基于未凍水含量曲線的凍土滲透系數(shù)模型研究?

張致龍，關(guān)陳晨

(新疆大學(xué) 建筑工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

水分遷移在凍土的凍脹和融沉中起著重要作用[1]，精確評估凍土中的水分遷移需要確定滲透系數(shù).在凍土孔隙中，液態(tài)水和孔隙冰共同存在，孔隙冰的產(chǎn)生可降低凍土的滲透系數(shù)，土壤中冰含量隨溫度的變化而變化，因此，凍土的滲透系數(shù)也隨溫度變化.表征凍土中水分遷移的一個主要挑戰(zhàn)是如何在凍結(jié)和融化過程中確定溫度、初始含水率和滲透系數(shù)之間的變化關(guān)系[2?3].

由于凍土的滲透系數(shù)測試比較困難，在這方面的研究有限.凍土滲透系數(shù)的測量一般采用兩種方法：直接測量法和間接測量法.凍土滲透系數(shù)的直接測量首先由Burt等[4]提出，其設(shè)計了一種等溫條件下液體直接通過凍土的滲透儀，并在測試中采用低濃度的乳糖和聚乙二醇替代水分.Horiguchi等[5]以油為流體測量了0～-0.35 ℃之間土壤凍結(jié)過程中的滲透系數(shù)，發(fā)現(xiàn)凍土滲透系數(shù)隨溫度的降低而急劇減小.張虎等[6]以二甲基硅油作為流體，對含水量為62%的青藏高原粉質(zhì)黏土在0～-0.6 ℃范圍的滲透系數(shù)進行了測量.間接測量法是假設(shè)凍土中的水分遷移與不飽和融土中的水分遷移相同，這種假設(shè)是基于融土中干燥和濕潤過程與凍土中凍結(jié)和融化過程的液態(tài)水變化相似[7]，認(rèn)為土水特性曲線可以代替未凍水含量曲線[8].

理論計算方面，都假設(shè)凍土中的未凍水含量和融土中的含水量變化與滲透系數(shù)的函數(shù)關(guān)系是相同的.Flerchinger等[9]采用這一假設(shè)計算凍土滲透系數(shù)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)液態(tài)水含量小于某一閾值時，必須人為設(shè)置凍結(jié)土壤的滲透系數(shù)為零.Lundin[10]認(rèn)為應(yīng)用融土的滲透系數(shù)方程計算凍土的水流量會使計算值過高，因此加入了一個阻抗參數(shù).Watanabe等[11]建立了一種毛細(xì)管束模型來描述凍土中的水流，但此模型同樣采用土水特性曲線（SWCC）代替未凍水含量曲線（SFCC），并且忽略了孔隙壁對水流的影響.然而，粉質(zhì)黏土中3～100 nm孔隙的累積體積約占總孔隙體積的一半，試驗和理論研究發(fā)現(xiàn)，由于小孔隙（納米孔）壁對水滑移和有效粘度的影響，在相同壓力梯度作用下，小孔隙中的水通量相對體積水顯著變化[12?14]，比通過不同直徑碳納米管膜且使用無滑移的Hagen-Poiseuille方程計算的水通量大1到5個數(shù)量級，在接觸角較小的納米孔中，流速還會降低[15?16].此外，測試土水特性曲線比較困難，并且花費時間較長，但隨著核磁共振（NMR）和時域反射計（TDR）技術(shù)的發(fā)展，使得未凍水含量曲線的測量更為容易，并且能更準(zhǔn)確地反應(yīng)未凍水含量的變化情況.因此，一些研究人員認(rèn)為應(yīng)用直接測量的未凍水含量曲線能更準(zhǔn)確地預(yù)測凍土的滲透系數(shù)[17].

考慮到上述使用SWCC的局限性，并且以上理論模型都沒有考慮孔隙壁對水的滑移和有效粘度的影響.為了更準(zhǔn)確、更容易地預(yù)測凍土的滲透系數(shù)，本文提出一種利用未凍水含量曲線、考慮孔隙壁對水的滑移和有效粘度影響的新模型來描述凍土中水的遷移，并討論了土壤凍結(jié)過程中滲透系數(shù)的變化，將計算結(jié)果與試驗值進行比較，驗證了模型的合理性.

