創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)問題 培養(yǎng)學(xué)生探究能力

200030 上海市第四中學(xué) 徐衛(wèi)文

實(shí)驗(yàn)是科學(xué)得以產(chǎn)生與發(fā)展的根本，而探究是當(dāng)今社會(huì)科學(xué)發(fā)展與教育的有效方式

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數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是再現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程的有效途徑，數(shù)學(xué)中很多知識(shí)都有一定的規(guī)律和推廣潛力，這些知識(shí)在精心設(shè)計(jì)下大部分可以通過實(shí)驗(yàn)探究的方式來學(xué)習(xí)獲得

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在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，無論是概念、定理、法則、公式的學(xué)習(xí)，還是技能的學(xué)習(xí)、問題的解決，都需要實(shí)驗(yàn)

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選擇數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)這種有效途徑進(jìn)行數(shù)學(xué)探究教學(xué)，恰好可以為學(xué)生提供動(dòng)手操作、自主探究的機(jī)會(huì)

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數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)問題為載體，為研究與獲得某種數(shù)學(xué)理論、驗(yàn)證某種數(shù)學(xué)猜想、解決某種數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用一定的物質(zhì)手段，引導(dǎo)學(xué)生開展知識(shí)探究，通過觀察分析數(shù)學(xué)現(xiàn)象，調(diào)動(dòng)知識(shí)儲(chǔ)備與生活經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)與探索數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程，構(gòu)建新的知識(shí)結(jié)構(gòu)，引發(fā)學(xué)生積極的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究行為

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數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究問題是基于教學(xué)內(nèi)容提出的，是教學(xué)內(nèi)容的拓展和延伸

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問題設(shè)計(jì)要以培養(yǎng)學(xué)生自主探究能力為出發(fā)點(diǎn)，幫助學(xué)生了解知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系及基本規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)

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例如，函數(shù)單調(diào)性、周期性及最值問題，函數(shù)間增長關(guān)系比較，求不同函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，不定方程的求解，解析幾何中的圖形變換及軌跡探求問題，立體幾何中的圖形變換及展開，概率統(tǒng)計(jì)中的隨機(jī)問題及回歸分析等內(nèi)容，都可以從激發(fā)學(xué)生探究興趣、體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)形成過程、強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用、提高學(xué)生辯證思維能力等角度進(jìn)行設(shè)計(jì)

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一、 創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究問題，激發(fā)學(xué)生的探究興趣

根據(jù)教材特點(diǎn)，找準(zhǔn)知識(shí)的切入點(diǎn)，充分挖掘和精心設(shè)計(jì)能夠激發(fā)學(xué)生探究興趣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究問題，為學(xué)生創(chuàng)造自主探索、自主交流的機(jī)會(huì)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，拓寬學(xué)生思維，促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力

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案例1：動(dòng)圓與兩個(gè)定圓相切時(shí)，探求動(dòng)圓圓心的軌跡問題

(一)實(shí)驗(yàn)問題設(shè)計(jì)意圖

由于與兩定圓相切的動(dòng)圓圓心軌跡涉及問題較為復(fù)雜，因此，創(chuàng)設(shè)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，利用多媒體技術(shù)手段可以幫助學(xué)生透過現(xiàn)象把握問題的本質(zhì)，讓學(xué)生真實(shí)感知軌跡的性質(zhì)，并從觀察、猜想、驗(yàn)證中感受數(shù)學(xué)研究的全過程，通過分情況進(jìn)行探究，并得出結(jié)論

.

(二)實(shí)驗(yàn)工具

幾何畫板(或TI圖形計(jì)算器等)

.

(三)實(shí)驗(yàn)探究活動(dòng)設(shè)計(jì)

動(dòng)圓

P

與兩定圓

F

和

F

均相切，難點(diǎn)在于動(dòng)圓的運(yùn)動(dòng)變化和兩定圓之間位置關(guān)系的相對變化，可分為四種情況進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究

.

1

.

動(dòng)圓

P

與定圓

F

和

F

均內(nèi)切

.

2

.

動(dòng)圓

P

與定圓

F

和

F

均外切

.

3

.

動(dòng)圓

P

與定圓

F

外切，與定圓

F

內(nèi)切

.

4

.

動(dòng)圓

P

與定圓

F

內(nèi)切，與定圓

F

外切

.

