增材制造三維點陣結(jié)構(gòu)設(shè)計、優(yōu)化與性能表征方法研究進(jìn)展*

段晟昱，王潘丁，劉 暢，趙則昂，周 浩，張嘯雨，雷紅帥，郭 旭，方岱寧

（1. 北京理工大學(xué)，北京 100081；2. 大連理工大學(xué)，大連 116023；3. 中國空間技術(shù)研究院，北京 100094）

“物盡其用”是結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計最樸素的思想，也是航空航天飛行器發(fā)展的永恒追求[1–2]。如何在經(jīng)典力學(xué)設(shè)計理論、人工智能計算分析方法、新材料與新制造技術(shù)框架下，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)宏觀力學(xué)性能和多功能特性的完美融合是學(xué)術(shù)界和工業(yè)界長期共同關(guān)注的焦點問題[3–5]。近年來，三維點陣結(jié)構(gòu)與增材制造技術(shù)相結(jié)合已成為新興發(fā)展的高性能輕量化多功能結(jié)構(gòu)設(shè)計與制造的新方法[6–9]。2021 年1 月，美國國防部發(fā)布的增材制造戰(zhàn)略規(guī)劃將結(jié)構(gòu)的創(chuàng)新設(shè)計方法與增材制造實現(xiàn)技術(shù)列為重點研究方向。新制造技術(shù)驅(qū)動下三維點陣胞元及其宏觀結(jié)構(gòu)打破了傳統(tǒng)的單一功能、單一尺度、單一類型（胞元或材料）和單一分布形式的局限，為深空探測飛行器、重型運(yùn)載火箭、遠(yuǎn)轟無人機(jī)等重大戰(zhàn)略裝備輕量化提供了技術(shù)保障[8–9]。但同時也衍生出了新的基礎(chǔ)問題，例如三維點陣胞元的創(chuàng)新構(gòu)造方法與變形預(yù)測理論、三維點陣多尺度結(jié)構(gòu)的宏微觀計算分析與拓?fù)鋬?yōu)化方法、考慮制造工藝特征的增材制造三維點陣結(jié)構(gòu)性能評價方法等[6，10–11]。

本文圍繞增材制造三維點陣結(jié)構(gòu)及其設(shè)計方法進(jìn)行概述，著重介紹了輕質(zhì)多功能三維點陣胞元設(shè)計方法、多尺度結(jié)構(gòu)計算分析與拓?fù)鋬?yōu)化方法、性能表征與評價方法等方面的國內(nèi)外研究進(jìn)展，并對未來發(fā)展趨勢進(jìn)行了討論，旨在推動增材制造三維點陣結(jié)構(gòu)在實際工程中的應(yīng)用。

1 增材制造三維點陣結(jié)構(gòu)工程應(yīng)用

早在20 世紀(jì)末，國內(nèi)外學(xué)者就從理論上證實三維點陣是大幅度降低結(jié)構(gòu)相對密度、同時保證可靠力學(xué)性能的最有效技術(shù)路徑。近年來，增材制造技術(shù)的發(fā)展極大推動了三維點陣等先進(jìn)輕量化結(jié)構(gòu)在航空航天領(lǐng)域的工程應(yīng)用，逐步涌現(xiàn)出一批增材制造三維點陣輕量化承載結(jié)構(gòu)，提升了航空航天運(yùn)載器的運(yùn)載效率，降低了型號研發(fā)成本和制造周期。2014 年，空中客車公司 （Airbus）首次將增材制造拓?fù)鋬?yōu)化點陣應(yīng)用于A350 寬體客機(jī)的內(nèi)部艙體支架，并于2017 年實現(xiàn)了A350XWB 機(jī)翼塔架的輕量化增材制造，用于連接機(jī)翼與發(fā)動機(jī)[12]。美國nTopology 公司與美國空軍航空技術(shù)學(xué)院 （AFIT）合作，采用Inconel 718 鎳合金增材制造技術(shù)制備了Cubsat 立方衛(wèi)星的三維點陣支架，相比于傳統(tǒng)的鋁支架結(jié)構(gòu)，整體減重50%，零件數(shù)量從150 件縮減到25 件，結(jié)構(gòu)剛度得到了顯著提升[13]。Thales Alenia Space公司與歐洲航天局 （ESA）合作，開發(fā)了一種適用于異形承力結(jié)構(gòu)的三維點陣填充算法，并通過增材制造應(yīng)用于可展開太陽能帆板結(jié)構(gòu)。相比于傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)重量減輕了80%，零件數(shù)減少了90%，制造成本降低了75%（圖1（a））[14]。歐洲航天局與空中客車公司合作推進(jìn)大尺寸輕量化點陣結(jié)構(gòu)增材制造技術(shù)，實現(xiàn)了1.5 m 鈦合金承力結(jié)構(gòu)的一體化成形[15]。2019 年，由北京空間飛行器總體設(shè)計部牽頭研制的“千乘一號”小衛(wèi)星結(jié)構(gòu)順利發(fā)射，國際上首次實現(xiàn)了增材制造三維點陣結(jié)構(gòu)技術(shù)在航天器主承力結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用，創(chuàng)新提出了多重對稱自支撐三維點陣胞元設(shè)計方法，解決了增材制造工藝取向約束下的高性能三維點陣結(jié)構(gòu)設(shè)計與制造難題，整星結(jié)構(gòu)重量占比降低至15%以內(nèi)，零件數(shù)減少至5 件，結(jié)構(gòu)設(shè)計制造周期縮短至1 個月，為深空探測、載人登月、遙感通信等領(lǐng)域國家重大工程實施提供了關(guān)鍵技術(shù)支撐（圖1（b））[16]。增材制造三維點陣結(jié)構(gòu)的另一顯著優(yōu)勢是結(jié)構(gòu)功能一體化，例如結(jié)構(gòu)內(nèi)部的空隙和孔道為散熱、隔熱等應(yīng)用提供了優(yōu)越的載體。傳統(tǒng)設(shè)計中熱控結(jié)構(gòu)與承力結(jié)構(gòu)往往采用分離設(shè)計制造，采用三維點陣設(shè)計之后二者可耦合設(shè)計，并可通過增材制造一體化成形。美國Cobra Aero 公司提出一種增材制造無人機(jī)發(fā)動機(jī)缸體結(jié)構(gòu)，在缸體壁面填充三維點陣，一方面減輕結(jié)構(gòu)重量，另一方面充當(dāng)冷卻流道，實現(xiàn)了輕量化承載、傳熱特性以及工質(zhì)流體動力學(xué)特性的聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計（圖1（c））[17]。德國Hyperganic 公司將火箭發(fā)動機(jī)中的燃燒室、噴管和冷卻通道整合為一體化結(jié)構(gòu)，噴管外表面填充極小曲面點陣，發(fā)動機(jī)工作時點陣結(jié)構(gòu)中的冷卻工質(zhì)控制機(jī)體溫度，同時點陣構(gòu)型可顯著降低結(jié)構(gòu)熱應(yīng)力[18]。德國Cellcore 公司也提出一種增材制造一體化液體火箭發(fā)動機(jī)噴管結(jié)構(gòu)，在噴管壁面內(nèi)部填充三維點陣，發(fā)動機(jī)工作時噴管承受高壓氣動力，三維點陣提升結(jié)構(gòu)剛度同時作為冷卻工質(zhì)流道。通過構(gòu)型優(yōu)化使后處理工序最小化，使用Inconel 718 鎳合金增材制造，該噴管結(jié)構(gòu)的制造周期可控制在3 天以內(nèi) （圖1（d））[19]。總的來看，增材制造三維點陣結(jié)構(gòu)在工程裝備中具有廣闊的應(yīng)用空間，尤其是對于具有復(fù)雜載荷邊界的異型構(gòu)件，可通過內(nèi)部三維點陣填充設(shè)計，在實現(xiàn)極致輕量化的同時兼顧優(yōu)異的多功能與承載特性，并且能夠極大縮短構(gòu)件的研制周期。