1 理論推導(dǎo)

此模型基于Hagen-Poiseuille方程，采用凍土的未凍水含量曲線，并考慮了凍土中孔隙壁對水流的影響，推導(dǎo)出飽和凍土滲透系數(shù)與初始含水率、溫度的函數(shù)關(guān)系.

1.1 凍土中的孔隙

當(dāng)溫度低于土的凍結(jié)溫度時，冰先從土中的大孔隙中心生長，但由于孔隙壁表面力（范德瓦耳斯力）的作用，在孔隙壁附近和小孔隙中的水仍然保持液體狀態(tài).如圖1所示，已凍大孔隙中的未凍水膜厚度d可以表示為[18]：

式中：A為Hamaker常數(shù)，A=-10?19.5[17]；ρi為冰密度，ρi=917 kg/m3；Lf為冰的融化潛熱，Lf=3.34×105J/kg；Ti為土的凍結(jié)溫度.由Gibbs-Thomson方程，未凍小孔隙的臨界直徑（未凍孔隙最大直徑）γGT可以表示為[18?19]：

式中：σls為冰水界面能，σls=2.90×10?2J/m2.

凍土中的孔隙包含兩種：含冰孔隙和無冰孔隙，含冰孔隙所占總孔隙的比例隨溫度的變化而變化.未凍孔隙的臨界直徑和已凍孔隙的未凍水膜厚度與溫度變化關(guān)系可以由式（1）和式（2）計算得到.如圖2所示，當(dāng)土溫度低于-1 ℃時，未凍孔隙的直徑小于100 nm，已凍孔隙的未凍水膜厚度小于5 nm，均為納米孔隙，因此，必須考慮孔隙壁對水流的影響.由于未凍孔隙的臨界直徑比已凍孔隙的未凍水膜厚度大十幾倍，所以，凍土中的液態(tài)水主要是通過未凍孔隙遷移的.圖3顯示了不同初始含水量Nanticoke黏土[20]和青藏高原粉質(zhì)黏土[21]的孔徑累積體積分布曲線，由圖3可知，3～100 nm的孔隙累積體積約占低含水土壤孔隙總體積的一半.研究表明，孔隙壁附近的水粘度比體積水的粘度高，水與小孔隙壁相互作用使水的物理性質(zhì)表現(xiàn)出劇烈的變化[22?23].因此，研究水在凍土中遷移時必須考慮水在小孔隙壁上的滑移和有效粘度的變化.

1.2 凍土中的水流

在壓力梯度作用下，水流過一個給定直徑的孔隙，不考慮水在孔隙壁上的滑移、層流，由力平衡得出Hagen-Poiseuille方程：

式中：J為水通量；μ∞為體積水的粘度，μ∞=9.62×10?7Pa·s；R為孔隙直徑；?p/?z為壓力梯度.當(dāng)溫度低于-1℃時，由于凍土中未凍孔隙的直徑都小于200 nm，考慮水在孔壁上的滑移和有效粘度的變化，水通量由式（3）變?yōu)閇24]：

式中：ls,t為實際滑移長度；μ(d)為孔隙水的有效粘度.水的實際滑動長度作為土-水接觸角的函數(shù)可以描述為[25]：

式中：θ為土-水接觸角，θ=25?[26]；C為常數(shù)，C=0.41[24].

為了得到凍土孔隙中水的有效粘度，采用孔隙中的界面和體積水粘度的加權(quán)平均值[27]：

式中：μi為水的粘度；Ai為孔隙中土-水接觸面積；At為孔隙橫截面積.μi/μ∞與接觸角θ為線性關(guān)系[24]：

為了理解孔隙壁對水通量的影響，引入了增強因子，增強因子定義為水通量的測量值與J的比值[12?13]，如果公式（4）可以描述實測水通量，則增強因子可以表示為：

如圖4所示，由公式（8）計算出的增強因子與凍土孔徑的關(guān)系.計算結(jié)果表明：由于孔隙壁對水流的影響，凍土中水的流量隨著孔隙直徑的減小而降低，最小可以降低為原來的50%，降低的速率也隨著孔隙直徑的減小逐漸變大.

