基于分形理論的黃河內(nèi)蒙古段河勢(shì)演變特征及其與凌汛災(zāi)害關(guān)聯(lián)研究

田福昌，苑希民，何立新，王秀杰，王麗娜，岳志春

（1. 天津大學(xué)水利工程仿真與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300072； 2. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津300072；3. 河北工程大學(xué)水利水電學(xué)院，河北邯鄲075000；4. 中國(guó)市政工程華北設(shè)計(jì)研究總院有限公司智慧水務(wù)分公司，天津300074）

1 研究背景

黃河內(nèi)蒙古段位于黃河流域最北端，具有特殊的“幾”字形河灣形態(tài)與水文氣象條件，歷史凌汛災(zāi)害頻繁發(fā)生，并造成嚴(yán)重影響［1-2］。凌汛災(zāi)害與熱力環(huán)境、水流動(dòng)力因素、河道邊界條件及人類活動(dòng)等密切相關(guān)［3-7］，復(fù)雜條件變化驅(qū)動(dòng)下黃河內(nèi)蒙古段凌情與凌汛災(zāi)害不斷呈現(xiàn)新的演變特征。河勢(shì)作為河道邊界條件之一，嚴(yán)重影響著凌汛災(zāi)害產(chǎn)生與發(fā)展，研究河勢(shì)演變特征及其與凌汛災(zāi)害的關(guān)聯(lián)關(guān)系，對(duì)于凌汛災(zāi)害易發(fā)河段的早期識(shí)別、預(yù)測(cè)及其災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)防控具有重要意義。

關(guān)于分形理論在河勢(shì)演變中的應(yīng)用研究，一直是國(guó)內(nèi)外地理學(xué)與水利工程學(xué)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)。Mandelbrot作為分形理論的創(chuàng)始人，最早于1977年將分形學(xué)引入地理水文學(xué)領(lǐng)域［8］，探討了河流長(zhǎng)度與流域面積的相關(guān)關(guān)系，隨后Feder 等［9］推導(dǎo)了主河道分形維數(shù)計(jì)算公式。Robert［10］研究了反映河床剖面粗糙度分形特征的標(biāo)度指數(shù)。Tarboton 等［11］基于分形理論建立了河流地貌演化與河網(wǎng)密度的聯(lián)系。Nikora等［12］利用河流中心線分形維數(shù)來(lái)表征河流平面形態(tài)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征。Nykanen等［13］嘗試應(yīng)用自組織臨界理論詮釋了河流演變過(guò)程。Ni等［14］研究了水庫(kù)泄流影響下下游河道橫斷面分形維數(shù)的變化規(guī)律。Feng 等［15］利用分形樹(shù)理論探討了水文學(xué)領(lǐng)域小流域地形地貌的分形特征。Wang 等［16］分析了城市化背景下黃河流域河網(wǎng)多重分形特征。張礦［17］認(rèn)為分形維數(shù)能夠反映河流形態(tài)復(fù)雜程度。汪富泉等［18-20］探討了河流分形結(jié)構(gòu)及其形成機(jī)制，揭示了河流平面形態(tài)的演變規(guī)律。金德生等［21］研究了大江大河河床縱剖面分形特征。馮平等［22］計(jì)算了海河水系河長(zhǎng)和河網(wǎng)分形維數(shù)。白玉川等［23］描述了大江大河不規(guī)則程度和彎曲度分形特征。周銀軍等［24］分析了河床表面分形特征及其度量方法。徐國(guó)賓等［25］研究了黃河不同河型徑流量、寬深比和輸沙量的非線性特征。關(guān)于分形理論在凌汛災(zāi)害中的應(yīng)用研究，Xu等［26］基于分形理論研究了冰破壞強(qiáng)度的尺度效應(yīng)。近年來(lái)田福昌等［27］綜述了國(guó)內(nèi)外河流（網(wǎng)）非線性動(dòng)力系統(tǒng)防災(zāi)分形理論研究進(jìn)展，提出流域多尺度洪災(zāi)分維動(dòng)力機(jī)制、河流演變復(fù)合參數(shù)分形特征與物理機(jī)制等是分形混沌學(xué)與災(zāi)害學(xué)交叉發(fā)展的重要研究方向；之后較為系統(tǒng)地分析了黃河寧蒙段凌汛洪水風(fēng)險(xiǎn)分類及其分布特征，結(jié)果表明冰塞冰壩壅水漫灘以及堤防漫潰決高風(fēng)險(xiǎn)區(qū)域多位于三湖河口至頭道拐河段，凌汛期堤防險(xiǎn)段或防凌薄弱點(diǎn)多呈空間非連續(xù)性分布特征，反映了凌汛期上下游河勢(shì)彎道孕災(zāi)環(huán)境的顯著差異性［28］。羅紅春等［29］基于分形理論研究了彎道冰下水流流速垂線分布規(guī)律。苑希民等［30］提出了一種基于分形理論和SVM 的高分遙感凌汛災(zāi)害信息智能識(shí)別提取方法，并應(yīng)用于黃河內(nèi)蒙古段三湖河口彎道凌汛期河冰的快速識(shí)別與智能分類。綜合上述，分形理論在不同維度河勢(shì)演變研究中得到了很好應(yīng)用，而且近年來(lái)眾多學(xué)者將分形理論引入到凌汛災(zāi)害機(jī)理機(jī)制研究，取得較為豐碩的研究成果；已有研究表明凌汛災(zāi)害易發(fā)河段的“彎道效應(yīng)”十分明顯［31-33］，河勢(shì)作為凌汛災(zāi)害產(chǎn)生與發(fā)展最關(guān)鍵的影響因素之一，量化河勢(shì)演變特征及其與凌汛災(zāi)害（冰塞/冰壩）的關(guān)聯(lián)關(guān)系，對(duì)于凌汛災(zāi)害防御與風(fēng)險(xiǎn)管理至關(guān)重要，而河勢(shì)演變分形維數(shù)已被證明能夠很好地量化河勢(shì)分形特征，可為此定量化研究提供新的思路和方法。