圖1 增材制造三維點陣工程應(yīng)用案例Fig.1 Engineering application cases of AM 3D lattice structures

2 輕質(zhì)多功能三維點陣胞元結(jié)構(gòu)及其設(shè)計方法

點陣材料是多孔材料的一種。多孔介質(zhì)是自然界中和動植物體內(nèi)廣泛存在的一種結(jié)構(gòu)形式，如骨骼、蜂巢、甲殼動物等[20–21]。在自然材料與結(jié)構(gòu)的啟發(fā)下，人工多孔材料得到了長足的發(fā)展。按照微觀結(jié)構(gòu)的幾何形式，多孔材料通常可以分為泡沫材料和點陣材料兩大類，其區(qū)別在于泡沫材料具有無序的微結(jié)構(gòu)，而點陣材料具有周期有序的微結(jié)構(gòu)。與二維蜂窩材料相比，三維點陣材料的設(shè)計空間更大，具有更為多樣的微結(jié)構(gòu)形式。由于點陣材料與結(jié)構(gòu)具有極大的可調(diào)控設(shè)計空間，千變?nèi)f化的微結(jié)構(gòu)和自由設(shè)計的孔隙率使其能夠?qū)崿F(xiàn)多種優(yōu)異的多功能特性，如輕質(zhì)高承載特性、高吸能抗沖擊特性、可編程特性、熱性能可控特性、電磁波隱身特性、聲學(xué)降噪特性等。

通過力學(xué)設(shè)計獲得具有優(yōu)異承載及多功能特性的胞元構(gòu)型，擴(kuò)展現(xiàn)有工程結(jié)構(gòu)設(shè)計的選材空間，盡可能豐富所有潛在的材料性能區(qū)域，達(dá)到甚至突破理論上限[22]是點陣結(jié)構(gòu)力學(xué)設(shè)計追求的目標(biāo)，對提高航空航天領(lǐng)域結(jié)構(gòu)裝備的輕量化與多功能化有著重要的意義。研究者們構(gòu)造出了多種多樣的三維點陣胞元構(gòu)型，其中由梁組成的桁架點陣結(jié)構(gòu)由于其幾何形式簡單，設(shè)計方法簡便有效，受到了最多的關(guān)注（圖2（a）[23]）。桁架點陣的基本設(shè)計原理為通過桿件在胞元中的空間對稱與組合，形成不同的點陣胞元。典型構(gòu)型包括簡單立方桁架點陣（SC）、體心立方桁架點陣 （BCC）、面心立方桁架點陣（FCC）、八面體桁架點陣 （OCT）等[23–24]。胞元內(nèi)桁架的連接方式對力學(xué)性能有很大的影響，根據(jù)受到外部載荷時胞元內(nèi)部桿件受力狀態(tài)的差異（拉/壓或受彎曲），可將桁架點陣分為拉伸主導(dǎo)型或彎曲主導(dǎo)型點陣[25]。拉伸主導(dǎo)型點陣材料的剛度和強(qiáng)度特性與其相對密度的一次方成正比，而彎曲主導(dǎo)型點陣材料的剛度和強(qiáng)度特性則根據(jù)構(gòu)型的不同與其相對密度的1.5～3 次方成正比[26–27]。因此，對于由相同母體材料構(gòu)成的點陣材料，拉伸主導(dǎo)型點陣的力學(xué)性能要優(yōu)于彎曲主導(dǎo)型點陣，通?？梢愿鶕?jù)Maxwell 公式來判斷某一桁架點陣屬于拉伸主導(dǎo)或者彎曲主導(dǎo)[25]，但傳統(tǒng)Maxwell 公式存在變形模式判別模糊的問題。Lei[28]和Li[29]等提出了基于節(jié)點平均連通度的判定準(zhǔn)則，可有效解決此問題。