1.3 凍土滲透系數(shù)

假設(shè)在圓柱形的凍土樣品中形成一個網(wǎng)狀的孔隙結(jié)構(gòu)，每一個孔隙的長度為L，土樣的長度為H（H

式中：?z=0 ～H；ξ為土柱長度H與水流過實際路徑L的比值（H/L），ξ=0.6[11]；M為單位面積上某一孔徑的孔隙數(shù)目；nJ為單位面積上孔徑RJ的孔隙數(shù)目.

利用未凍水含量曲線（未凍水含量wu與溫度T）建立一個實際土樣和模型之間的對應(yīng)關(guān)系，即將未凍水含量曲線中的未凍水含量分成若干寬度為△wu的等分，凍土中的未凍水含量wu(T)與溫度的變化相關(guān)，類比達(dá)西定律，由式（9）可以得到凍土的滲透系數(shù)為：

式中：k=0,1,2,···，未凍水含量每下降△wu對應(yīng)的k增加1.依據(jù)式（10），當(dāng)k=0時，K為相同條件下融土的滲透系數(shù)，因為融土中水分以在大孔隙中流動為主，忽略孔隙壁對水流的影響，融土的滲透系數(shù)可以表示為：

式中：K0為相同含水量融土的滲透系數(shù).因此，凍土的滲透系數(shù)也可以表示為：

依據(jù)式（1）和式（2），當(dāng)孔隙直徑RJ>γGT（凍結(jié)孔隙）時，RJ=d.凍土中的未凍水含量等于各孔隙中的液態(tài)水之和，可以表示為：

式中：孔徑為RJ的孔隙數(shù)目nJ可以由式（13）和未凍水含量曲線計算得到.本凍土滲透系數(shù)模型僅需要準(zhǔn)確測量土的未凍水含量曲線和在相同條件下融土的滲透系數(shù)，因此，可以更容易和準(zhǔn)確地計算凍土的滲透系數(shù).

2 理論模型的驗證

2.1 試驗材料和測試方法

試驗在凍土工程國家重點實驗室進行，選用的土樣為青藏高原粉土和粉質(zhì)黏土，與文獻(xiàn)[6]的土樣相同.將土樣在實驗室內(nèi)風(fēng)干、碾碎、過2 mm篩后分成若干份備用，土樣的粒徑分布如圖5所示.為了制備不同含水率的飽和土壤樣品，在土樣中加入預(yù)設(shè)含量去離子水，攪拌均勻，放入密封的塑料袋中24 h，使水分充分均勻，然后進行24 h真空飽和.采用干燥法測定土壤樣品的含水率，實測體積含水量分別為46.3%、51.2%、53.5%、62.2%、50.4%（粉土），并計算干密度，結(jié)果見表1，并將干燥法測得土樣含水率作為標(biāo)準(zhǔn)值.為減小因試樣非均質(zhì)帶來的誤差，將土樣分別逐層均勻地填埋于圓柱形塑料容器內(nèi)，制成直徑為6.18 cm、高為12 cm的圓柱形試樣.

表1 土壤樣品的干密度和初始含水率

試驗中選用的5TM土壤水分傳感器，是由Decagon公司生產(chǎn)的ECH20土壤水分傳感器系列之一，體積含水量測量范圍為0～100%，工作溫度范圍為-40～50 ℃.5TM土壤水分傳感器可以測量土壤或介質(zhì)中的介電常數(shù)，由于土壤中水的介電常數(shù)遠(yuǎn)大于空氣與其它基質(zhì)的介電常數(shù)，因此，土壤的介電常數(shù)大小主要取決于土壤中水分的含量，通過測量土壤的介電常數(shù)就可以達(dá)到測量土壤中水分含量的目的.試驗時將溫度設(shè)置為階梯型下降，溫度分別為0.5、-0.5、-1、-1.5、-2、-3、-5、-10 ℃的5TM探頭可以測得凍結(jié)過程中土壤介電常數(shù)的變化.