基于此，本文擬根據(jù)分形理論原理，提出橫斷面河相系數(shù)和水位-面積關(guān)系、縱剖面深泓點(diǎn)高程和平均底坡、平面彎曲形態(tài)等不同維度河勢(shì)分形維數(shù)計(jì)算方法，并計(jì)算黃河內(nèi)蒙古段橫斷面、縱剖面與平面河勢(shì)的分形維數(shù)，研究不同維度河勢(shì)分形特征及其與凌汛期冰塞冰壩災(zāi)害的關(guān)聯(lián)關(guān)系，以量化揭示寒區(qū)河道凌汛災(zāi)害的“彎道效應(yīng)”。

2 研究區(qū)域概況

黃河內(nèi)蒙古段屬于黃河流域上游二級(jí)階地，穿越烏海市、包頭市、鄂爾多斯市等市、縣（旗、區(qū)），河段全長(zhǎng)830 km，位于黃河流域最北端，整體呈現(xiàn)“幾”字形大河灣，地理位置如圖1所示。黃河內(nèi)蒙古段河道彎曲、主槽灘地沖淤變化頻繁、主流擺動(dòng)不定、坡度較緩、河型較多，常出現(xiàn)河床高于地面的懸河。由于特殊地理地形環(huán)境影響，黃河內(nèi)蒙古段水流由低緯度流向高緯度且受陰山山脈影響，冬季氣溫上暖下寒，封河自下而上；翌年春季氣溫南高北低，開(kāi)河自上而下。流凌封河期，下游先封河，水流阻力加大，上段流凌易在封河處產(chǎn)生冰塞，壅水漫灘，嚴(yán)重時(shí)造成堤防決口；開(kāi)河期，上游先開(kāi)河、下游處于封凍狀態(tài)，上游大量冰水沿程匯集流向下游，極易在彎曲、狹窄河段卡冰結(jié)壩，壅高水位，造成凌汛災(zāi)害。目前該河段已建成由上下游水庫(kù)、堤防、河道整治工程（控導(dǎo)工程與險(xiǎn)工險(xiǎn)段工程）、應(yīng)急分凌區(qū)等組成的較為完善的防洪防凌工程體系，總體形成了“上控-中分-下排”的防凌調(diào)度方案，上游至下游沿程建有石嘴山、巴彥高勒、三湖河口、昭君墳、頭道拐等重要水文站，主要觀測(cè)不同斷面位置水位、流量、泥沙和水溫等信息。黃河內(nèi)蒙古段干流堤防長(zhǎng)986.73 km，加上海勃灣樞紐庫(kù)區(qū)堤防22.24 km（左岸17.96 km、右岸4.28 km），共有堤防長(zhǎng)度1008.97 km，其中連續(xù)堤段主要分布在三盛公水利樞紐以下平原河道兩岸，石嘴山至三盛公庫(kù)區(qū)兩岸堤防為不連續(xù)分布。在氣候變化與人類活動(dòng)耦合作用愈發(fā)凸顯的情況下，黃河內(nèi)蒙古段凌汛災(zāi)害不斷呈現(xiàn)孕災(zāi)環(huán)境復(fù)雜、突發(fā)鏈發(fā)性強(qiáng)、防御困難等特征，防凌形勢(shì)依然嚴(yán)峻［34］。