圖2 輕質(zhì)高強(qiáng)三維點陣Fig.2 Lightweight and high-strength 3D lattice structures

近年來，基于曲面或平板的三維點陣受到了越來越多的關(guān)注。研究者發(fā)現(xiàn)基于三周期極小曲面（TPMS）的三維曲面點陣（圖2（b））[30–31]，可表現(xiàn)出相較桁架點陣更優(yōu)異的力學(xué)性能，但由于TPMS 曲面構(gòu)型復(fù)雜，對其外形調(diào)控較為困難。Bonatti等[32–33]通過對曲面彎曲能最小化的優(yōu)化，提出了一類改進(jìn)型曲面點陣，實現(xiàn)了曲面外形以及點陣各向異性的調(diào)控 （圖2（c））。Berger 等[34]通過將具有簡單立方對稱性的平板點陣與八面體構(gòu)型的平板點陣以特定的比例進(jìn)行混雜，獲得的簡單立方–八面體混雜平板點陣構(gòu)型能夠表現(xiàn)出彈性各向同性，并能夠在相對密度趨于0 時達(dá)到各向同性點陣材料的HS 理論上限 （Hashin-Shtrikman upper bound），這一優(yōu)異特性給具有極限力學(xué)性能的點陣構(gòu)型創(chuàng)新設(shè)計帶來了啟發(fā)。Tancogne-Dejean 等[35]借鑒此混雜設(shè)計方法，給出了能實現(xiàn)彈性各向同性的三維簡單立方、體心立方和面心立方混雜平板點陣的設(shè)計方法 （圖2（d）），并通過試驗驗證了其彈性各向同性。盡管三維平板點陣的彈性力學(xué)性能十分優(yōu)異，但其屬于閉孔材料，連通性較差，通過增材制造手段進(jìn)行制備時內(nèi)部粉末或液體難以排出。除此之外，由于其單個胞元內(nèi)包含的平板數(shù)量較多，較低相對密度下平板厚度較小，給制備帶來困難。Duan 等[36]提出了一類可兼顧增材制造能力與優(yōu)異力學(xué)性能的平板點陣構(gòu)型，并通過試驗驗證了其對于金屬增材制造的適應(yīng)性。為進(jìn)一步增強(qiáng)三維點陣結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能，研究者們還提出了混雜多層級設(shè)計的思想，通過對多種點陣構(gòu)型的混雜或多級設(shè)計來實現(xiàn)增強(qiáng)或者增韌特性。Pham 等[37]受多晶材料晶界增強(qiáng)效應(yīng)的啟發(fā)，通過類多晶混雜胞元設(shè)計，提出了具有高強(qiáng)韌性的新型三維混雜點陣結(jié)構(gòu)。Lei 等[28]根據(jù)層級梯度與多胞元混雜的思想提出了多層級三維點陣夾芯結(jié)構(gòu)的增強(qiáng)設(shè)計方法，實現(xiàn)了對點陣結(jié)構(gòu)失效模式的有效調(diào)控。

除了單純通過高承載特性實現(xiàn)減重外，多功能一體化結(jié)構(gòu)是進(jìn)一步提升航空航天裝備輕量化水平的重要途徑，如何設(shè)計出兼具優(yōu)異力學(xué)性能和多功能響應(yīng)特性的輕質(zhì)三維點陣結(jié)構(gòu)已成為國內(nèi)外學(xué)者研究的前沿?zé)狳c問題。三維點陣胞元豐富的宏細(xì)觀幾何特征和典型的多孔特性，為其“賦能”設(shè)計提供了廣闊空間。目前，常見的多功能三維點陣結(jié)構(gòu)設(shè)計主要采用4 類策略： （1）節(jié)點受力不對稱誘發(fā)的宏細(xì)觀變形，例如，負(fù)泊松比點陣結(jié)構(gòu) （圖3（a））[38–39]和壓–扭耦合變形點陣結(jié)構(gòu)等 （圖3（b））[40–41]；（2）點陣胞元組件變形模式誘導(dǎo)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，例如，基于變形競爭機(jī)制的熱膨脹系數(shù)可調(diào)點陣結(jié)構(gòu)（圖3（c））[42–43]、基于非線性大變形多穩(wěn)態(tài)的相變點陣結(jié)構(gòu) （圖3（d））[44]，以及基于屈曲變形誘導(dǎo)的自組裝點陣結(jié)構(gòu)（圖3（e） ）等[44–46]； （3）基于材料物理響應(yīng)特性（聲、光、電、磁、化等）的多功能設(shè)計，例如，基于材料電磁耗散特性的雷達(dá)波隱身–承載點陣結(jié)構(gòu)[47]、基于材料阻抗特性的減隔振點陣結(jié)構(gòu)等（圖3（f））[48–50]；（4）基于異質(zhì)多相材料組裝的多功能設(shè)計，例如，熱防護(hù)點陣結(jié)構(gòu)[51]和沖擊防護(hù)點陣結(jié)構(gòu)[52]等。近期，一些研究者創(chuàng)新提出了具有可重編程邏輯功能的點陣結(jié)構(gòu)設(shè)計，將傳統(tǒng)的點陣設(shè)計提升到具有人工智能特征的多功能三維點陣結(jié)構(gòu)維度（圖3（g））[53–56]。點陣結(jié)構(gòu)的功能特性間通常存在相互制約和矛盾，如高剛度和高吸能、超輕質(zhì)和高承載等。當(dāng)前研究多側(cè)重于針對單方面的功能特性進(jìn)行點陣結(jié)構(gòu)設(shè)計，而實際中往往是多方面的承載與功能需求需要同時滿足，因此，在構(gòu)造多功能三維點陣結(jié)構(gòu)的同時，需要重點關(guān)注多種功能特性間的耦合機(jī)理與協(xié)同優(yōu)化設(shè)計方法。

