不確定微分方程中時(shí)變參數(shù)的極大似然估計(jì)?

張貴東，盛玉紅

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

為了解決使用隨機(jī)微分方程建模時(shí)會(huì)出現(xiàn)當(dāng)時(shí)間趨于0 時(shí)其所描述對象的速度趨于無窮的問題,文獻(xiàn)[1]在建立不確定理論的基礎(chǔ)之上,提出了劉過程[2],由于不確定(劉)過程的提出,不確定微分方程也被定義出來,不確定微分方程是另一種對帶有噪聲影響的系統(tǒng)進(jìn)行建模的數(shù)學(xué)工具,其能夠有效地避免上述用隨機(jī)微分方程建模所產(chǎn)生的問題.不確定微分方程在很多領(lǐng)域得到了應(yīng)用,比如最優(yōu)控制[3]、謠言傳播[4]等.在上述一些領(lǐng)域的研究與應(yīng)用過程中,演化出了延遲不確定微分方程[5]、帶跳不確定微分方程[6],等等.對于這些不確定微分方程來說,首要的研究問題是穩(wěn)定性和解的存在唯一性.在這方面文獻(xiàn)[7]研究了多維不確定微分方程解的存在唯一性,文獻(xiàn)[8]研究了不確定微分方程的穩(wěn)定性,文獻(xiàn)[9]研究了多因素不確定微分方程的p-階矩穩(wěn)定,等等.其次不確定微分方程中難免會(huì)出現(xiàn)一些未知的參數(shù),那么作為不確定微分方程研究的另一個(gè)部分,不確定微分方程的參數(shù)估計(jì)也被提出來.文獻(xiàn)[10]首先利用最小二乘的思想獲得了不確定微分方程的參數(shù)估計(jì),隨后文獻(xiàn)[11]利用矩的思想得到了不確定微分方程的參數(shù)估計(jì),但是矩估計(jì)在有些時(shí)候不能得到解,于是文獻(xiàn)[12]就提出了廣義矩估計(jì)的概念來彌補(bǔ)這一缺陷.以及利用離散的數(shù)據(jù)通過α-軌道的方法獲得估計(jì)值[13],文獻(xiàn)[14]提出基于解的不確定微分方程的參數(shù)估計(jì)方法,文獻(xiàn)[15]提出高階不確定微分方程的參數(shù)估計(jì),值得一提的是這些方法都是用來估計(jì)常數(shù)未知參數(shù)的,那么如何來估計(jì)隨著時(shí)間變化的參數(shù),文獻(xiàn)[16]基于改寫的矩估計(jì)方法得到了時(shí)變參數(shù)的估計(jì),然而有時(shí)候矩估計(jì)方法會(huì)失效,并且此研究也未說明獲得的時(shí)變參數(shù)估計(jì)是否合理這一問題.

基于上述分析，本文提出一種新的估計(jì)時(shí)變參數(shù)的方法,即改寫不確定極大似然估計(jì)法,利用樣本數(shù)據(jù)得到一些固定時(shí)刻的參數(shù)估計(jì)值,然后利用擬合的思想將獲得的參數(shù)估計(jì)值進(jìn)行線性或者非線性擬合,從而獲得時(shí)變參數(shù)估計(jì),并且給出一種時(shí)變參數(shù)擬合函數(shù)是否合理的判斷方法,即要求獲得的時(shí)變參數(shù)擬合函數(shù)使得所有樣本數(shù)據(jù)都落在兩條α-軌道之間.

1 預(yù)備知識

這個(gè)部分將介紹不確定理論中的一些基本定理,對于理解下文的推導(dǎo)以及證明十分有幫助.

定義1[2?3]假設(shè)L 是非空集合Γ 上的σ代數(shù),集函數(shù)M:L →[0,1]稱為不確定測度,若其滿足下述公理:

公理1(正則性) 對于全集Γ,有M{Γ}=1,

公理2(對偶性) 對于任意的事件Λ,有M{Λ}+M{Λc}=1,

公理3(次可列可加性) 對于可數(shù)事件序列Λ1,Λ2,···,有

并將(Γ,L,M)稱為不確定空間.