上述四種情況還要根據(jù)定圓

F

和

F

的位置關(guān)系再細(xì)分兩到三種情況進(jìn)行探究(如表1所示)

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表1

學(xué)生探究1:動(dòng)圓P與兩定圓F1和F2之間的位置關(guān)系(1)探究兩定圓之間的位置關(guān)系(不妨設(shè)定圓F1半徑為r1,定圓F2半徑為r2,且r1>r2).(2)探究動(dòng)圓與兩定圓之間的位置關(guān)系.序號(hào)兩定圓F1和F2位置關(guān)系動(dòng)圓P與兩定圓F1和F2的位置關(guān)系第一組兩定圓F1和F2內(nèi)含與圓F1內(nèi)切,與圓F2外切與定圓均內(nèi)切第二組兩定圓F1和F2內(nèi)切與圓F1內(nèi)切,與圓F2外切與兩定圓均內(nèi)切與兩定圓均外切第三組兩定圓F1和F2相交與兩定圓均外切與兩定圓均內(nèi)切與圓F1內(nèi)切,與圓F2外切與圓F1外切,與圓F2內(nèi)切第四組兩定圓F1和F2外切與兩定圓均外切與兩定圓均內(nèi)切與圓F1內(nèi)切,與圓F2外切與圓F1外切,與圓F2內(nèi)切第五組兩定圓F1和F2相離與兩定圓均外切與兩定圓均內(nèi)切與圓F1內(nèi)切,與圓F2外切與圓F1外切,與圓F2內(nèi)切學(xué)生探究2:借助幾何畫板探究動(dòng)圓圓心軌跡

本案例借助幾何畫板，通過改變兩圓的位置關(guān)系，學(xué)生探索動(dòng)圓圓心的軌跡可能是橢圓、雙曲線、射線等

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設(shè)計(jì)的目的在于突出學(xué)生的主體地位，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作、觀察、研究、思考的探究能力，有效拓展學(xué)生學(xué)習(xí)的空間以及解決問題的態(tài)度、深度、廣度和靈活度，激發(fā)學(xué)生的探究興趣

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二、 創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究問題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程

創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究問題，讓學(xué)生體驗(yàn)一些數(shù)學(xué)概念、公式、定理、公理、結(jié)論以及知識(shí)的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生由直觀現(xiàn)象歸納、探索數(shù)學(xué)知識(shí)，或通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的可視化驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論，由此充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和創(chuàng)造性，激起學(xué)生的好奇心和求知欲

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(續(xù)表)

學(xué)生探究3:動(dòng)圓圓心P的軌跡以及軌跡方程探究(1)根據(jù)兩定圓位置關(guān)系,探究構(gòu)建兩定圓方程.(2)根據(jù)動(dòng)圓與兩定圓的位置關(guān)系,探究動(dòng)圓圓心P的軌跡以及軌跡方程.兩定圓F1和F2位置關(guān)系動(dòng)圓P與兩定圓F1和F2位置關(guān)系(設(shè)動(dòng)圓半徑為R,定圓F1半徑為r1,定圓F2半徑為r2,且r1>r2)定圓位置關(guān)系定圓方程設(shè)計(jì)動(dòng)圓與兩定圓位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系推導(dǎo)探究動(dòng)圓圓心P的軌跡以及方程兩定圓F1和F2內(nèi)含圓F1:(x-3)2+y2=100圓F2:(x+3)2+y2=4與圓F1內(nèi)切與圓F2外切|PF1|=10-R,|PF2|=R+2?|PF1|+|PF2|=12x236+y227=1與兩定圓均內(nèi)切|PF1|=10-R,|PF2|=R-2?|PF1|+|PF2|=8x216+y27=1兩定圓F1和F2內(nèi)切圓F1:(x-1)2+y2=9圓F2:(x+1)2+y2=1與圓F1內(nèi)切與圓F2外切|PF1|=3-R,|PF2|=R+1?|PF1|+|PF2|=4x24+y23=1(x≠-2)與兩定圓均外切A(-2,0),|PA|=Ry=0(x<-2)與兩定圓均內(nèi)切A(-2,0),|PA|=Ry=0(x>-2,x≠±1)兩定圓F1和F2相交圓F1:(x+4)2+y2=64圓F2:(x-4)2+y2=4與兩定圓均外切|PF1|=R+8,|PF2|=R+2?|PF1|-|PF2|=6x29-y27=1(x>334)與兩定圓均內(nèi)切|PF1|=8-R,|PF2|=2-R?|PF1|-|PF2|=6x29-y27=1(3≤x<334)|PF1|=R-8,|PF2|=R-2?|PF2|-|PF1|=6x29-y27=1(x≤1)與圓F1內(nèi)切與圓F2外切|PF1|=8-R,|PF2|=R+2?|PF2|+|PF1|=10x225+y29=1(-5≤x<334)與圓F1外切與圓F2內(nèi)切|PF1|=8+R,|PF2|=2-R?|PF2|+|PF1|=10x225+y29=1(334<x≤5)兩定圓F1和F2外切圓F1:(x+2)2+y2=9圓F2:(x-2)2+y2=1與兩定圓均外切|PF1|=3+R,|PF2|=R+1?|PF1|-|PF2|=2x2-y23=1(x>1)與兩定圓均內(nèi)切|PF1|=R-3,|PF2|=R-1?|PF2|-|PF1|=2x2-y23=1(x≤-1)與圓F1外切與圓F2內(nèi)切|PF1|=R+3,|PF2|=R-1或1-R?|PF2|-|PF1|=4=|F1F2|或|PF2|+|PF1|=4=|F1F2|y=0(x>1且x≠2)與圓F1內(nèi)切與圓F2外切|PF1|=R-3或3-R,|PF2|=R+1?|PF2|-|PF1|=4=|F1F2|或|PF2|+|PF1|=4=|F1F2|y=0(x<1且x≠-2)