核磁共振方法被廣泛應(yīng)用于測量未凍水含量，利用紐曼公司生產(chǎn)的凍土核磁共振儀（NMR），對體積含水量為51.2%土樣在凍結(jié)過程中的未凍水含量變化進行測量.NMR核磁共振法可以快速精確地在實驗室獲得凍土中的未凍水含量，NMR法測量的是磁場中質(zhì)子的自由感應(yīng)衰變值FID，而樣品中水分含量與水的FID值成一定比例關(guān)系，所以通過測量負(fù)溫下相應(yīng)介質(zhì)的FID值就可以根據(jù)相應(yīng)的換算公式得到準(zhǔn)確的未凍水含量.通過對應(yīng)5TM測得的相同土樣的介電常數(shù)值，得到在凍結(jié)過程中未凍水含量與介電常數(shù)的關(guān)系曲線，得出轉(zhuǎn)化公式，如圖6所示，從而依據(jù)測出的介電常數(shù)，計算出其它的未凍水含量值.

2.2 未凍水含量

圖7為未凍水含量（體積含水率）隨溫度的變化關(guān)系.如圖7所示，在0～-0.5 ℃時，未凍水含量顯著降低，且相同土質(zhì)下，初始含水量較大的土樣下降幅度更大，如初始含水量為46.3%和62.2%的粉質(zhì)黏土，未凍水含量分別從46.3%減小到約20%以及從62.2%減小到約10%，這是因為相同土質(zhì)下初始含水量越大，土中大孔隙總體積占比越高，在溫度低于冰點且大孔隙凍結(jié)后，未凍水含量下降幅度就越大；當(dāng)溫度在-0.5～-2.5 ℃時，較大孔隙開始凍結(jié)，未凍水含量下降幅度減緩；當(dāng)溫度在-2.5～-5 ℃時，土體中的未凍水主要存在于約50 nm（圖2）的孔隙中，因此未凍水含量變化幅度很??；同時，在相同溫度下，初始含水量越小的土樣，未凍水含量越高，這是因為初始含水量越小，未凍小孔隙體積占比越大，而未凍水主要存在于未凍小孔隙中，因此，隨著初始含水量的減小，未凍水含量逐漸增加.

3 結(jié)果與討論

3.1 理論模型的驗證

為了驗證模型的可靠性，將模型的計算結(jié)果與其它試驗結(jié)果進行對比.如圖8所示，依據(jù)式（1）、（2）、（12）和（13）對不同土壤和含水量的滲透系數(shù)進行計算.粉質(zhì)黏土的滲透系數(shù)計算采用與文獻(xiàn)[4]和[6]相同的土樣和初始含水率測得的未凍水含量曲線，粉土的初始含水量與文獻(xiàn)[8]接近.由圖8可知，本模型計算的凍土滲透系數(shù)與試驗結(jié)果吻合較好，由于初始含水率和土壤類型（黏土、高嶺土）的不同，其它測試結(jié)果與計算值略有不同，但也在初始含水率51.2%～62.2%的計算結(jié)果范圍內(nèi)，這說明計算結(jié)果是可靠的.本模型能更容易、更準(zhǔn)確地計算凍土滲透系數(shù)，提高預(yù)測凍脹和融沉的準(zhǔn)確性.這是因為土的凍脹由兩部分組成，原位水凍脹和遷移水凍脹，水分遷移量大小主要由驅(qū)動力和滲透系數(shù)決定，試驗測得凍土滲透系數(shù)非常困難，一般采用替代溶液法，且需凍土溫度大于-1.5 ℃，因此，準(zhǔn)確給出不同含水率與土質(zhì)在負(fù)溫下的滲透系數(shù)是精確預(yù)測凍脹融沉的關(guān)鍵.

3.2 凍土的滲透系數(shù)