圖3 多功能三維點陣Fig.3 Multifunctional 3D lattice structures

3 三維點陣多尺度結(jié)構(gòu)有限元計算方法

隨著結(jié)構(gòu)輕量化與多功能集成化需求的不斷提高，點陣多尺度結(jié)構(gòu)中包含的胞元數(shù)量越來越多，點陣胞元構(gòu)型也越來越復(fù)雜，結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)典型的多尺度特征[57]。對于此類三維點陣多尺度結(jié)構(gòu)，若采用傳統(tǒng)的有限元方法直接進(jìn)行網(wǎng)格劃分和計算，其前處理與求解過程耗時過長。尤其是如果做進(jìn)一步的優(yōu)化設(shè)計，通常需要對三維多尺度點陣結(jié)構(gòu)進(jìn)行多次迭代分析和求解，其計算代價是不可接受的。由于多尺度點陣結(jié)構(gòu)與復(fù)合材料類似，內(nèi)部點陣胞元具有周期性或近似周期性，因此，能夠研發(fā)出有效減小計算量的多尺度計算方法。由于增材制造加工工藝條件的限制，當(dāng)前航空航天等領(lǐng)域中應(yīng)用的三維點陣結(jié)構(gòu)及其包含的點陣胞元多在毫米尺度或以上[12，16]，仍屬于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的范疇，本節(jié)主要介紹以有限元（FEM）方法為基礎(chǔ)的三維點陣結(jié)構(gòu)多尺度數(shù)值分析方法。

多尺度方法的關(guān)鍵在于根據(jù)宏觀結(jié)構(gòu)內(nèi)部微結(jié)構(gòu)的特征，將兩個尺度拆分開來，再通過兩個尺度之間的信息交換來實現(xiàn)迭代求解[58]。對于非線性問題，由于變形過程較為復(fù)雜，難以通過解析形式的本構(gòu)關(guān)系來描述細(xì)觀點陣胞元的變形特性，通常在兩個尺度都采用數(shù)值分析的方法進(jìn)行求解。宏觀模型多采用有限元方法進(jìn)行求解，細(xì)觀模型可以采用快速傅里葉變換 （FFT）方法[59]或有限元方法[60–62]等進(jìn)行求解。Feyel 等[60]提出了雙尺度有限元方法 （FE2），該方法采用尺度分離假設(shè)[63]，認(rèn)為宏觀結(jié)構(gòu)與其包含的微結(jié)構(gòu)之間尺度差異足夠大，尺度之間耦合作用較弱，可以將兩個尺度分開進(jìn)行分析，是一種弱耦合多尺度方法。在此方法中，宏觀模型與細(xì)觀模型均通過有限元方法進(jìn)行求解，但宏觀的有限元模型中并不需要給定本構(gòu)關(guān)系，而是通過對小尺度有限元模型的求解來獲得每個積分點上的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系[64]（圖4），因此，小尺度有限元模型的建立和求解手段尤為重要。

圖4 雙尺度有限元（FE2）求解流程示意圖Fig.4 Schematic diagram of multilevel finite element method (FE2)

與復(fù)合材料及結(jié)構(gòu)的多尺度分析方法類似，通常將代表體積單元（RVE）作為小尺度的有限元模型，如何合理地選取代表體積單元對多尺度分析十分重要。該方法從多相復(fù)合材料的研究中發(fā)展而來，但是對點陣結(jié)構(gòu)高離散性材料的研究同樣有效[65]。一般而言，RVE 的特征尺寸需要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于整體結(jié)構(gòu)的特征尺寸[66]，同時還需要包含細(xì)觀結(jié)構(gòu)的所有組分與幾何信息，因此通常選取一個或多個胞元組成的平行六面體作為代表體積單元 （圖5）[67]。RVE是連接多尺度點陣結(jié)構(gòu)細(xì)觀胞元與宏觀整體結(jié)構(gòu)兩個尺度之間的橋梁，在引入后即可將點陣結(jié)構(gòu)的整體性能分析轉(zhuǎn)移到代表體元或者點陣胞元的等效性能的分析上，從而提高求解的效率。三維點陣結(jié)構(gòu)的代表體積單元 （或三維點陣胞元）由材料在空間不連續(xù)分布而形成，也可以將其視為其中一相為空的雙相復(fù)合材料，意味著需要對其進(jìn)行均勻化或者連續(xù)化處理?？刹捎玫姆椒òu近展開均勻化方法[65，68–69]、能量均勻化方法[70–71]等。漸近均勻化方法是當(dāng)前應(yīng)用最廣泛的方法，其核心思想在于將位移場、應(yīng)力場以及應(yīng)變場等物理量在小參數(shù)下漸近展開，進(jìn)而在周期性邊界條件下，求解由各展開量組成的代表體元的基本平衡方程，最終獲得代表體元的宏觀等效應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 （圖6[72]）。漸近展開均勻化方法的數(shù)學(xué)描述與理論體系完備，在點陣結(jié)構(gòu)與復(fù)合材料的多尺度非線性力學(xué)性能分析方面得到了廣泛的應(yīng)用，其與FE2 方法的結(jié)合也在點陣結(jié)構(gòu)的多尺度優(yōu)化設(shè)計方面得到了長足的發(fā)展[72–73]。

圖5 由點陣結(jié)構(gòu)組成的多尺度結(jié)構(gòu)及其代表體元的選取[67]Fig.5 Multiscale 3D lattice structure and selection of RVE[67]