圖1 黃河內(nèi)蒙古段

3 研究方法與數(shù)據(jù)

根據(jù)黃河內(nèi)蒙古段（石嘴山至頭道拐河段）水文測(cè)驗(yàn)橫斷面河相系數(shù)及水深-面積關(guān)系、沿程縱剖面深泓點(diǎn)高程與河底坡度、衛(wèi)星遙感影像等歷史數(shù)據(jù)，采用R/S分析法計(jì)算相關(guān)時(shí)間序列的赫斯特?cái)?shù)和分形維數(shù)，分析不同變量隨時(shí)間變化的趨勢(shì)、波動(dòng)性及長(zhǎng)程相關(guān)性，并基于分形定義提出橫斷面水深-面積分形維數(shù)計(jì)算方法。根據(jù)黃河內(nèi)蒙古段歷史冰塞冰壩河段形態(tài)，分析冰塞險(xiǎn)情易發(fā)河段的彎曲特性，并基于多年衛(wèi)星遙感影像提取黃河干流平面形態(tài)，采用盒維數(shù)法計(jì)算不同河段平面彎曲分形維數(shù)，探討橫斷面、縱剖面與平面等不同維度河勢(shì)分形特征及其與冰塞冰壩的關(guān)聯(lián)關(guān)系。

3.1 時(shí)間序列分形維數(shù)R/S分析法R/S分析法是由赫斯特在1965年提出的一種時(shí)間序列統(tǒng)計(jì)方法［35］。假設(shè)存在時(shí)間序列ξ(t),t=1, 2, 3, …,N；對(duì)于任意正整數(shù)τ≥1，定義其均值序列：

用X(t)表示累積離差：

極差R與標(biāo)準(zhǔn)差S定義為：

赫斯特發(fā)現(xiàn)存在經(jīng)驗(yàn)標(biāo)度關(guān)系：

式中：H為赫斯特?cái)?shù)；e為常數(shù)。

分式布朗運(yùn)動(dòng)隨機(jī)分布函數(shù)BH( )t，布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)間標(biāo)度bτ，高為ba的總盒子數(shù)：

式中：T為記錄軌跡的時(shí)間；D為多時(shí)間尺度自相似分形維數(shù)，D=2-H，表征時(shí)間序列變化波動(dòng)性或易變性。

分布式布朗運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)程相關(guān)性與持久性時(shí)間相關(guān)函數(shù)c(t)：

令BH( 0 )=0，則：

由以上各式可以看出，H值一般介于0和1之間，以H=0.5為分界，不同區(qū)間表現(xiàn)出不同的性質(zhì)：

當(dāng)H=0.5時(shí)，D=1.5，c（t）=0，說(shuō)明時(shí)間序列屬于獨(dú)立隨機(jī)的布朗運(yùn)動(dòng)；

當(dāng)H>0.5 時(shí)，D<1.5，c（t）>0，說(shuō)明時(shí)間序列存在一定長(zhǎng)程相關(guān)性和持久性，過(guò)去與未來(lái)變化趨勢(shì)一致，變化增量呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系；

