截面對(duì)中性軸的慣性矩J及管壁對(duì)其中性軸的慣性矩I有關(guān)。有必要指出，現(xiàn)有架空?qǐng)A管自重、均勻內(nèi)水壓力、滿管水重及計(jì)及截面剪力作用所產(chǎn)生的彎矩計(jì)算式[1]，未全面揭示計(jì)算截面面積F（或抗拉/壓剛度E c F）、環(huán)截面慣性矩J及管壁截面慣性矩I（或抗彎剛度E c I）對(duì)彎矩M(θ)、軸力N(θ)的影響，存有缺陷。

4 算例

引用參考文獻(xiàn)[1]中的算例（書中例5-2），比較分析所推求彈性理論精確解計(jì)算結(jié)果與其存在的差異。

某簡(jiǎn)支架空梁式C25鋼筋混凝土圓管內(nèi)徑D0=2.5 m，外徑D1=3.1 m，管壁厚δ=0.3 m，壓力水頭H=18 m。計(jì)算圓管控制斷面θ為0°、90°和180°的內(nèi)力。

取單位長(zhǎng)b=1.0 m架空鋼筋混凝土圓管進(jìn)行計(jì)算分析。鋼筋混凝土圓管彈性模量E=2.55×107kPa，鋼筋混凝土重度γc=25 kN m3；水的重度γw=10 kN m3；均勻內(nèi)水壓力p ws=180 kN m2。

單位長(zhǎng)圓管管壁的截面積F=0.3 m2，圓管管壁對(duì)其中性軸的慣性矩，圓管環(huán)截面對(duì)其中性軸的慣性矩。

據(jù)式（28）和式（33），計(jì)算得架空梁式鋼筋混凝土圓管控制斷面θ為0°、90°和180°的軸力與彎矩如表1所示。

表1 架空梁式鋼筋混凝土圓管內(nèi)力計(jì)算結(jié)果Table 1 Results of calculation of internal force of aerial beamsupported reinforced circular pipe

比較表1中兩種計(jì)算法的內(nèi)力結(jié)果可見，各計(jì)算控制斷面的軸力非常接近，而彎矩值則差異明顯，參考文獻(xiàn)[1]采用結(jié)構(gòu)力學(xué)法計(jì)算得各控制斷面的彎矩值相等，顯然不合理。

5 結(jié)語

架空梁式圓管是常見輸水建筑物之一，其橫向結(jié)構(gòu)內(nèi)力通常采用結(jié)構(gòu)力學(xué)彈性中心法所推求的近似計(jì)算公式求算，未全面揭示計(jì)算截面抗拉剛度、抗彎剛度及環(huán)截面慣性矩對(duì)彎矩、軸力的影響，計(jì)算結(jié)果往往未能反映結(jié)構(gòu)的實(shí)際內(nèi)力狀況。文中推求的架空梁式圓管彈性理論精確解析法全面揭示了結(jié)構(gòu)材料的相關(guān)物理力學(xué)參數(shù)、結(jié)構(gòu)尺寸對(duì)其內(nèi)力的影響，且計(jì)算過程簡(jiǎn)捷。