圖9為不同初始含水量飽和土樣的滲透系數(shù)隨溫度的變化關(guān)系.在0～-0.5 ℃時，凍土的滲透系數(shù)隨著溫度的降低而快速減小，減小幅度受初始含水量和土質(zhì)類型的影響，如：粉土從10?6cm/s減小到10?11cm/s，含水率62.2%的粉質(zhì)黏土從約10?6cm/s減小到10?10cm/s，這是因為當(dāng)溫度低于凍結(jié)溫度時，大孔隙中的液態(tài)水首先相變成冰，在初始含水量較高的粉質(zhì)黏土和粉土中，大孔隙的體積占總孔隙體積的比例更高，未凍的小孔隙體積占的比例較小，而未凍水主要在小孔隙中流動，使得高含水量的粉質(zhì)黏土和粉土的滲透系數(shù)更??；結(jié)合圖2可知，當(dāng)溫度達(dá)到-0.5 ℃時，孔徑約200 nm以上的孔隙全部凍結(jié)，使得未凍孔隙的體積占比急劇減小，因此，在凍結(jié)初期，土壤的滲透系數(shù)下降劇烈；在-0.5～-2.5 ℃時，各土樣滲透系數(shù)的降低速率減緩，減小幅度基本相同，約減小了2個數(shù)量級，水分遷移困難；在-2.5～-5 ℃時，由于各土樣滲透系數(shù)都小于10?10cm/s，粉土已小于10?13cm/s，雖然各土樣滲透系數(shù)最大相差2個數(shù)量級，但滲透系數(shù)都很小，水分遷移非常困難；小于-5 ℃的凍土滲透系數(shù)更小，一般計算認(rèn)為水分不再遷移，因此，不進行更低溫度滲透系數(shù)的計算[30?31].這是因為溫度低于-2.5℃之后，孔徑約50 nm以上的孔隙全部凍結(jié)，不僅未凍孔隙占比更少，而且水分遷移還受到孔隙壁作用.

圖10為-0.5 ℃時飽和凍土的未凍水含量、滲透系數(shù)與初始含水量之間的關(guān)系.由圖10可知，未凍水含量和滲透系數(shù)隨初始含水量的增大而減小，且變化趨勢基本相同.這是因為在-0.5 ℃時，直徑小于216 nm的孔隙中液態(tài)水并沒有凍結(jié)（圖2），隨著飽和土初始含水量增加，孔隙中所容納的水分體積增加，土顆粒的間距增大，部分小孔隙變?yōu)檩^大孔隙（γGT>216 nm）而凍結(jié)，未凍水主要處于小孔隙中（γGT<216 nm），而土中的小孔隙數(shù)量和總體積減小，在相同條件下，低含水量土樣中的未凍小孔隙的總體積大于高含水量土樣.因此，隨著飽和凍土的初始含水量增加，未凍水含量和滲透系數(shù)逐漸減小.

3.3 凍融過程中凍土的滲透系數(shù)

為了避免重復(fù)分析，我們只測量了初始含水量為46.3%的凍結(jié)粉質(zhì)黏土在0～-5 ℃凍融過程中的未凍含水量，如圖11所示，融化過程的未凍含水量小于相同溫度下的凍結(jié)過程.計算對應(yīng)的滲透系數(shù)如圖12所示，在相同溫度下，融化過程的滲透系數(shù)大于凍結(jié)過程，差值超過1個數(shù)量級，在溫度低于-3 ℃后，滲透系數(shù)小于10?11cm/s，水分遷移困難.

4 結(jié)論

（1）本文采用未凍水含量曲線，并考慮孔隙壁對水流的影響，基于Hagen-Poiseuille方程推導(dǎo)出一個凍土滲透系數(shù)模型，得出不同含水量下的飽和凍土滲透系數(shù)與溫度之間的函數(shù)關(guān)系.

（2）利用測得的未凍水含量曲線預(yù)測了不同含水量飽和粉質(zhì)黏土與粉土的滲透系數(shù)，用本模型計算的凍土滲透系數(shù)與相同條件的試驗結(jié)果吻合得很好，驗證了模型的可靠性.本模型僅需要測量土樣未凍水含量曲線和對應(yīng)融土滲透系數(shù)，這使得凍土滲透系數(shù)的預(yù)測更加容易和準(zhǔn)確.

（3）在凍結(jié)過程中，凍土的滲透系數(shù)與未凍水含量隨溫度的變化趨勢基本相同.溫度在0～-1 ℃區(qū)間內(nèi)，隨著溫度的降低，凍土的滲透系數(shù)迅速下降，初始含水率較高的粉質(zhì)黏土和粉土的滲透系數(shù)下降更快；溫度小于-1 ℃后，凍土滲透系數(shù)下降趨于平緩.