公理4(乘積公理) 假設(shè)(Γk,Lk,Mk) (k=1,2,···)為不確定空間,則有

其中:Λk為Γk中的任意事件.

定義2[2]不確定測度M 是一個(gè)單調(diào)遞增集函數(shù),那么對于任給事件Λ1,Λ2,如果有Λ1?Λ2,那么有

定義3[2]假設(shè)ξ為不確定變量,對于任給定的實(shí)數(shù)x,如果有

成立,那么Φ(x)稱為不確定變量ξ的不確定分布函數(shù).

定義4[2]假設(shè)ξ為具有正則不確定分布Φ(x)的不確定變量,則逆函數(shù)Φ?1(α)稱為ξ的逆不確定分布.

定義5[2]假設(shè)ξ為不確定變量,若

兩個(gè)積分中至少一個(gè)有限,那么E[ξ]稱為不確定變量ξ的期望值.并且若ξ是具有正則不確定分布Φ(x)的不確定變量,那么期望等價(jià)于下面定義

定義6[2]假設(shè)ξ是具有有限期望值e的不確定變量,那么

稱為不確定變量ξ的方差.

定義7[3]不確定過程Ct被稱為劉過程,若其滿足:

(1)C0=0 并且對于所有的樣本軌道都是Lipschitz 連續(xù)的,

(2)Ct具有平穩(wěn)獨(dú)立增量,

(3)對于x∈?,每個(gè)增量Cs+t?Cs都服從正態(tài)不確定分布N(0,t),其分布函數(shù)為

逆分布函數(shù)為

定義8[2]假設(shè)Ct為劉過程,f和g為可測實(shí)函數(shù),則

稱為不確定微分方程.

定義9[2]假設(shè)α是(0,1)中的數(shù),如果不確定微分方程

可以求解相應(yīng)的常微分方程

其中:Φ?1(α)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)不確定逆分布函數(shù)

那么常微分方程(2)的解是不確定微分方程(1)的α-軌道.

2 未知時(shí)變參數(shù)的不確定極大似然估計(jì)

這一部分將推導(dǎo)利用觀測數(shù)據(jù)得到不確定微分方程中未知時(shí)變參數(shù)的估計(jì)值.考慮帶有未知時(shí)變參數(shù)的不確定微分方程

那么會(huì)有

將觀測數(shù)據(jù)代入方程(4),則有

我們不妨將hi1(μt1,θt1)的值視為來自正態(tài)不確定分布N(e,σ)的m?1 個(gè)樣本,N(e,σ)的不確定分布為

則其導(dǎo)數(shù)為

可以知道(x)隨著|e?x|的增加而減少,根據(jù)不確定似然函數(shù)的定義

那么e和σ的不確定極大似然估計(jì)為求解下面這個(gè)最大化問題

從而

另一方面σ的不確定極大似然估計(jì)值,可以通過求解如下極大問題獲得

例1考慮帶有未知時(shí)變參數(shù)的不確定微分方程

假設(shè)有n個(gè)觀測值,我們將利用m個(gè)數(shù)據(jù)對于前n?m+1 個(gè)時(shí)刻的未知參數(shù)μt和θt進(jìn)行估計(jì),具體步驟如下:

根據(jù)差分,我們可以獲得

根據(jù)上述分析，可得

3 時(shí)變參數(shù)估計(jì)的合理性判斷

這部分我們討論什么樣的時(shí)變參數(shù)估計(jì)是合理的可行的.就含常值參數(shù)的不確定微分方程而言，估計(jì)值的好壞可以通過樣本軌道夾在α-軌道之間來說明,本文將此方法應(yīng)用于含有未知時(shí)變參數(shù)的不確定微分方程中,來判斷時(shí)變參數(shù)估計(jì)的合理性.首先定義含有時(shí)變參數(shù)的不確定微分方程的α-軌道概念.

