基于勢函數(shù)的井網(wǎng)流線演變特征

何海峰，徐宏光，曹嫣鑌，李健康，郭省學，唐洪濤

（1.中國石化勝利油田分公司孤東采油廠，山東東營 257237；2.中國石化勝利油田分公司石油工程技術研究院，山東東營 257000；3.中國石化勝利石油管理局有限公司博士后科研工作站，山東東營 257000；4.西南石油大學石油與天然氣工程學院，四川成都 637000；5.山東省稠油開采技術重點實驗室，山東東營 257000；6.中國石化勝利油田分公司勝利采油廠，山東東營 257051）

流線是歐拉法描述流體運動的幾何表示，用于研究流體質點在不同空間位置上的運動情況。流線表示出了流場中流體質點瞬時的流動方向，流線與等壓線是正交的。流線模擬能夠較為真實地反映流體的流動狀態(tài)，形象、直觀地反映注采井的流動耦合關系，用于確定井網(wǎng)的泄油面積，得到油藏中的剩余油富集區(qū)。

在國外，流線模擬法最早由MUSKAT 等引入油氣藏開發(fā)研究中，通過電傳導實驗獲得了面積井網(wǎng)的流線分布［1］。LE BLANC 依據(jù)壓力疊加原理求解了均質油藏的壓力分布，利用流函數(shù)得到了井網(wǎng)的流線分布［2］。MARTIN 等采用流線數(shù)值模擬法研究流度比對五點井網(wǎng)開發(fā)效果的影響［3］。POLLOCK提出了流線追蹤法［4］，為流線數(shù)值模擬方法的發(fā)展奠定了基礎。CHARLES 等采用流線模擬，利用歐拉法求解了不同井網(wǎng)組合下的流場分布［5］。TANAKA 等提出了一種改進的算子分裂技術，實現(xiàn)了沿著流線方向的速度方向和對流方程的同時求解［6］。BRATVEDT 等將溶劑模型應用到流線數(shù)值模擬方法中［7］。

在中國，侯健等最先引入流線方法，建立了聚合物驅和CO2混相驅流線模型［8］。高春光基于坐標變換和鏡像反演理論，研究了五點和九點井網(wǎng)模式的滲流問題，分析了等勢線和流線的特征［9］，為各向異性油藏井網(wǎng)優(yōu)化提供了理論依據(jù)。何應付等建立了各向異性油藏滲流的數(shù)學模型，提出了一種注采井間流線追蹤的流線生成方法，得到了各向異性儲層的流線分布［10］。張麗等結合滲流力學理論和數(shù)值模擬方法，獲得了五點井網(wǎng)的流線分布［11-12］。馮其紅等研究了各向異性儲層的壓力場和速度場，使用Pollock 流線追蹤法建立了三維兩相流體流線模擬方法［13-14］。劉洪等建立了基于形函數(shù)插值方法的流線追蹤方法，揭示了油藏開發(fā)中流線的變化規(guī)律［15］。謝偉偉等采用壓降疊加原理結合流函數(shù)的方法，得到了反九點井網(wǎng)的流線分布［16-18］。葉雙江等建立了流場數(shù)學模型，通過勢函數(shù)和流函數(shù)，得到了五點法混合注采井網(wǎng)內(nèi)部等勢線和流線分布［19-20］。賈虎等通過流線聚類的方式對不同類型的流場進行了區(qū)分評價，采用流線模擬方法對碳酸鹽巖油藏水驅流場進行了識別和優(yōu)化［21］。馮其紅等通過提取流線屬性數(shù)據(jù)，構建了表征水驅油能力的流場潛力系數(shù)，提出了基于瞬時流場潛力系數(shù)的水驅開發(fā)效果評價方法［22］。蔡暉等通過特征分級點法對流場進行分級，建立起“三點四級”指標流場表征法［23］。

目前對于流線研究與描述的方法包括電傳導實驗法、流線油藏工程法、流線數(shù)值模擬法等。采用勢函數(shù)研究流線分布的較少，尤其是依據(jù)油藏井網(wǎng)演變模式研究流線分布［24］的更鮮見報道。筆者以x油藏井網(wǎng)調(diào)整模式為依據(jù)，基于勢函數(shù)理論，建立了反九點井網(wǎng)加密至排狀注采井網(wǎng)的流線模型，研究了考慮儲層非均質性和壓實作用的井網(wǎng)加密前后的流線演變特征。