(續(xù)表)

兩定圓F1和F2相離圓F1:(x-2)2+y2=4圓F2:(x+2)2+y2=1與兩定圓均外切|PF1|=2+R,|PF2|=1+R?|PF1|-|PF2|=1x214-y2154=1(x≤-12)與兩定圓均內(nèi)切|PF1|=R-1,|PF1|=R-2?|PF2|-|PF1|=1x214-y2154=1(x≥12)與圓F1外切與圓F2內(nèi)切|PF1|=R+2,|PF2|=R-1?|PF1|-|PF2|=3x294-y274=1(x≤-32)與圓F1內(nèi)切與圓F2外切|PF1|=R-2,|PF2|=R+1?|PF2|-|PF1|=3x294-y274=1(x≥32)

案例2：棱錐體積的探究

(一)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)意圖

使學(xué)生深刻理解三棱錐體積公式的推導(dǎo)過程，掌握三棱錐體積公式并能運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算或論證，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，同時(shí)滲透轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學(xué)思想方法

.

本實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)以實(shí)物的方式使學(xué)生獲得感性認(rèn)識(shí)，在感性上得到認(rèn)可，再從數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性和精確性角度證明該公式

.

(二)實(shí)驗(yàn)方法

方案1：

利用模型操作(排液法或稱重法或割補(bǔ)法)完成體積測量

.

方案2：

利用課件進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)

.

(三)實(shí)驗(yàn)過程

方案1

(實(shí)物操作)：1

.

測一測、量一量利用等底等高的三棱柱、三棱錐以及細(xì)沙探究兩個(gè)容器的關(guān)系

.

運(yùn)用實(shí)物模型演示三棱錐和三棱柱體積的裝沙實(shí)驗(yàn)，在三棱錐體杯子里裝滿細(xì)沙，倒入三棱柱體的模具中，反復(fù)操作，發(fā)現(xiàn)恰好三次倒?jié)M

.

2

.

切一切、割一割取一個(gè)三棱柱的幾何體(蘿卜塊)進(jìn)行切割，用稱重法或排液法判斷切割后的三個(gè)三棱錐的體積關(guān)系

.

方案2

(利用課件進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn))：借助幾何畫板演示，將三棱柱分割成三個(gè)三棱錐，利用動(dòng)態(tài)作圖、動(dòng)態(tài)測量等功能，可以將抽象性的空間結(jié)構(gòu)關(guān)系直觀生動(dòng)地顯示出來，在動(dòng)態(tài)的過程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)問題的能力，給學(xué)生提供探索的空間

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(四)實(shí)驗(yàn)證明思路

先將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)三棱柱，再將這個(gè)三棱柱分割成三個(gè)三棱錐，接著證明三個(gè)三棱錐體積相等(證明略)

.