上述基于均勻化的FE2 方法的基本假設(shè)要求胞元尺寸相比整體結(jié)構(gòu)足夠小，但當(dāng)胞元與整體尺寸之比較大時，兩個尺度之間表現(xiàn)出較強(qiáng)的耦合作用，弱耦合FE2 方法無法準(zhǔn)確地反映宏觀結(jié)構(gòu)的真實變形與響應(yīng)。為解決此問題，Hou 等[74]提出了多尺度有限元方法 （MsFEM），其思想在于將整體結(jié)構(gòu)劃分為多個子區(qū)域，各個子區(qū)域內(nèi)部進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化，然后通過構(gòu)建各個子區(qū)域的多尺度基函數(shù)來實現(xiàn)整體剛度矩陣的組裝與求解。但此方法由于未考慮固體材料的泊松效應(yīng)，無法適用于固體結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能分析。Zhang 等[75]通過在基函數(shù)引入耦合附加項，提出了擴(kuò)展多尺度有限元法（EMsFEM），可實現(xiàn)針對大規(guī)模桁架點陣結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的準(zhǔn)確求解。Yan 等[76–77]在EMsFEM 方法的基礎(chǔ)上，將其發(fā)展到桁架結(jié)構(gòu)非線性力學(xué)性能的求解以及桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計。多尺度有限元方法除用于點陣結(jié)構(gòu)的彈塑性力學(xué)性能預(yù)測之外，還對點陣結(jié)構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計以及結(jié)構(gòu)優(yōu)化方面有著重要的作用，尤其是近年來拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)的不斷發(fā)展，使得點陣結(jié)構(gòu)的宏細(xì)觀優(yōu)化設(shè)計成為可能，下文對三維點陣多尺度結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法的研究現(xiàn)狀進(jìn)行介紹。

4 三維點陣多尺度結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化旨在滿足使用材料體積、結(jié)構(gòu)承載能力、剛度指標(biāo)等約束條件的前提下，通過優(yōu)化材料分布，尋求具有某種最優(yōu)性能的結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型。近30 年來，拓?fù)鋬?yōu)化以其科學(xué)高效的設(shè)計方式代替?zhèn)鹘y(tǒng)過度依賴于人為經(jīng)驗的低效模式，已成為結(jié)構(gòu)優(yōu)化學(xué)科的主流發(fā)展方向之一[78–79]。由于多尺度點陣結(jié)構(gòu)可充分發(fā)掘材料性能極限，早在20 年前已有學(xué)者關(guān)注多尺度點陣結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問題[80]。然而，多尺度點陣結(jié)構(gòu)往往具有復(fù)雜的構(gòu)型，受限于傳統(tǒng)制造工藝，以往的多尺度點陣結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化局限于學(xué)術(shù)上的討論。近年來增材制造技術(shù)以其“自由制造”的工藝特性，可以天然地和拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)合起來，為多尺度點陣結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化帶來了新的機(jī)遇，促使涌現(xiàn)出大量面向增材制造的多尺度點陣結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化研究[81]。

目前針對三維點陣多尺度結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化方法，按照其對點陣結(jié)構(gòu)的處理方式，主要分為兩類：一類是尺度分離假設(shè)下基于漸近均勻化技術(shù)的優(yōu)化方法；另一類是在單一尺度下基于完整分析模型的設(shè)計技術(shù)。

基于尺度分離假設(shè)的漸近均勻化方法具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，可建立起微觀點陣結(jié)構(gòu)材料分布參數(shù)與其宏觀等效性質(zhì)之間的關(guān)系，進(jìn)而將三維點陣多尺度結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題解耦為宏觀尺度等效材料分布與微觀單胞設(shè)計的雙層優(yōu)化問題，大大減少大規(guī)模多尺度點陣結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的計算負(fù)擔(dān)。因此，現(xiàn)有點陣多尺度結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的工作大部分使用了漸近均勻化技術(shù)。此類工作按照點陣單胞類型的不同，又可細(xì)分為3 種。第1 種方法假設(shè)結(jié)構(gòu)中具有單一類型的點陣結(jié)構(gòu)（圖7（a））[82–84]，例如，Yan 等[83]基于具有懲罰性的多孔各向異性材料 （PAMP）模型，實現(xiàn)了同時考慮力、熱載荷下宏微觀一體化點陣結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化，雖然考慮的是二維結(jié)構(gòu)，但理論上也可適用于三維點陣多尺度設(shè)計。Watts 等[84]基于逆均勻化方法，優(yōu)化得到了單組分負(fù)泊松比和兩組分輕質(zhì)高強(qiáng)三維點陣單胞結(jié)構(gòu)。單一類型的點陣結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法雖然具有設(shè)計變量少、無需考慮點陣單胞間連接性問題等優(yōu)點，但由于結(jié)構(gòu)中只分布一種單胞，設(shè)計空間相對較小，無法發(fā)揮材料的全部性能。第2 種方法假設(shè)宏觀結(jié)構(gòu)中具有多種類型的三維點陣微結(jié)構(gòu) （圖7（b））[85–86]，此種方法雖然相比單一點陣結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法具有更大的設(shè)計空間，然而由于均勻化過程會抹平微觀點陣單胞中的材料分布特征，因此必須施加特殊的約束保證不同類型點陣單胞之間的可連接性。Gao 等[86]通過引入了一些動態(tài)的連接器實現(xiàn)了相鄰微觀點陣結(jié)構(gòu)之間的連接，并利用準(zhǔn)靜態(tài)Ritz 矢量 （QSRV）方法減少優(yōu)化分析中的計算成本。Liu 等[85]利用變量連接技術(shù)，通過在微觀點陣單胞中引入預(yù)先定義的連接區(qū)域，以確保任何兩種類的微觀結(jié)構(gòu)之間的連接性。以上工作雖然可實現(xiàn)不同點陣單胞之間的連接，但是在特殊的連接約束限制下，一般只能保證點陣單胞局部組件的連接，無法實現(xiàn)不同單胞拓?fù)渲g的平滑過渡。第3 種方法是假設(shè)結(jié)構(gòu)中具有漸變或自相似的點陣單胞，此種方法兼顧前兩種方法的優(yōu)點，并可保證相鄰單胞之間的平滑過渡，近年來引起較多學(xué)者的關(guān)注（圖7（c））[72，87–92]。Groen 等[91]基于均勻化拓?fù)鋬?yōu)化方法，利用正交的微觀結(jié)構(gòu)在粗糙網(wǎng)格上進(jìn)行多尺度設(shè)計，在降低計算成本的同時，獲得了高分辨率且接近最優(yōu)的結(jié)構(gòu)形式。Donders 等[87]使用均勻化方法與保角共形映射實現(xiàn)對周期性微觀單胞的大小與轉(zhuǎn)角的調(diào)控，獲得了三維結(jié)構(gòu)柔度最小化問題的優(yōu)化結(jié)果。Wang 等[72]提出一種點陣單胞等效材料屬性的參數(shù)化描述方法，并通過插值得到幾種典型微結(jié)構(gòu)單胞的等效彈性矩陣，從而在優(yōu)化過程中避免了費(fèi)時的均勻化迭代計算，提高了結(jié)構(gòu)設(shè)計的效率。Xue 等[88，92]基于Liu 等[89]提出的坐標(biāo)攝動技術(shù)，發(fā)展了一種創(chuàng)新的漸近均勻化拓?fù)鋬?yōu)化方法，通過引入映射函數(shù)，將點陣微結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為空間周期性結(jié)構(gòu)，原本復(fù)雜的跨尺度問題也漸近解耦為均勻化介質(zhì)中的宏觀問題和代表性單胞中的微觀問題，給出了一種生成光滑漸變填充點陣結(jié)構(gòu)的新方法。