當(dāng)H<0.5 時(shí)，D>1.5，c（t）<0，說(shuō)明時(shí)間序列具有反持久性，過(guò)去與未來(lái)變化趨勢(shì)相反，變化增量呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系。

為了判定時(shí)間序列變化的長(zhǎng)期記憶性，建立統(tǒng)計(jì)量Vτ：

通過(guò)Vτ與lnτ關(guān)系曲線可以判定時(shí)間序列變化的長(zhǎng)期記憶性：若該曲線為平坦直線變化，則時(shí)間序列為獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程，不存在記憶性；若該曲線為向上傾斜變化，曲線拐點(diǎn)對(duì)應(yīng)τ值即為記憶周期長(zhǎng)度；若Vτ達(dá)到峰值后開(kāi)始變得衰減平坦，說(shuō)明長(zhǎng)程記憶過(guò)程開(kāi)始耗散。

3.2 橫斷面水深-面積分形維數(shù)計(jì)算方法1986年，Mandelbrot B.B.給出了簡(jiǎn)單直觀的分形定義：設(shè)

集合A×En，如果A的局部以某種方式與整體相似，則稱A為分形集。分形分布滿足以下條件［36］：

對(duì)上式兩端取自然對(duì)數(shù)得：

式中：s為歐式長(zhǎng)度；y為度量尺碼；D為分形維數(shù)；a為比例常數(shù)。將lns和lny點(diǎn)繪于雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)，擬合直線斜率為-D，則分形維數(shù)等于D。

本文中河道橫斷面水深-面積分形維數(shù)是指不同水深對(duì)應(yīng)于斷面過(guò)流面積的維數(shù)，水深與過(guò)流面積之間為正相關(guān)關(guān)系且存在一定的自相似性，記為：

兩端取對(duì)數(shù)得：

式中：HH為水深，m；S為斷面過(guò)流面積，m2；D為橫斷面水位-面積變化的多尺度自相似分形維數(shù)，主要與斷面形態(tài)有關(guān)；k為比例常數(shù)。

3.3 河道平面彎曲分形維數(shù)計(jì)算方法采用盒維數(shù)法計(jì)算河道平面彎曲自相似分形維數(shù)［27］：設(shè)A是n維歐式空間的子集，δ為閉球半徑，對(duì)每一個(gè)δ>0，用Nδ（A）表示覆蓋A的半徑為δ的閉球最少個(gè)數(shù)，記lnNδ(A) =-Dlnδ+C，若存在，則稱此極限為集A的盒維數(shù)D，Nδ（A）≈cδ-D，即為覆蓋A的閉球數(shù)冪律，其中C=lnc?；贕IS平臺(tái)的不同尺度盒子覆蓋情況，如圖2所示。

圖2 基于GIS平臺(tái)不同尺度盒子覆蓋示意圖

4 研究結(jié)果與討論

4.1 橫斷面河勢(shì)分形特征

4.1.1 河相系數(shù) 根據(jù)不同水文測(cè)驗(yàn)斷面歷年河相系數(shù)，采用R/S分析法計(jì)算河相系數(shù)隨時(shí)間變化的赫斯特?cái)?shù)H、分形維數(shù)D、長(zhǎng)程相關(guān)性參數(shù)c（t）和記憶周期τ，如表1和圖3所示。河相系數(shù)分形維數(shù)的物理意義是表征平灘流量下橫斷面寬深比河相易變波動(dòng)性，不同斷面河相系數(shù)變化具有多尺度自相似分形特征；不同測(cè)驗(yàn)斷面統(tǒng)計(jì)參數(shù)H>0.5且c（t）>0，說(shuō)明河相系數(shù)變化具有正向長(zhǎng)程相關(guān)性，變化趨勢(shì)相關(guān)程度由大至小分別為三湖河口站、頭道拐站、石嘴山站和巴彥高勒站，對(duì)應(yīng)最長(zhǎng)記憶周期分別為23 a、23 a、23 a和6 a，中間出現(xiàn)若干短時(shí)記憶耗散現(xiàn)象；河相系數(shù)分形維數(shù)由大至小排序依次為巴彥高勒站、石嘴山站、頭道拐站和三湖河口站，說(shuō)明巴彥高勒站斷面河相系數(shù)的易變波動(dòng)性最大，石嘴山站次之，三湖河口站最小。

