深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐初探
——以互動白板在教學(xué)中的實(shí)踐為例

劉 燕 郭海燕

(福建省福州華僑中學(xué) 350001)

深度學(xué)習(xí)是指在理解學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)者能夠批判性地學(xué)習(xí)新的思想和事實(shí)，并把它們?nèi)谌朐械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中，能夠在眾多思想間進(jìn)行聯(lián)系并遷移到新的情境中，作出決策和解決問題的學(xué)習(xí).相對應(yīng)的(也是傳統(tǒng)課堂教學(xué)流行方式)淺層學(xué)習(xí)的認(rèn)知水平停留在識記和理解兩個層面上，學(xué)習(xí)者被動地接受學(xué)習(xí)內(nèi)容，對書本知識和教師講授的內(nèi)容進(jìn)行簡單的記憶和復(fù)制，但是對其中內(nèi)容卻不求甚解，這種學(xué)習(xí)使學(xué)生在課后不久就忘記了所學(xué)知識.所以為了強(qiáng)調(diào)學(xué)生成績的提高，勢必加強(qiáng)訓(xùn)練，增加考試，家長還覺得不夠，再校外參加課外培訓(xùn)……，所以才會呼喚減輕學(xué)生過重的作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)，所以“深度學(xué)習(xí)”理念與教學(xué)方式顯得尤其必要.“深度學(xué)習(xí)”是教學(xué)中的學(xué)生學(xué)習(xí)，體現(xiàn)在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與，體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程.“深度學(xué)習(xí)”必須滿足以下五大要點(diǎn)：(1)積極投入，(2)基于理解的學(xué)習(xí)過程，(3)學(xué)習(xí)活動和認(rèn)知能力處于較高認(rèn)知水平層次，(4)在整體性學(xué)習(xí)的背景下，逐漸建立自己的知識體系，(5)具有創(chuàng)造性和批判性思維，能夠解決情境下問題.

常常碰到這樣的一個問題，學(xué)生課上聽的時候會了，課后做的時候又不會了，同仁也常抱怨，現(xiàn)在學(xué)生的能力太弱了，剛講過的變個條件又不會了，問題出在哪兒呢？筆者經(jīng)過長時間的調(diào)研和反思，發(fā)現(xiàn)教師普遍注重教學(xué)生怎么做而輕視教學(xué)生怎么想，所以，學(xué)生的“會”就停留在對解題步驟的理解，至于怎么想到這樣做，卻不了了之，所以效果自然就是聽一題，會一題，甚至對原題也是一知半解的，更不能說遷移了.我們平日的教學(xué)當(dāng)中，認(rèn)真思考解決好這個問題，其實(shí)已經(jīng)融入了深度學(xué)習(xí)的理念，下面筆者就一道綜合應(yīng)用型的習(xí)題，就互動白板技術(shù)的支持融合中解決情境下問題，深度學(xué)習(xí)的教學(xué)案例，與大家分享探討.

例1 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線y=ax2-2ax+a-2(a>0)，分別過點(diǎn)M(t,0)和點(diǎn)N(t+2,0)作x軸的垂線,交拋物線于點(diǎn)A和點(diǎn)B.記拋物線在A，B之間的部分圖像為G(包括A，B兩點(diǎn)).

(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)記圖形G上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值與最小值的差為m.

①當(dāng)a=2時，若圖形G為軸對稱圖形，求m的值；

②若存在實(shí)數(shù)t，使得m=2，直接寫出a的取值范圍.

1 明確解題目標(biāo)

解題從學(xué)法角度入手、知識溯源來分析，應(yīng)該分三步：①要明確解題目標(biāo)是什么；②根據(jù)目標(biāo)追溯與之相關(guān)的知識源，結(jié)合知識源的主要特征，選擇適合的知識源求解；③解決情境下問題與建立自己的知識體系.

以上面的三個步驟作為操作模式，逐步引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會“怎樣想”，呈現(xiàn)思路的形成過程和必然性，引導(dǎo)學(xué)生掌握基本的分析方法，才能夠讓學(xué)生自悟并有效遷移.下面，筆者通過這個案例說明習(xí)題教學(xué)如何從教“怎樣做”轉(zhuǎn)向教“怎樣想”.

2 追溯選擇與問題相關(guān)的知識源求解

設(shè)計成下列驅(qū)動問題：

問題1：問題(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，已學(xué)過的有關(guān)頂點(diǎn)坐標(biāo)的知識源有哪些？

主要有二次函數(shù)解析式頂點(diǎn)式(知識源1)、頂點(diǎn)公式(知識源2).

問題2：此問應(yīng)選哪個知識源求頂點(diǎn)坐標(biāo)？

觀察式子結(jié)構(gòu)是字母系數(shù)(含參)解析式，然而發(fā)現(xiàn)配方成頂點(diǎn)式恰好計算量少于用頂點(diǎn)公式，所以選擇知識源1.

問題3：二次函數(shù)圖像如何確定？主干題中拋物線確定了嗎？請用白板畫圖理解.

a值與頂點(diǎn)確定則二次函數(shù)圖像確定，其中a值確定帶來開口方向與開口寬窄確定.主干題中拋物線只確定頂點(diǎn)與開口向上，開口寬窄不確定，所以是如圖1的拋物線系列.

