一堂新授課的教學(xué)設(shè)計探究
——直線與圓的位置關(guān)系

徐紅峰

(江蘇省揚州市寶應(yīng)中學(xué) 225899)

在我們學(xué)校的“成才杯”教學(xué)大賽中，通過課題《直線與圓的位置關(guān)系》第一課時，兩位骨干教師展示了自己的教學(xué)風(fēng)采.教學(xué)設(shè)計各有自身的特點，但也存在一些差異.教學(xué)設(shè)計的優(yōu)劣對教學(xué)質(zhì)量的提高、學(xué)生思維能力的培養(yǎng)、學(xué)生積極性的調(diào)動具有重要意義.在新課程標(biāo)準(zhǔn)實施的今天，如何進行教學(xué)設(shè)計？本文主要從教學(xué)設(shè)計的角度進行了一些探索.

1 本課內(nèi)容解讀及教學(xué)目標(biāo)制定

由于我們學(xué)校是江蘇省重點中學(xué)，是全縣最好的生源，學(xué)生基本具有處理簡單數(shù)形結(jié)合問題的能力.本節(jié)課的核心內(nèi)容是如何借助直線方程和圓的方程判斷直線和圓之間的位置關(guān)系，如何考慮由形變到數(shù)？事實上，這也是本節(jié)課的難點.直線與圓的位置關(guān)系的內(nèi)容也包含了豐富的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生能夠感受分析研究的一般過程，反映坐標(biāo)思維，深刻理解代數(shù)的重要性，進一步體驗數(shù)形結(jié)合的思想，從數(shù)與形的角度分析解題的思維過程.依據(jù)上面的解讀制定如下教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重難點.

(1)知識目標(biāo)：理解直線與圓的三種位置關(guān)系；掌握用圓心到直線的距離d與圓的半徑r比較，以及通過方程組解的個數(shù)判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法.

(2)能力目標(biāo)：通過對直線與圓的位置關(guān)系的探究活動，經(jīng)歷知識的建構(gòu)過程，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考、自主探究、手動實踐、合作交流的學(xué)習(xí)方式；強化學(xué)生用坐標(biāo)法解決幾何問題的意識，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和靈活解決問題的能力.

(3)素養(yǎng)目標(biāo)：通過對本節(jié)課知識的探究活動，加深學(xué)生對坐標(biāo)法解決幾何問題的認(rèn)識，從而領(lǐng)悟其中所蘊含的數(shù)學(xué)思想，體驗探索中成功的喜悅，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和科學(xué)精神.

(4)教學(xué)重點：直線與圓的三種位置關(guān)系及其判定方法.

(5)教學(xué)難點：用代數(shù)方法探求直線與圓的位置關(guān)系的過程.

2 教學(xué)環(huán)節(jié)

2.1 方案一

2.1.1 創(chuàng)設(shè)情境

【情景導(dǎo)入】(展示日出的動圖)白居易在詩中描寫道：“日出江花紅勝火，春來江水綠如藍”，它生動地描繪了日出的絢麗景象.大家有沒有想過，在日出的過程中，其實也蘊含了有趣的數(shù)學(xué)知識.

問題1 如果我們把太陽近似看作一個圓，海天交線看做一條直線，請大家觀察一下，在日出的過程中，體現(xiàn)了直線與圓的哪些位置關(guān)系？

2.1.2 知識回顧

問題2 (呈現(xiàn)直線與圓的三種位置關(guān)系的圖象)對于這三種位置關(guān)系，圖象呈現(xiàn)出什么樣的幾何特征呢？在初中，我們是怎么判斷直線與圓的位置關(guān)系的？

問題3 除了公共點個數(shù)的不同，我們還能直觀地看到，從相交到相離，圓和直線的“距離”在“變遠(yuǎn)”，如何從這個角度來刻畫直線與圓的位置關(guān)系呢？

問題4 這兩種判定方法都是從幾何特征來認(rèn)識直線與圓的位置關(guān)系，前面我們學(xué)習(xí)了直線和圓的方程，已知直線和圓的方程，如何判斷直線與圓的位置關(guān)系呢？下面，我們將通過具體例子來進行研究.

2.1.3 探究典例

例1 已知直線l:3x+y-6=0和圓心為C的圓:x2+y2-2y-4=0，判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；如果相交，求直線l被圓C所截得的弦長.

方法總結(jié)直線與圓位置關(guān)系的判定：

位置關(guān)系相交相切相離公共點個數(shù)2個1個0個判斷方法幾何法:設(shè)圓心到直線的距離為d=|Aa+Bb+C|A2+B2dr代數(shù)法:由Ax+By+C=0,(x-a)2+(y-b)2=r2,{消元得到一元二次方程,可得方程的判別式ΔΔ>0Δ=0Δ<0

求直線與圓相交時弦長的兩種方法：

圖1 圖2

例2 過點P(2,1)作圓O:x2+y2=1的切線l，求切線l的方程.

2.1.4 課堂練習(xí)

已知圓C：(x-2)2+(y-3)2=4外有一點P(4，-1)，過點P作直線l.