圖3 不同水文測(cè)驗(yàn)斷面河相系數(shù)赫斯特?cái)?shù)與長(zhǎng)程記憶周期圖

表1 不同測(cè)驗(yàn)斷面河相系數(shù)R/S分析結(jié)果統(tǒng)計(jì)

4.1.2 水深-面積關(guān)系 根據(jù)不同測(cè)站不同年份實(shí)測(cè)斷面數(shù)據(jù)，計(jì)算不同水深對(duì)應(yīng)斷面過(guò)流面積，繪制lnHH與lnS雙對(duì)數(shù)散點(diǎn)圖，如圖4 所示，不同年份不同測(cè)驗(yàn)斷面水深-面積分形維數(shù)，如表2 所示。橫斷面水深-面積分形維數(shù)的物理意義是表征不同水深對(duì)應(yīng)河槽寬度增量的波動(dòng)性，不同斷面水深-面積關(guān)系變化具有多尺度自相似分形特征；同一測(cè)站水深-面積分形維數(shù)年際變化較大，不同斷面水深-面積分形維數(shù)的多年均值由大至小排序依次為三湖河口站、巴彥高勒站、頭道拐站和石嘴山站，說(shuō)明三湖河口站斷面水深-面積關(guān)系易變程度最高，不同水深對(duì)應(yīng)河寬的變化波動(dòng)性最大，巴彥高勒站和頭道拐站斷面次之，石嘴山站斷面水深-面積關(guān)系最為穩(wěn)定。

表2 不同年份不同測(cè)驗(yàn)斷面水深-面積萬(wàn)倍分形維數(shù)統(tǒng)計(jì)表

圖4 不同測(cè)站斷面水深-面積分形維數(shù)統(tǒng)計(jì)圖（以2011年為例）

4.2 縱剖面河勢(shì)分形特征

4.2.1 深泓點(diǎn)高程 根據(jù)不同水文測(cè)驗(yàn)斷面歷年深泓點(diǎn)高程，采用R/S分析法計(jì)算不同斷面深泓點(diǎn)高程變化的赫斯特?cái)?shù)與長(zhǎng)程記憶周期，如表3和圖5所示。深泓點(diǎn)高程分形維數(shù)的物理意義是表征主槽深泓縱向升降的易變波動(dòng)性，不同斷面深泓點(diǎn)高程變化具有多尺度自相似分形特征；不同斷面H>0.5且c（t）>0，說(shuō)明深泓點(diǎn)高程變化具有正向長(zhǎng)程相關(guān)性，相關(guān)程度由大至小分別為三湖河口站、頭道拐站、巴彥高勒站和石嘴山站，對(duì)應(yīng)最長(zhǎng)記憶周期分別為23 a、23 a、13 a 和23 a，中間出現(xiàn)若干短時(shí)記憶耗散現(xiàn)象；不同斷面深泓點(diǎn)高程分形維數(shù)由大至小依次為石嘴山站、巴彥高勒站、頭道拐站和三湖河口站，說(shuō)明石嘴山站斷面深泓點(diǎn)高程的易變波動(dòng)性最大，巴彥高勒站次之，三湖河口站斷面深泓點(diǎn)高程的易變波動(dòng)性最小。

圖5 不同水文測(cè)驗(yàn)斷面深泓點(diǎn)高程赫斯特?cái)?shù)與長(zhǎng)程記憶周期圖

表3 不同水文測(cè)驗(yàn)斷面深泓點(diǎn)高程R/S分析結(jié)果統(tǒng)計(jì)