1 基于勢函數(shù)的反九點井網(wǎng)加密前后的流線模型

在前人通過勢函數(shù)對流場研究［25］的基礎上，考慮平面上各處的滲透率差異以及流體黏度變化對流線的影響，通過勢函數(shù)研究反九點井網(wǎng)加密前后的流場分布。

由達西定律可知，平面滲流場中任一點的滲流速度分量可寫為：

由勢函數(shù)的定義可知：

考慮勢函數(shù)的滲流速度分量為：

地層中任意一點的滲流速度可以表示為：

滲流速度的方向是等勢線的法線方向，指向壓力遞減的方向。

勢函數(shù)與滲流速度存在（3）式的關系，因此勢函數(shù)也稱為速度勢。等壓線上各點的勢函數(shù)相等，它是勢函數(shù)的等值線。勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程：

由流函數(shù)的定義可得：

由（3）和（6）式可得：

勢函數(shù)和流函數(shù)均滿足拉普拉斯方程，在平面滲流場上這2個函數(shù)是調(diào)和函數(shù)。

沿著等勢線，勢函數(shù)的全微分表達式為：

勢函數(shù)任一點上切線的斜率為：

沿著流線，流函數(shù)的全微分表達式為：

流函數(shù)任一點上切線的斜率為：

由柯西-黎曼條件可得：

（12）式表明流線與等勢線在平面滲流場中任意一點上是互相正交的。根據(jù)實驗測試可以獲得壓力場分布［24］，計算得到平面滲流場的等勢線分布，進而根據(jù)流函數(shù)與勢函數(shù)之間的關系得到流線的分布。

采用流函數(shù)確定反九點井網(wǎng)的流場時，對于非均質儲層，平面上任意一點的滲透率難以獲取，為便于計算，主要考慮了注采井附近的滲透率，同時上述方法沒有考慮流體黏度變化的問題。在已知注采井附近滲透率的基礎上，平面上任意一點的滲透率采用克里金插值法計算得到，此種方法得到的滲透率可用于非均質模型流線的研究。在水驅油過程中，儲層中存在3 個區(qū)域，即純水區(qū)、油水共滲區(qū)以及純油區(qū)。在開發(fā)過程中，油藏各處的油水相滲透率是不斷變化的。

流體在3 個區(qū)域流動時，滲透率和流體黏度將發(fā)生變化，勢的計算應該分區(qū)考慮：

不同含水飽和度下的滲透率可以結合相對滲透率曲線進行求取，油相相對滲透率與含水飽和度的關系為：

由（14）式可得油相滲透率：

同樣水相滲透率可以表示為：

對于流體黏度，目前常用的研究方法是將其設為定值，但隨著開發(fā)的進行，儲層中流體黏度是不斷變化的。純水區(qū)的流體黏度以地層水黏度為依據(jù)，純油區(qū)的流體黏度以原油黏度為依據(jù)。油水共滲區(qū)的流體黏度是一個變量，受到地層壓力和溫度的影響。研究中溫度為定值，主要考慮壓力變化對流體黏度的影響。而壓力變化對地層水黏度的影響較小，因此主要考慮壓力對地層原油黏度的影響，其表達式為：

將不同含水飽和度下的滲透率以及對應壓力下的流體黏度分別代入（13）和（4）式可以得到非均質模型的勢函數(shù)和滲流速度，其表達式分別為：

通過（18）和（19）式可以得到流體在地層中各點的勢及滲流速度，滲流速度方向為等勢線的法線方向，指向壓力減小的方向，進而可以獲得各方向上的流線分布。

油藏在開發(fā)過程中會發(fā)生再壓實作用［26-27］，在進行流線模擬研究時應考慮再壓實作用對流線分布的影響。針對測試模型，壓實過后井組各處的滲透率均變小，生產(chǎn)井處的滲透率降幅最為明顯，其次為生產(chǎn)井間區(qū)域和注采井間區(qū)域。根據(jù)測試數(shù)據(jù)，擬合得到地層滲透率與地層壓降的關系，進而得到受壓實作用影響的勢函數(shù)和滲流速度的表達式。