(1)當(dāng)直線l與圓C相切時，求直線l的方程；

(2)當(dāng)直線l的傾斜角為135°時，求直線l被圓C所截得的弦長．

2.1.5 課堂小結(jié)

(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系.(幾何法、代數(shù)法)

(2)求直線與圓相交時的弦長.(幾何法、代數(shù)法)

(3)求過某一點的圓的切線方程.(點在圓上、點在圓外)

2.2 方案二

2.2.1 創(chuàng)設(shè)情境

問題1一艘輪船正沿著南偏西30°的方向直線航行時，接到氣象預(yù)報：就在此刻位于輪船的正南方100m處有個旋渦，它的影響范圍是半徑為20m的圓形區(qū)域，問如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到旋渦的影響？(假設(shè)旋渦沒有移動)

2.2.2 概念深化

問題2請你回憶初中平面幾何知識，直線與圓的位置關(guān)系有哪些？

(課件)

2.2.3 小試牛刀

例1試確定下列直線與圓的位置關(guān)系：

(1)直線m:x=2; 圓C:x2+y2=4;

(2)直線m:x=-1; 圓C:x2+y2=4;

(3)直線m:y=4; 圓C:x2+y2=4.

問題3怎樣判斷直線與圓的位置關(guān)系？這個過程中蘊含著哪些數(shù)學(xué)思想方法？

問題4回到剛上課時的例題，解決引例提出的問題.

2.2.4 變式引申

例3已知直線l：y=x+b與圓C：x2+y2=4，求當(dāng)b為何值時，圓與直線有兩個公共點？只有一個公共點？沒有公共點？

變式1：將圓C：x2+y2=4加條件x≥0；

變式2：將圓C：x2+y2=4加條件y≤0；

變式3：將變式2中的直線l改為y=b(x+4)；

變式4：將變式3中的直線l改為y=b(x+4)+4

2.2.5 方法鞏固

例4已知直線l：3x+y-6=0，圓C：x2+y2-2y-4=0.

(1)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；若相交，求出交點坐標(biāo).

(2)如果直線l與圓C相交，試求出弦長.

問題5上述例題每個問題能找到幾種方法求解？每種方法的依據(jù)是什么？體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想方法？

2.2.6 總結(jié)歸納

問題6請梳理一下本節(jié)課的內(nèi)容，可以從知識、技能、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)經(jīng)驗等方面進行？此外你從其他同學(xué)那里又學(xué)到了什么，以后的學(xué)習(xí)過程中需要注意什么？

2.2.7 拓展思考

直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的相交弦長公式？

3 方案的對比研究

方案一中問題1的設(shè)計主要讓學(xué)生知道，直線與圓的位置關(guān)系在現(xiàn)實生活中有非常多的實例，通過日出的圖象來引入本節(jié)課的內(nèi)容，直觀且自然，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)是源于實際生活的.通過回顧初中時判定直線與圓位置關(guān)系的方法，調(diào)動學(xué)生原有的知識經(jīng)驗，在定性描述的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生思考如何定量刻畫，從而引出本節(jié)課的主要內(nèi)容.通過對例2的探究，掌握求過圓外一點的圓的切線方程的兩種方法，再通過變式將問題進行拓展，總結(jié)出點在圓外、點在圓上和點在圓內(nèi)的情況.通過課堂練習(xí)，運用本節(jié)課所學(xué)知識來解決一些簡單的與直線與圓位置關(guān)系相關(guān)的問題(求切線方程、求弦長)，檢測學(xué)生對知識的理解，鞏固所學(xué)內(nèi)容.總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生形成自己的知識框架和結(jié)構(gòu).方案二的情境創(chuàng)設(shè)，說明數(shù)學(xué)源于生活，可以建模轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解，引出今天所學(xué)知識解決這個問題的必要性.問題2使學(xué)生回憶初中的數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)抽象概括能力.例題1訓(xùn)練意圖是在形成方法前，先讓學(xué)生初步體會如何判斷直線與圓位置關(guān)系，為形成方法做準(zhǔn)備.例題2從“形”和“方程”的角度，類比求交點坐標(biāo)和點到直線距離公式.例題3讓學(xué)生體會兩種解決直線與圓的位置關(guān)系方法的利弊，在做題中進行適當(dāng)?shù)倪x擇.通過變式再一次感受數(shù)形結(jié)合的解題技巧和魅力所在，進一步深化“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想.例題4體會判斷直線與圓的位置關(guān)系的思想方法，關(guān)注量與量之間的關(guān)系.使學(xué)生再一次熟悉判斷直線與圓的位置關(guān)系的基本步驟.提高對數(shù)學(xué)思想方法的理解和運用.最后回顧、反思、總結(jié)形成知識體系.

學(xué)校通過教學(xué)大賽，主要讓教師要明確，教學(xué)的設(shè)計要充分體現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)分層設(shè)計、教學(xué)環(huán)節(jié)要分步遞進.基于新的課程標(biāo)準(zhǔn)，新教材內(nèi)容、新的學(xué)情基礎(chǔ)上精準(zhǔn)設(shè)計教學(xué)目標(biāo)，并用問題串的形式層層遞進，讓所有學(xué)生積極參與到課堂中來，師生一同勾勒出有靈魂的知識體系.大賽落下帷幕，大賽引發(fā)思考還在繼續(xù)，只有不斷反思和總結(jié)并改進，才能真正把優(yōu)秀的教學(xué)設(shè)計落實到實處，學(xué)生在課堂有真收獲，教師在教學(xué)中有真長進，師生共同提高.