4.2.2 河段平均底坡 根據(jù)不同河段多年平均底坡，采用R/S分析法計(jì)算不同河段平均底坡隨時(shí)間變化的赫斯特?cái)?shù)H、分形維數(shù)D、長(zhǎng)程相關(guān)性參數(shù)c（t）和記憶周期τ，如表4 和圖6 所示。河段平均底坡分形維數(shù)的物理意義是表征河段坡度的易變波動(dòng)性，不同河段平均底坡變化具有多尺度自相似分形特征；不同河段統(tǒng)計(jì)參數(shù)H>0.5且c（t）>0，說(shuō)明河段平均底坡變化具有正向長(zhǎng)程相關(guān)性，相關(guān)程度由大至小分別為巴彥高勒-三湖河口河段（巴-三河段）、三湖河口-頭道拐河段（三-頭河段）和石嘴山-巴彥高勒河段（石-巴河段），對(duì)應(yīng)最長(zhǎng)記憶周期分別為>20 a、>20 a 和12 a；不同河段平均底坡分形維數(shù)由大至小排序依次為石-巴河段、三-頭河段和巴-三河段，說(shuō)明石-巴河段平均底坡的易變波動(dòng)性最大，三-頭河段次之，巴-三河段平均底坡的易變波動(dòng)性最小。

圖6 不同河段平均底坡赫斯特?cái)?shù)與長(zhǎng)程記憶周期統(tǒng)計(jì)圖

表4 不同河段平均底坡R/S分析結(jié)果統(tǒng)計(jì)

4.3 平面河勢(shì)分形特征

4.3.1 歷史冰塞冰壩典型河段 根據(jù)《黃河冰情》記載，歷史冰塞冰壩典型河段的平面形態(tài)，如表5所示，可知冰塞冰壩發(fā)生河段具有彎曲度大、淺灘和束窄等特點(diǎn)，彎道是凌汛期冰塞冰壩險(xiǎn)情發(fā)生的關(guān)鍵位置，比如五犋牛夭子、胡成萬(wàn)灘、西付家圪堵等河段，均是彎曲度較大的典型河灣，彎道特征明顯。上游流凌易在彎曲河段凸岸積聚形成初始冰蓋，并逐漸演化成覆蓋全斷面的加厚冰蓋，在高密度流凌條件下，彎道極易發(fā)生冰塞冰壩，其特殊河勢(shì)是冰塞冰壩形成致災(zāi)的主要驅(qū)動(dòng)因素。

表5 歷史冰塞冰壩典型河段平面形態(tài)

4.3.2 不同河段彎曲分形特征 根據(jù)黃河內(nèi)蒙古段1986 年、1989 年、1994 年、1997 年、2001 年、2007 年、2011 年和2018 年等不同年份凌汛期之前的衛(wèi)星遙感影像，基于GIS 平臺(tái)提取不同年份河道主槽中心線，采用盒維數(shù)法，計(jì)算不同河段不同盒子尺度對(duì)應(yīng)的盒子數(shù)量，繪制lnNδ（A）與lnδ雙對(duì)數(shù)散點(diǎn)圖，并采用最小二乘法回歸擬合，如圖7所示。不同河段不同年份主槽彎曲分形維數(shù)，如表6所示。

由圖7 和表6 分析可知：（1）河道主槽彎曲分形維數(shù)的物理意義是表征河流平面形態(tài)的彎曲性及河灣發(fā)育程度［22］，即河段蜿蜒性和不規(guī)則性，其與彎曲率并不相同，彎曲率一般表示長(zhǎng)距離河流的整體彎曲程度，掩蓋了小尺度河灣發(fā)育細(xì)節(jié)及彎道蜿蜒性［23］；（2）河道平面形態(tài)變化具有多尺度自相似分形特征，主槽彎曲分形維數(shù)多年均值由大至小排序依次為昭君墳-頭道拐河段（昭-頭河段）、巴彥高勒-三湖河口河段、三湖河口-昭君墳河段（三-昭河段）、石嘴山-巴彥高勒河段，說(shuō)明昭君墳-頭道拐彎曲型河段的河灣發(fā)育程度最高，巴彥高勒-三湖河口分汊型河段次之，石嘴山-巴彥高勒河段最??；（3）不同河段主槽彎曲分形維數(shù)年際變化較大，1986—2018年間，石嘴山至頭道拐不同河段萬(wàn)倍彎曲分形維數(shù)的變化區(qū)間分別為［9944，10020］、［9996，10036］、［9960，10067］、［9998，10081］，說(shuō)明三湖河口-昭君墳河段和昭君墳-頭道拐河段河灣發(fā)育程度變化更大，一定程度反映了該河段受水沙沖淤影響，主槽擺動(dòng)大、彎道較多；（4）表6 中河流主槽中心線分形維數(shù)D存在個(gè)別小于1的情況，經(jīng)篩選典型局部河段對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)分形維數(shù)D<1的河段一般具有以下特點(diǎn)：相對(duì)于河道中心線直線長(zhǎng)度而言，河灣弧度比較大；相當(dāng)河灣尺度下，河道中心線較光滑，河勢(shì)漸變較慢；正交直角坐標(biāo)系下，河道走向具有蜿蜒迂回特點(diǎn)，即存在同一橫坐標(biāo)（x）對(duì)應(yīng)多個(gè)縱坐標(biāo)值（y）且同一縱坐標(biāo)（y）對(duì)應(yīng)多個(gè)橫坐標(biāo)值（x）。