(如圖1—圖3所示)

圖3

高中數(shù)學(xué)中的許多公式和定理的發(fā)現(xiàn)都來源于實(shí)驗(yàn)，在棱錐的體積實(shí)驗(yàn)探究教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)探究、歸納猜想、理論證明這一完整的數(shù)學(xué)探究過程得到棱錐的體積公式

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學(xué)生不僅能較容易地了解棱錐的體積公式，同時(shí)也加深對數(shù)學(xué)公式的理解，培養(yǎng)形成“實(shí)驗(yàn)操作—直覺猜想—直觀驗(yàn)證—推理論證”的科學(xué)探究方法

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圖1圖2

三、創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究問題，強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力

創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究問題，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決現(xiàn)實(shí)問題，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力

.

在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題；通過分析問題建立數(shù)學(xué)模型；借助信息手段分析數(shù)據(jù)、求解模型、得出結(jié)論，并嘗試基于現(xiàn)實(shí)背景驗(yàn)證模型結(jié)果、改進(jìn)模型、完善模型，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的探究能力

.

案例3：水槽問題設(shè)計(jì)

現(xiàn)有寬為

a

的長方形板材，在單位時(shí)間水流速度一定的情況下，請將它設(shè)計(jì)成一開口水槽，使水槽的流量最大

.

(備注：在單位時(shí)間內(nèi)水流速度一定的情況下，水流量的大小取決于水槽橫截面的面積，水槽形狀的選擇又與實(shí)際條件限制和使用者的喜好有關(guān)

.

如果不考慮實(shí)際條件限制和使用者喜好，則可以對形狀進(jìn)行多種選擇

.

)學(xué)生設(shè)計(jì)的水槽橫截面圖形如圖4所示

.

圖4

學(xué)生問題探究過程中的分析如表2所示

.

表2

類別學(xué)生圖形設(shè)計(jì)建立模型,求最值三角形生1:(1)模型設(shè)計(jì),將圖形設(shè)計(jì)成三角形.(2)根據(jù)圖形,設(shè)AB=x,BC=a-x,∠ABC=θ,所以橫截面面積為S=12·x(a-x)·sinθ.(3)求橫截面面積最值S=12·x(a-x)sinθ≤12x(a-x)=a28-12·(x-a22)2≤a28,當(dāng)且僅當(dāng)θ=π2且x=a2時(shí),Smax=a28=0.125a2.四邊形生2:(1)設(shè)計(jì)意圖:將圖形設(shè)計(jì)成特殊的四邊形(矩形).(2)根據(jù)圖形,設(shè)AB=CD=x,BC=a-2x,所以橫截面面積為S=x(a-2x).(3)求橫截面面積最值S=x(a-2x),推得S=a28-2(x-a4)2≤a28,當(dāng)x=a4時(shí),Smax=a28=0.125a2.生3:(1)設(shè)計(jì)意圖:將圖形設(shè)計(jì)成特殊的四邊形(等腰梯形).(2)根據(jù)圖形,可得AB=BC=CD=a3,設(shè)∠ABE=θ,所以橫截面面積為S=12·(a3+a3+2·a3·sinθ)·a3cosθ=a29·(1+sinθ)·cosθ.(3)求橫截面面積最值S=12·(a3+a3+2·a3·sinθ)·a3cosθ=a9·(1+sinθ)·cosθ,求S最值問題,等價(jià)于求f(θ)=(1+sinθ)·cosθ最值問題,方法1:圖形直觀分析,借助幾何畫板對f(θ)=(1+sin(θ))·cos(θ)進(jìn)行分析.

在建模過程中，學(xué)生培養(yǎng)了學(xué)習(xí)習(xí)慣、觀察視角、思考方法、思維方式、探索精神和創(chuàng)新能力，提高了數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

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通過創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究問題，不斷加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)，學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)應(yīng)用，促進(jìn)全面發(fā)展

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四、 創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究問題，提高學(xué)生的辯證思維能力

引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)雜的現(xiàn)象中把握事物的本質(zhì)及規(guī)律，探索事物間的聯(lián)系與差異，將已有事實(shí)變更推廣為更有深度的結(jié)論等，啟迪思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

.