將地層壓降與開發(fā)過程中的最大壓降的比值定義為壓實系數(shù)，油、水相滲透率與壓實系數(shù)存在較好的線性關系，二者的關系式為：

將（20）式分別代入（18）和（19）式，得到考慮壓實作用的勢函數(shù)和滲流速度的表達式分別為：

2 反九點井網(wǎng)至排狀注采井網(wǎng)流線演變特征

由采用勢函數(shù)流線模型計算的均質模型井網(wǎng)加密前后的等勢線和流線的分布（圖1）可以看出，基礎井網(wǎng)和加密井網(wǎng)的勢在注入井周圍（圖1 中紅色部分）最高，采出井（圖1 中藍色部分）最低，勢從注入井向采出井逐漸降低；注采井之間的流線比較規(guī)則，對稱分布。主流線區(qū)域和流線分割區(qū)與謝偉偉采用流函數(shù)模型計算的均質模型［16］的流場較為一致。對于反九點井網(wǎng)主流線主要分布在注采井間滲流通道上，而邊角井之間區(qū)域流線相對稀疏，且角井流線控制范圍相對邊井稍小。對于排狀注采井網(wǎng)，模型流場發(fā)生顯著變化，中間井排轉注使得注采井之間的流線均勻分布。

圖1 均質模型井網(wǎng)加密前后等勢線和流線分布Fig.1 Equipotential line and streamline distribution before and after well pattern infilling in homogeneous model

由非均質模型井網(wǎng)加密前后等勢線和流線分布（圖2）可見，模型的流線分布發(fā)生不規(guī)則變化，形態(tài)與均質模型流線存在較大差異，主要是計算時考慮了平面滲透率的差異以及流體黏度變化的影響。各注采井間流場分布差異較大，受井間物性差異影響，主流線并不完全沿生產(chǎn)井方向分布，注入水優(yōu)先沿高滲透帶突進。由于低滲透區(qū)的存在，流體會發(fā)生繞流，與均質模型相比，主流線方向多變，流場分布更為復雜。從流線的角度可以看出，反九點井網(wǎng)邊角井之間的流線分割區(qū)水驅效果較差。

圖2 非均質模型井網(wǎng)加密前后等勢線和流線分布Fig.2 Equipotential line and streamline distribution before and after well pattern infilling in heterogeneous model

加密后，非均質模型與均質模型的流線分布整體表現(xiàn)出相似的流動規(guī)律，從注水井排向生產(chǎn)井排波及。但2 口轉注井與采出井的流線存在差異，右側轉注井位于低滲透區(qū)，流量較小，流線相對稀疏，而左側轉注井靠近高滲透帶，注入水流量較大，流線分布相對密集。由于受到儲層非均質性的影響，流向邊角井的流線呈現(xiàn)不規(guī)則的形態(tài)，轉注加密后流向邊角井的流線分流，流向加密井的流線增加。同樣，從流線演變特征可以看出，反九點井網(wǎng)的流線分割區(qū)位于加密井網(wǎng)的主要流動區(qū)，加密后，注入水與加密井之間的流線穿越了該部分區(qū)域，井網(wǎng)水驅控制程度得到改善，原先驅替效果差的區(qū)域受到注入水的波及。排狀注采井網(wǎng)的不可動區(qū)域位于反九點井網(wǎng)的主流線區(qū)域，在反九點井網(wǎng)的開發(fā)過程中已經(jīng)受到注入水的驅替。排狀注采井網(wǎng)原采油井排采油井與加密井之間的流線分割區(qū)以及加密前后流線分割區(qū)的疊合區(qū)水驅效果較差。

流線是流體流動規(guī)律的綜合反映，流體在流動中受到驅替壓力、滲透率、流體黏度等因素的影響，而儲層非均質性是造成這些因素差異的主要原因。因此，這種處理方式得到的流線分布對儲層非均質性的反映程度較高。

疏松砂巖油藏在開發(fā)過程中，隨著地層流體的采出，地層壓力下降會導致地層壓降增大從而引起儲層壓實，儲層巖石和流體的受力平衡遭到破壞進而引起儲層物性的改變，物性的變化會影響油水的滲流特征，反映到流場上的表現(xiàn)是壓實前后流線分布的變化。儲層的壓實作用［26］主要發(fā)生地層壓力下降顯著的生產(chǎn)初期，而后隨著注入水的增加，地層壓力升高，儲層物性得到保持。因此，主要研究了反九點井網(wǎng)壓實作用前后的流線分布特征。