圖7 不同河段ln Nδ（A）與lnδ雙對(duì)數(shù)散點(diǎn)圖（以2018年為例）

表6 不同河段不同年份彎曲形態(tài)分形維數(shù)統(tǒng)計(jì)表

4.4 多維河勢(shì)分形特征與凌汛期冰塞冰壩災(zāi)害的關(guān)聯(lián)關(guān)系根據(jù)黃河石嘴山至頭道拐段橫斷面河相系數(shù)與水深-面積關(guān)系、縱剖面深泓點(diǎn)高程與河段平均底坡、平面主槽彎曲形態(tài)等不同維度河勢(shì)的多尺度自相似分形特征，建立其與歷史冰塞冰壩（嚴(yán)重性冰塞）發(fā)生頻次之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，如表7所示。

表7 黃河石嘴山至頭道拐段不同維度河勢(shì)分形維數(shù)與冰塞冰壩發(fā)生頻次的關(guān)聯(lián)關(guān)系

根據(jù)表7統(tǒng)計(jì)結(jié)果，建立不同河段歷史冰壩（嚴(yán)重性冰塞）發(fā)生頻次與平面主槽彎曲分形維數(shù)的關(guān)聯(lián)關(guān)系，并以上下游水文測(cè)驗(yàn)斷面河相系數(shù)、水深-面積關(guān)系、深泓高程及河段底坡分形維數(shù)的平均值作為對(duì)應(yīng)河段的橫斷面與縱剖面分形維數(shù)，繪制橫斷面、縱剖面與平面等不同維度河勢(shì)分形維數(shù)與冰壩發(fā)生頻次的關(guān)聯(lián)曲線，如圖8 所示。結(jié)果表明：（1）河道多維河勢(shì)分形與冰塞冰壩災(zāi)害存在一定的關(guān)聯(lián)特性，其中冰壩發(fā)生頻次與河道主槽彎曲分形維數(shù)呈正相關(guān)指數(shù)型關(guān)系，說(shuō)明冰壩易發(fā)河段的平面形態(tài)蜿蜒曲折、河灣發(fā)育程度高、主河槽偏移擺動(dòng)復(fù)雜不規(guī)則，河流彎道對(duì)凌汛期冰凌下潛、冰塞冰壩形成致災(zāi)具有正向驅(qū)動(dòng)作用，論證了河道多維河勢(shì)分形具有一定的實(shí)用性；（2）冰壩發(fā)生頻次與河相系數(shù)、深泓高程及河段底坡分形維數(shù)呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，說(shuō)明河相系數(shù)、深泓高程和平均底坡分形維數(shù)越大，即三類因素易變波動(dòng)性越大，冰壩發(fā)生概率越低，一定程度反映了河型及河槽穩(wěn)定性與冰壩災(zāi)害的關(guān)聯(lián)關(guān)系，比如分汊型河道（巴-三河段）河相易變但河相系數(shù)仍較小、平均底坡偏大，與三-昭-頭河段相比，該河段具有窄深、坡度大等特點(diǎn)，因未能突破河型轉(zhuǎn)化，并不構(gòu)成加劇冰壩災(zāi)害形成的邊界條件；（3）冰壩發(fā)生頻次與橫斷面水深-面積分形維數(shù)正相關(guān)，說(shuō)明在水沙沖淤與河床整體抬高影響下，不同水深對(duì)應(yīng)斷面面積或過(guò)流能力變化越大，河段寬淺化程度越高，凌汛洪水漫灘幾率越大，越容易造成冰壩災(zāi)害。（4）凌汛災(zāi)害的產(chǎn)生與發(fā)展不僅與河道幾何特征有關(guān)，同時(shí)還受氣候變化、水流動(dòng)力因素和人類活動(dòng)（水庫(kù)調(diào)度、分凌區(qū)應(yīng)急調(diào)控等）多種因素影響，不同因素之間存在著密切關(guān)聯(lián)關(guān)系，比如河流彎道處橫斷面流速分布不均，水流沖刷凹岸，而凸岸易在氣溫驟降和低流速耦合作用下首先結(jié)冰形成冰蓋，逐漸向凹岸延伸，凌汛期彎道主槽處易出現(xiàn)冰凌下潛、產(chǎn)生冰塞或冰壩，因此凌汛災(zāi)害預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)和風(fēng)險(xiǎn)管理需要綜合考慮以上因素的耦合效應(yīng)。