圖6 三維點陣代表體元及其均勻化過程[72]Fig.6 Homogenization of 3D lattice structure[72]

尺度分離假設(shè)下基于漸近均勻化技術(shù)的優(yōu)化方法，可大幅減少三維多尺度點陣結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中的計算成本，得到了較多學(xué)者的關(guān)注。然而，均勻化方法適用的前提是多尺度點陣結(jié)構(gòu)需滿足尺度分離和周期性假設(shè)，即微觀點陣結(jié)構(gòu)尺寸相比宏觀結(jié)構(gòu)尺寸為無限小且在空間上周期排布。嚴(yán)格來說，現(xiàn)有基于均勻化技術(shù)的多尺度三維點陣結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法均未嚴(yán)格滿足以上假設(shè)，在有限尺寸和周期下使用均勻化技術(shù)不可避免地會對結(jié)構(gòu)性能的預(yù)測造成誤差，并會由于結(jié)構(gòu)邊界周期性的破壞引起不適定問題[93]。對于不滿足尺度分離假設(shè)以及周期性假設(shè)下基于漸近均勻化的三維多尺度點陣結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法，尚未有從理論上分析其預(yù)測精度的相關(guān)研究報道。

單尺度下基于全尺寸分析模型的點陣結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化可擺脫漸近均勻化技術(shù)的種種限制，保證優(yōu)化–分析–制造模型的一致性，便于考慮單胞連接性及應(yīng)力、屈曲、材料缺陷等局部化的結(jié)構(gòu)性能。因此，部分學(xué)者嘗試在單一尺度下基于完整分析模型進(jìn)行面向增材制造的點陣結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化[94–96]。Wu 等[94]通過在SIMP 方法中引入局部材料上限約束，得到了與骨骼內(nèi)部材料分布類似的三維填充點陣結(jié)構(gòu)（圖8（a））。Wu 等[95]借助正交各向異性點陣結(jié)構(gòu)的形狀優(yōu)化，結(jié)合場對齊參數(shù)化方法，在全尺度有限元計算的基礎(chǔ)上獲得了結(jié)構(gòu)柔度與多尺度優(yōu)化方法相近的優(yōu)化結(jié)果（圖8（b））。由于三維點陣結(jié)構(gòu)復(fù)雜的拓?fù)浜途艿慕Y(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)，不可避免地引入龐大的設(shè)計變量數(shù)和分析計算成本，難以向?qū)嶋H工程中的大型結(jié)構(gòu)拓展。Liu 等[96]基于移動可變形組件/孔洞（MMC/MMV）顯式拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)和坐標(biāo)攝動技術(shù)發(fā)展的二維蒙皮–點陣填充一體化結(jié)構(gòu)設(shè)計方法，僅需要少數(shù)設(shè)計變量即可生成復(fù)雜的漸變點陣結(jié)構(gòu)，結(jié)合適用于顯式拓?fù)鋬?yōu)化方法的自由度刪除技術(shù)[97]，有望緩解三維多尺度點陣結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的計算量爆炸問題。

圖7 尺度分離假設(shè)下基于漸近均勻化技術(shù)的三維點陣多尺度結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig.7 Multiscale topology optimization results of 3D lattice structures based on the asymptotic homogenization method

圖8 單尺度下基于全尺寸分析模型的三維點陣結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig.8 Topology optimization results of 3D lattice structures based on full-scale analysis model

綜合多尺度點陣結(jié)構(gòu)的有限元計算方法與拓?fù)鋬?yōu)化方法的現(xiàn)狀可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前研究逐漸從理論層面走向應(yīng)用層面，針對增材制造點陣結(jié)構(gòu)在性能預(yù)測與優(yōu)化設(shè)計方面的實際需求，開發(fā)了多種更具實用價值的優(yōu)化設(shè)計方法，為增材制造點陣結(jié)構(gòu)的工程應(yīng)用打下了基礎(chǔ)。但增材制造由于其工藝特性，會帶來連通性、最小加工尺寸等方面的設(shè)計約束，考慮此方面約束的多尺度優(yōu)化方法研究仍處于起步階段，亟待開展考慮增材制造工藝約束的三維點陣多尺度優(yōu)化設(shè)計方法研究。