通過（21）和（22）式計算得到受儲層壓實作用影響的勢函數(shù)和滲流速度，進而得到壓實作用下的流線分布。由于井組各處壓實程度不同，壓實后流線發(fā)生不規(guī)則變化。由非均質模型反九點井網(wǎng)壓實前后的等勢線和流線分布（圖3）可見，角井區(qū)域的壓實作用相對明顯，在流線上的表現(xiàn)是壓實后流向角井的流線減少，角井的水驅控制面積減小。壓實作用會引起流線流動方向的改變，原來的滲流通道被壓縮甚至閉合，流體流動的連續(xù)性遭到破壞，從而發(fā)生繞流。注水井周圍能量補充較為及時，壓實作用較弱，壓實作用對注水井周圍的流線影響較小。流線分布顯示壓實對角井、邊井的影響較為顯著，對注水井的影響最弱，但對采油井之間滯留區(qū)、注采井區(qū)間流線的影響并不明顯。

圖3 非均質模型反九點井網(wǎng)壓實前后等勢線和流線分布Fig.3 Equipotential line and streamline distribution of inverted nine-spot pattern before and after compaction in heterogeneous model

3 模型可靠性驗證

為了驗證模型的可靠性，采用商業(yè)軟件Eclipse中的FrontSim 模型，進行基于實驗模型的反九點基礎井網(wǎng)及加密井網(wǎng)的流線數(shù)值模擬。與圖2 相比，整體上看，反九點井網(wǎng)和排狀注采井網(wǎng)的數(shù)值模擬流線分布（圖4）顯示，勢函數(shù)非均質模型得到的注采井之間的流線分布規(guī)律與數(shù)值模擬軟件的模擬結果顯示的規(guī)律相似，不同注采井之間的流線邊界、流線控制區(qū)域形狀、控制區(qū)域大小相似，表明基于勢函數(shù)建立的反九點井網(wǎng)加密前后的流線模型是可靠的。

圖4 非均質模型井網(wǎng)加密前后數(shù)值模擬流線分布Fig.4 Streamline distribution before and after well pattern infilling in heterogeneous model by numerical simulations

4 結論

基于勢函數(shù)理論，推導了反九點井網(wǎng)排狀加密后的井網(wǎng)流線模型，得到了反九點井網(wǎng)轉排狀注采井網(wǎng)的流線演變特征。

考慮儲層非均質性和壓實作用，基于勢函數(shù)流線模型對反九點井網(wǎng)加密前后的流場變化進行研究。該模型得到非均質模型的流線與實際流場較為符合，可以較好地反映儲層的非均質性。壓實后由于井組各處壓實程度的差異，流線發(fā)生不規(guī)則變化。流線分布顯示壓實對角井、邊井的影響較為明顯，對注水井的影響最弱，但對采油井之間滯留區(qū)、注采井區(qū)間流線的影響并不明顯。

考慮平面滲透率和流體黏度的變化，通過勢函數(shù)獲得的流線分布可以較好地還原儲層非均質條件下的流場。流線演變特征顯示反九點井網(wǎng)邊角井之間的流線分割區(qū)、排狀注采井網(wǎng)原采油井排采油井與加密井之間的流線分割區(qū)以及加密前后流線分割區(qū)的疊合區(qū)水驅效果較差。

符號解釋

a，ai，ai+1，b，bi，bi+1，d——系數(shù)；

c，C，C1，C2，C3——常數(shù)；

Cp，Cpi，Cpi+1，Cpo，Cpw——壓實系數(shù)；

i——自然數(shù)；

K——滲透率，mD；

Kc——絕對滲透率，mD；

Kci，Kci+1——非均質模型平面上不同位置處的絕對滲透率，mD；

Ko——油相滲透率，mD；

Kro——油相相對滲透率；

Kw——水相滲透率，mD；

K1——勢函數(shù)任一點上切線的斜率；

K2——流函數(shù)任一點上切線的斜率；

L——2條等勢線間的距離，cm；

m，m1，mi，mi+1，n，n1，ni，ni+1——擬合系數(shù)；

mo，no，mw，nw——油、水相有效滲透率與壓實系數(shù)的擬合系數(shù)；

p——壓力，MPa；

pb——飽和壓力，MPa；

pi，pi+1——等勢線對應壓力線的壓力，MPa；

Sw——含水飽和度；

Swi，Swi+1——非均質模型平面上不同位置處的含水飽和度；

v——地層中任意一點的滲流速度，cm/s；

vx，vy——x，y方向的滲流速度，cm/s；

x，y——坐標軸方向；

μ——流體黏度，mPa·s；

μo——油相黏度，mPa·s；

μw——水相黏度，mPa·s；

Φ——某一點的勢，J；

Φi，Φi+1——2條等勢線的勢，J；

Φo——純油區(qū)的勢，J；

Φow——油水共滲區(qū)的勢，J；

Φw——純水區(qū)的勢，J；

ψ——流函數(shù)。