圖8 不同維度河勢(shì)分形維數(shù)與冰壩發(fā)生頻次的關(guān)聯(lián)曲線

5 研究結(jié)論

本文針對(duì)河勢(shì)演變驅(qū)動(dòng)下凌汛期冰塞冰壩災(zāi)害易發(fā)河段診斷及預(yù)測(cè)難題，基于分形理論，提出了河道橫斷面、縱剖面與平面不同維度河勢(shì)分形維數(shù)計(jì)算方法，明確了各類分形維數(shù)物理機(jī)制，并研究了黃河內(nèi)蒙古段不同維度河勢(shì)分形演變特征及其與凌汛期冰塞冰壩災(zāi)害的關(guān)聯(lián)關(guān)系，主要結(jié)論如下：

（1）河道橫斷面、縱剖面與平面不同維度河勢(shì)均具有多尺度自相似分形特征，且具有多年記憶周期的長(zhǎng)程相關(guān)性，冰壩發(fā)生頻次與河道主槽彎曲分形維數(shù)呈正相關(guān)指數(shù)型函數(shù)關(guān)系，定量化論證了凌汛災(zāi)害誘發(fā)的河勢(shì)“彎道效應(yīng)”，進(jìn)一步豐富了凌汛災(zāi)害防治的基礎(chǔ)理論。

（2）河型及河槽穩(wěn)定性與凌汛期冰塞冰壩災(zāi)害的發(fā)生發(fā)展存在密切關(guān)聯(lián)性，冰壩災(zāi)害更易發(fā)生于主槽偏移擺動(dòng)大、蜿蜒曲折、河灣發(fā)育程度高的寬淺型彎曲河道，可為凌汛期冰塞冰壩易發(fā)河段預(yù)測(cè)、防凌風(fēng)險(xiǎn)管理及災(zāi)害防御提供科學(xué)依據(jù)。

（3）本文采用分形維數(shù)量化了河勢(shì)演變對(duì)凌汛期冰塞冰壩災(zāi)害發(fā)生的影響程度，論證了河道多維河勢(shì)分形具有一定的實(shí)用性，未來(lái)可在此基礎(chǔ)上，從以下幾方面作進(jìn)一步深入研究，比如河道橫斷面-縱剖面-平面多維河勢(shì)耦合致災(zāi)的綜合分形維數(shù)計(jì)算方法及閾值、凌汛期冰塞冰壩災(zāi)害易發(fā)彎曲河段的河勢(shì)分形預(yù)測(cè)方法、凌汛期冰塞冰壩災(zāi)害發(fā)生河段的時(shí)空演變規(guī)律及其河勢(shì)分形驅(qū)動(dòng)機(jī)制等。