定義10假設(shè)α是(0,1)中的數(shù),如果含有時(shí)變參數(shù)的不確定微分方程

可以求解相應(yīng)的常微分方程

其中:Φ?1(α)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)不確定逆分布函數(shù)

那么常微分方程(8)的解是含時(shí)變參數(shù)不確定微分方程(7)的α-軌道.

在定義10 的基礎(chǔ)上,有如下含時(shí)變參數(shù)不確定微分方程的性質(zhì).

定理1假設(shè)Xt和是含有時(shí)變參數(shù)不確定微分方程

的解和α-軌道,那么有

證明首先,對于每一條α-軌道,我們將時(shí)間間隔分成兩個(gè)部分,

那么顯然有T+∩T?=?和T+∪T?=[0,+∞).一方面記

由于Ct是獨(dú)立增量,T+和T?是不相交集合,那么

則?λ∈?1∩?2,有

因此對于任意的t,有Xt(λ)≤,并且

另一方面記，

4 數(shù)值實(shí)例

這一部分我們將利用新冠肺炎數(shù)值實(shí)例來驗(yàn)證上述方法的可行性.

例2假設(shè)Xt表示t時(shí)刻中國累計(jì)感染新冠肺炎病例數(shù),那么不確定新型冠狀病毒傳播模型[16]為

接下來對μt和θt進(jìn)行不確定極大似然估計(jì).從國家衛(wèi)生健康委員會(huì)官網(wǎng)獲取2020 年2 月13 日到3 月18 日的累計(jì)新冠肺炎病例數(shù)共35 個(gè)數(shù)據(jù),并且將2020 年2 月13 日記為第1 天,以此類推3 月18 日記為第35 天.我們利用10 個(gè)數(shù)據(jù)對未知參數(shù)和進(jìn)行估計(jì),那么有

中國累計(jì)感染新冠肺炎病例數(shù)如表1 所示,數(shù)據(jù)來源于國家衛(wèi)生健康委員會(huì)官網(wǎng).

表1 中國累計(jì)感染新冠肺炎病例數(shù)

表2 μt 和θt 的不確定極大似然估計(jì)值

根據(jù)表2,利用MATLAB 做出的散點(diǎn)圖如圖1、圖2 所示.

那么,根據(jù)觀測估計(jì)值的散點(diǎn)圖,我們使用邏輯遞減模型

根據(jù)定義10,有

其中:Φ?1(α)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)不確定變量的逆分布函數(shù)

則其α-軌道圖如圖3 所示.

可以看出所有的樣本觀測值都在0.95 軌道和0.31 軌道之間.并且其擬合圖像如圖4、圖5 所示.

其中:R2分別為0.929 0 和0.890 8.那么知道

是合理可行的,則不確定新型冠狀病毒傳播模型為

同時(shí)我們利用99-方法[17]可以獲得t36=36,即2020 年3 月19 日Xt的逆不確定分布,如圖6 所示.

5 結(jié)論

不確定微分方程是不同于隨機(jī)微分方程的另一處理動(dòng)態(tài)系統(tǒng)問題的數(shù)學(xué)工具,在很多時(shí)候不確定微分方程的使用更加符合實(shí)際情況.本文利用不確定極大似然的思想,提出了不確定極大似然估計(jì)不確定微分方程中的未知時(shí)變參數(shù).隨后應(yīng)用回歸擬合的思想獲得μt和θt,利用含有時(shí)變參數(shù)的不確定微分方程的α-軌道方法以及擬合優(yōu)度指標(biāo)R2給出了判斷擬合函數(shù)是否可行的標(biāo)準(zhǔn).最后一個(gè)數(shù)值實(shí)例,驗(yàn)證了方法的可行性.盡管我們利用不確定極大似然估計(jì)得到了不確定微分方程中未知時(shí)變參數(shù)的估計(jì),但這種方法還是在估計(jì)未知常數(shù)的基礎(chǔ)上改進(jìn)的,那么未來可以嘗試提出新的方法來估計(jì)未知時(shí)變參數(shù),以及對時(shí)變參數(shù)進(jìn)行不確定假設(shè)檢驗(yàn).