5 增材制造三維點陣結(jié)構(gòu)性能評價表征方法

由于三維點陣結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)型的復(fù)雜性，難以通過傳統(tǒng)加工方法對其進(jìn)行制備，增材制造由于成形的高自由度，成為當(dāng)前制備三維點陣結(jié)構(gòu)的主流技術(shù)。其中基于粉末成形的激光選區(qū)熔化 （Selective laser melting，SLM）技術(shù)由于可成形精度高，廣泛應(yīng)用于金屬三維點陣的制造中，其基本原理為通過激光逐層熔化金屬粉末并再凝固實現(xiàn)成形。成形過程是一個涉及移動熔池、快速非平衡凝固、固態(tài)相變的復(fù)雜冶金過程，所制備材料的微觀組織結(jié)構(gòu)與其工藝過程密切相關(guān)。由于金屬點陣結(jié)構(gòu)增材制造粉材原料特性和激光選區(qū)熔化工藝的局限，增材制造金屬點陣結(jié)構(gòu)表面和內(nèi)部存在多種宏微觀缺陷[98–101]。這些表面和內(nèi)部缺陷的幾何、空間分布特征，以及點陣桿件的幾何特征和材料性能的不確定性，對其宏觀力學(xué)性能有很大影響[102–103]。根據(jù)增材制造點陣結(jié)構(gòu)中缺陷的尺度、分布位置與形態(tài)，缺陷主要可以分為晶格尺寸差異、內(nèi)部孔洞缺陷、表面顆粒黏附缺陷，以及點陣桿件幾何形貌偏差與桿件缺失，其中點陣桿件幾何形貌偏差包括點陣桿件截面尺寸差異、點陣桿件截面軸心偏移等（圖9）[104–107]。表征金屬增材制造點陣內(nèi)部孔洞與裂紋的萌生和擴(kuò)展過程以及缺陷之間的相互影響關(guān)系是揭示增材制造點陣結(jié)構(gòu)失效機(jī)理的基礎(chǔ)[108–109]。

圖9 增材制造三維點陣結(jié)構(gòu)典型缺陷特征[104–107]Fig.9 Representative defect characteristics of additive manufactured 3D lattice structures[104–107]

傳統(tǒng)的光學(xué)顯微鏡、SEM 原位加載、EBSD 等方法只能獲得材料表面變形場、表面微結(jié)構(gòu)演化、滑移帶以及晶體表面取向演化等信息，難以真實反映材料內(nèi)部孔洞貫穿、裂紋形核、損傷演化等微觀機(jī)理。對于具有復(fù)雜構(gòu)型的三維點陣結(jié)構(gòu)，傳統(tǒng)檢測技術(shù)已無法滿足要求，CT 檢測技術(shù)在復(fù)雜異形構(gòu)件方面的優(yōu)勢凸顯。其中，微焦點CT 有足夠的空間分辨率來實現(xiàn)材料內(nèi)部孔洞、夾雜物、二次相，以及焊接、鑄造、增材制造材料和結(jié)構(gòu)件內(nèi)部缺陷表征，而且具有足夠大的空間檢測區(qū)域來滿足實際工程結(jié)構(gòu)件級別材料性能表征[110]。將力學(xué)加載裝置與微焦點CT 相結(jié)合，可以形成材料與結(jié)構(gòu)的內(nèi)部缺陷損傷演化過程的原位表征觀測平臺，實現(xiàn)材料內(nèi)部微結(jié)構(gòu)演化、宏觀結(jié)構(gòu)件性能分析和壽命預(yù)測的跨尺度關(guān)聯(lián)，進(jìn)一步研究增材制造結(jié)構(gòu)件內(nèi)部缺陷演化和結(jié)構(gòu)失效機(jī)理，如圖10 所示[104]。法國里昂大學(xué)的Amani[109]和北京理工大學(xué)方岱寧院士課題組搭建了原位微焦點CT 系統(tǒng)，觀測了壓縮載荷下點陣結(jié)構(gòu)缺陷的損傷演化過程[106]。