圖1

問題4：如何理解“圖形G”？

二次函數(shù)動態(tài)問題的處理策略：數(shù)形結(jié)合，從直觀圖像開始認(rèn)識性態(tài)結(jié)構(gòu)，把結(jié)構(gòu)研究作為一種思維的模式，最后超越直觀.圖形G是水平寬為2的平行垂線截拋物線得的一段，隨著t變化，圖形位置與大小變化(如圖2).

圖2

【設(shè)計說明】這兩問目的在于由形感知，化難為易，培養(yǎng)學(xué)生掌握處理二次函數(shù)問題的策略.

問題5：主干題中“圖形G上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值與最小值的差m” 已學(xué)過的確定m值的有關(guān)知識源有哪些？

主要有平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)與線段長短轉(zhuǎn)化(知識源1)、“最高點(diǎn)與最低點(diǎn)落差”與“最大值與最小值的差”的轉(zhuǎn)化(知識源2)、結(jié)合二次函數(shù)圖像形狀與性質(zhì)(數(shù)形結(jié)合求解)(知識源3)、構(gòu)造待求量與某變量的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最值(知識源4).

問題6：應(yīng)選哪個知識源?

如圖3，結(jié)合二次函數(shù)圖像形狀與性質(zhì)(數(shù)形結(jié)合求解)(知識源2)與(知識源3).

問題7：問題(2)①當(dāng)a=2時，若圖形G為軸對稱圖形，求m的值.如何用軸對稱圖形解決？

a=2時，圖像形狀固定，問題僅僅與位置有關(guān)，結(jié)合圖像(如圖2)，拋物線對稱軸僅有一條，發(fā)現(xiàn)只有一個位置，滿足“部分圖像”成軸對稱，所以只能與拋物線共對稱軸，借助端點(diǎn)對稱性求解，點(diǎn)A與點(diǎn)B縱坐標(biāo)相同為0，與最低點(diǎn)縱坐標(biāo)-2的差均是2，所以m=2.

【設(shè)計說明】目的在于培養(yǎng)學(xué)生處理軸對稱問題的調(diào)控能力.

問題8：問題(2)②若存在實(shí)數(shù)t，使得m=2，怎樣求a的取值范圍？

求變量的取值范圍常有兩種處理策略，一是把要求的變量用另一個變量表示成函數(shù)，利用代數(shù)計算求取值范圍，二是配合圖像與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合確定取值范圍.不論哪種策略都得分類討論.本題若用代數(shù)計算，計算量很大(學(xué)生嘗試過，計算超越現(xiàn)有的知識范疇)，所以選擇用后者.

問題9：既然用圖形的性質(zhì)解決此問題，同時，雙變量t與a都影響著m值，那么能否模仿二次函數(shù)性質(zhì)探究方法，分別找出a固定或者t固定時m隨另一變量的變化規(guī)律？

a固定時，回歸課本(人教九上P29頁)，從圖像看離對稱軸越遠(yuǎn)越陡峭，從函數(shù)值看也是越變越快，m取最小值位置在圖形G與拋物線共對稱軸時(如圖2)；

t固定時，回歸課本(人教九上P31頁)，在a>0的前提下，從圖像看a越大開口越窄，橫向等寬時高低差越大，從函數(shù)值看橫坐標(biāo)等距函數(shù)值差距也越大，也就是說a增大m的最小值增大，可能使其超過2(如圖3).也就是說由(2)①得a=2時，m≥2；若a>2，則m>2，即不存在m=2了，所以須得a≤2，才符合題意；綜上問題得解0

圖3

【設(shè)計說明】從知識溯源切入，教學(xué)生怎樣想，目的在于培養(yǎng)學(xué)生深入溯源二次函數(shù)圖像性質(zhì)探究規(guī)律的思維品質(zhì)，a定m隨t的變化規(guī)律與t定m隨a的變化規(guī)律雙重規(guī)律夾逼下得到問題解決，拓寬思路，從直觀圖像開始最后超越直觀，提升處理二次函數(shù)多參數(shù)問題的能力.

3 解決情境下問題建立自己的知識體系

教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生怎樣想，尤其是思路受阻時，借助知識溯源、回顧處理相關(guān)問題的知識源，往往能打開解決問題的思維通道，確定解題方向的切入點(diǎn)，也比較容易調(diào)動學(xué)生已有的知識，經(jīng)驗(yàn)感受和興趣，從而更加自主參與知識的獲取、問題的解決過程，有利于學(xué)生從中獲取更多的新知、感悟，理解與建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)、促進(jìn)內(nèi)化與創(chuàng)新思維.

互動白板技術(shù)創(chuàng)造性應(yīng)用為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)增加了可操作性，讓學(xué)生自己動手畫y=ax2-2ax+a-2(a>0)圖像，操作得圖2、圖3效果，特別是圖1、圖2、圖3給學(xué)生反復(fù)觀察和共同研究探討，從而為性質(zhì)的歸納，結(jié)論的提煉，知識的構(gòu)建，提供了直觀到抽象、靜態(tài)往動態(tài)的平臺，為創(chuàng)造性和批判性思維的發(fā)展提供保障.

正如數(shù)學(xué)家德海納特說，所有有活力的思想都有一個緩慢的發(fā)展過程，留足夠的探索時間，引導(dǎo)學(xué)生，圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與，體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展.深度學(xué)習(xí)有著不可忽視的教育價值.