從學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和慣性思維角度創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究問題，通過一定量的特殊情形的實(shí)驗(yàn)觀察來總結(jié)和歸納，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行合情的推理、猜想、證明，發(fā)現(xiàn)和掌握數(shù)學(xué)概念、定理、結(jié)論等規(guī)律，克服抽象性結(jié)論和復(fù)雜推理證明中形成的認(rèn)知障礙

.

案例4：互為反函數(shù)的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題

探究指數(shù)函數(shù)

y

=

a

與對數(shù)函數(shù)

y

=log

x

(

a

>0且

a

≠1)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題(以同一底數(shù)的指、對函數(shù)圖像為例)

.

(一)設(shè)計(jì)意圖

面對函數(shù)

y

=

a

與對數(shù)函數(shù)

y

=log

x

(

a

>0且

a

≠1)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，大多數(shù)學(xué)生的掌握不夠清楚，受思維定勢的影響，不少學(xué)生會(huì)隨手作出它們的簡圖

.

例如，當(dāng)

a

>1時(shí)，如圖5-1，它們沒有交點(diǎn)；當(dāng)0<

a

<1時(shí)，如圖5-2，它們有且僅有一個(gè)交點(diǎn)

.

其錯(cuò)誤的根源在于忽視了底數(shù)

a

的變化對圖像以及交點(diǎn)個(gè)數(shù)的影響

.

(二)實(shí)驗(yàn)工具

幾何畫板或TI圖形計(jì)算器等

.

(續(xù)表)

類別學(xué)生圖形設(shè)計(jì)建立模型,求最值函數(shù)y=f(θ)在一個(gè)周期θ∈[0,2π]的圖像如上圖所示,當(dāng)θ=π6時(shí),y=f(θ)取到最大值.方法2:從求導(dǎo)的角度進(jìn)行數(shù)學(xué)分析(教師指導(dǎo)證明).y'=-sinθ+cos2θ=-2sin2θ-sinθ+1,令y'=0,得sinθ=12或sinθ=-1,即θ=π6(θ=3π2舍),Smax=3a212≈0.144a2.方法3:從不等式的角度進(jìn)行證明(教師指導(dǎo)證明).y=(1+sinθ)cosθ=cosθ+12sin2θ=12(cosθ+cosθ+sin2θ)=32[cosθ+cosθ+cos(π2-2θ)3]≤32cos(θ+θ+π2-2θ3)=343,當(dāng)且僅當(dāng)θ=π2-2θ時(shí)等號(hào)成立,即θ=π6.也有學(xué)生設(shè)計(jì)AB=CD=a4,BC=a2或AB=CD=3a8,BC=a4等,方法類似,不再展開.五邊形生4:圖形設(shè)計(jì)比較特殊,將圖形分成四個(gè)全等的等腰三角形,由圖可得每個(gè)三角形的頂角α=π4,則底角θ=3π8,所以橫截面面積為S=4·12·a4·a8·tanθ=a216·tan3π8≈0.151a2.六邊形生5:設(shè)計(jì)意圖:圖形設(shè)計(jì)比較特殊,將圖形分成五個(gè)全等的等腰三角形,由圖可得每個(gè)三角形的頂角為θ=π5,則底角α=2π5,所以橫截面面積為S=5·12·a5·a10·tanθ=a220·tan2π5≈0.154a2.半圓生6:將圖形設(shè)計(jì)成半圓形,由圖可得橫截面面積為S=12·π·r2=12·π·(aπ)2=a22π≈0.159a2.探究得到的結(jié)論:設(shè)計(jì)的圖形越特殊,面積相對來說越容易求解;圖形的邊數(shù)越多,其對應(yīng)的圖形面積越大,最終以半圓圍成的圖形橫截面面積最大.

(三)實(shí)驗(yàn)探究問題設(shè)計(jì)

1

.

函數(shù)與的交點(diǎn)有幾個(gè)？

問題分析：

交點(diǎn)至少有2個(gè)，學(xué)生能直接求出的交點(diǎn)為2

.

借助實(shí)驗(yàn)工具(幾何畫板或TI圖形計(jì)算器)進(jìn)行觀察，舉例說明

a

取不同的值時(shí)，函數(shù)

y

=log

x

與

y

=

a

的圖像交點(diǎn)情況

.

問題分析

(直觀判斷)：借助幾何畫板可以直觀觀察和探討圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題(如表3所示)

.

表3

a的取值借助于幾何畫板探究圖像交點(diǎn)交點(diǎn)個(gè)數(shù)a=0.033a=0.131a=0.51a=1.412a=1.620

3

.

在問題2探索的基礎(chǔ)上，當(dāng)

a

取不同的值時(shí)，探究函數(shù)

y

=log

x

與

y

=

a

的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)

.

問題分析

(數(shù)學(xué)驗(yàn)證)：借助幾何畫板，對

y

=

a

與

y

=log

x

(

a

>0且

a

≠1)圖像的交點(diǎn)問題進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究，歸納交點(diǎn)的大致情況，對交點(diǎn)情況進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)尿?yàn)證和推理，驗(yàn)證如下

.

(1)當(dāng)

a

>1時(shí)若函數(shù)

y

=

a

與

y

=log

x

相交只有一個(gè)交點(diǎn)，由互為反函數(shù)關(guān)系可知它們的圖像關(guān)于

y

=

x

對稱，所以要使

y

=

a

與

y

=log

x

圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則

y

=

x

是兩個(gè)函數(shù)的共同的切線，設(shè)兩個(gè)函數(shù)相切時(shí)的切點(diǎn)坐標(biāo)為

A

(

x

,

y

)，由于曲線

y

=

a

在

A

處的切線斜率為1，所以

a

=

x

，且函數(shù)

y

=

a

的導(dǎo)數(shù)為

y

′=(

a

)′=

a

ln

a

=1

.

推得故

x

=

e.

從上可知，當(dāng)時(shí)，

y

=

a

與

y

=log

x

相切于

A

(

e

,

e

)，所以

a

>1時(shí)有以下三種情況

.

①如圖6，當(dāng)時(shí)，

y

=

a

與

y

=log

x

圖像有一個(gè)交點(diǎn)

.

圖6

②如圖7，當(dāng)時(shí)，

y

=

a

與

y

=log

x

圖像有兩個(gè)交點(diǎn)

.

圖7

③如圖8，當(dāng)時(shí)，

y

=

a

與

y

=log

x

圖像沒有交點(diǎn)

.

圖8

(2)當(dāng)0<

a

<1時(shí)同理可得曲線

y

=

a

在

A

處的切線斜率為-1，所以

a

=

x

，且函數(shù)

y

=

a

的導(dǎo)數(shù)為

y

′=(

a

)′=

a

ln

a

=-1

.

推得故

從上可知，當(dāng)時(shí)，

y

=

a

與

y

=log

x

相切于所以0<

a

<1時(shí)，有以下兩種情況

.

①當(dāng)時(shí)，

y

=

a

與

y

=log

x

圖像有三個(gè)交點(diǎn)

.

②當(dāng)時(shí)，

y

=

a

與

y

=log

x

圖像有一個(gè)交點(diǎn)

.

如果不借助實(shí)驗(yàn)工具，僅靠手工作圖難以作出

y

=

a

與

y

=log

x

交點(diǎn)，更難以判斷出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況，由此會(huì)給邏輯推理、驗(yàn)證結(jié)論帶來一定的困難

.

因此，借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具如幾何畫板等，引導(dǎo)學(xué)生在圖形的動(dòng)態(tài)變化中觀察現(xiàn)象、讀取數(shù)據(jù)、探索圖像之間的關(guān)系，隨后進(jìn)行邏輯推理和結(jié)論驗(yàn)證，克服思維定勢、封閉的狀態(tài)，將知識(shí)融會(huì)貫通，從而使其發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題，分析和探討數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、問題解決能力、創(chuàng)新思維能力.創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究問題，通過假設(shè)、猜想、歸納、推理、佐證、拓展等一系列探究活動(dòng)，學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)形成過程，學(xué)會(huì)思考、發(fā)現(xiàn)和探索，提高學(xué)生以數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的意識(shí)，逐步培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)事物、發(fā)現(xiàn)真理的方法，學(xué)生在獲得大量知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)又掌握了數(shù)學(xué)基本技能和數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)了創(chuàng)新能力，提高了數(shù)學(xué)素養(yǎng)

.