缺陷是金屬增材制造材料疲勞破壞的主要因素，而孔隙是金屬增材制造的主要缺陷，對疲勞性能的影響主要與其尺寸和形狀有關(guān)。制造缺陷種類多、空間分布不均勻，目前研究多基于試驗結(jié)果采用唯象方法進(jìn)行疲勞性能表征，其分布特征一般采用隨機(jī)變量模型描述。然而，金屬增材制造材料的疲勞失效因缺陷影響多呈混合失效模式，即部分試件產(chǎn)生表面或亞表面裂紋，部分試件為內(nèi)部缺陷起裂。為此，He[111]和Wang[112]等采用雙峰概率分布模型描述增材制造鈦合金材料疲勞壽命分布，給出了可靠壽命和細(xì)節(jié)疲勞額定值估計方法。另一方面，金屬增材制造材料的S–N 曲線、ε–N 曲線描述上與常規(guī)材料并無差別，但需考慮缺陷的影響。Le 等[113]利用缺陷面積修正最大應(yīng)力的Stromeyer 方程建立了增材制造金屬材料的S–N 曲線，并建立了考慮增材制造材料各向異性的S–N 曲線。缺陷數(shù)量較多的情況下，結(jié)合Gumbell 分布的極值統(tǒng)計方法可有效獲取缺陷大小、形狀和位置分布規(guī)律，包括直徑、面積、圓度或球度和體積的分布參數(shù)，此外指數(shù)分布和對數(shù)正態(tài)分布也可以表達(dá)缺陷分布規(guī)律。缺陷距表面距離也是一個衡量缺陷特點的重要參數(shù)，Romano等[114]利用分塊極值統(tǒng)計方法、最大似然法估計廣義帕累托分布形狀和尺度參數(shù)，對含缺陷的增材制造結(jié)構(gòu)件疲勞性能進(jìn)行評估。近年來一些力學(xué)模型利用缺陷幾何和位置參數(shù)、微觀結(jié)構(gòu)和材料參數(shù)建立增材制造金屬材料應(yīng)力強(qiáng)度因子、疲勞極限等疲勞性能表征方法。Hu 等[115]借助Danninger–Weiss 模型評估R= –1 時的應(yīng)力強(qiáng)度因子門檻值和疲勞極限。Le 等[116]引入應(yīng)力強(qiáng)度因子裂紋擴(kuò)展門檻值的Caton 方法。Rigon 等[117]采用當(dāng)量初始不連續(xù)態(tài)（EIDS）修正的El-Haddad 公式計算有效的應(yīng)力強(qiáng)度因子門檻值。從上述研究中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前針對增材制造點陣結(jié)構(gòu)性能表征方面的研究多局限于材料級與試樣級，尤其是原位試驗表征方面，由于CT 成像視場及原位加載試驗裝置載荷范圍的限制，難以實現(xiàn)復(fù)雜增材制造三維點陣構(gòu)件的性能檢測與評價。另一方面，增材制造點陣結(jié)構(gòu)在真實服役環(huán)境下面臨力、熱、磁等多方面的影響，當(dāng)前仍缺乏成熟的多場環(huán)境下缺陷的原位檢測手段。因此，亟待開展多場耦合環(huán)境下增材制造復(fù)雜構(gòu)件的全尺寸無損表征與評價方法研究，并開發(fā)相應(yīng)的試驗裝置。

圖10 壓縮載荷下增材制造點陣結(jié)構(gòu)的原位CT 表征[104]Fig.10 In-situ CT characterization of additive manufactured lattice structures under compression[104]

6 結(jié)論

“造物不止形”是增材制造技術(shù)為創(chuàng)新結(jié)構(gòu)設(shè)計與實現(xiàn)帶來的變革性保障，“賦形賦性”是對先進(jìn)制造技術(shù)和先進(jìn)結(jié)構(gòu)設(shè)計技術(shù)提出的共同要求。近10 年來，在增材制造技術(shù)的基礎(chǔ)上，通過對三維點陣結(jié)構(gòu)“形”的創(chuàng)新設(shè)計與“性”的表征和控制，在航空航天等領(lǐng)域催生出了一系列具有顛覆性突破的研究成果?？傮w上講，材料–結(jié)構(gòu)–功能一體化設(shè)計方法仍是未來需要重點關(guān)注的研究方向，多材料、多尺度、多層級等結(jié)構(gòu)的物理與幾何特征，以及多功能或特定功能的耦合特征或場景逆向驅(qū)動，給增材制造三維點陣結(jié)構(gòu)的設(shè)計與應(yīng)用帶來了諸多挑戰(zhàn)。如何在考慮增材制造工藝特性與設(shè)計約束的前提下，發(fā)展集“胞元構(gòu)型–多尺度結(jié)構(gòu)性能預(yù)測與優(yōu)化–增材制造結(jié)構(gòu)性能評價”于一體的設(shè)計理論與試驗表征方法，是當(dāng)前亟待開展的研究方向，未來仍需重點關(guān)注的工程與科學(xué)問題如下。

（1）多功能三維點陣胞元幾何構(gòu)造方法。生物的宏微觀組織結(jié)構(gòu)具有典型的多物理適應(yīng)特性，仿生多功能胞元構(gòu)造是有效的途徑；基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的人工智能方法是實現(xiàn)多功能三維點陣結(jié)構(gòu)快速設(shè)計和精準(zhǔn)定制，以及構(gòu)建功能特性協(xié)同優(yōu)化模型的有效手段。

（2）大尺寸復(fù)雜異形三維點陣結(jié)構(gòu)計算分析方法。針對不滿足尺度分離假設(shè)的增材制造點陣結(jié)構(gòu)，發(fā)展高效高精度非線性多尺度計算方法，實現(xiàn)面向任意復(fù)雜點陣胞元構(gòu)型的快速力學(xué)性能分析；并行多尺度計算方法與機(jī)器學(xué)習(xí)等人工智能的算法，是實現(xiàn)強(qiáng)耦合多尺度點陣結(jié)構(gòu)力學(xué)性能分析問題快速求解的未來趨勢。

（3）多材料多尺度三維點陣結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化方法?；诰鶆蚧治黾夹g(shù)的三維點陣多尺度結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法在用于增材制造時，需要保證不同單胞之間的良好連接性和實際尺寸約束?；谌叽绶治瞿Ｐ偷娜S點陣多尺度結(jié)構(gòu)，其優(yōu)化方法向?qū)嶋H應(yīng)用的推廣需要在高效建模和求解方面（特別是針對多物理場耦合問題）取得進(jìn)一步突破，如并行計算、多重網(wǎng)格技術(shù)等。

（4）增材制造三維點陣結(jié)構(gòu)缺陷表征與評價方法。發(fā)展增材制造過程材料的物態(tài)轉(zhuǎn)變原位表征方法，以及多物理場環(huán)境下點陣結(jié)構(gòu)內(nèi)部微結(jié)構(gòu)演化原位表征方法，揭示點陣結(jié)構(gòu)缺陷的產(chǎn)生–擴(kuò)展演化機(jī)理；突破基于微CT 掃描三維圖像重構(gòu)技術(shù)，發(fā)展含真實缺陷的三維點陣多尺度結(jié)構(gòu)數(shù)值化建模與分析方法；探究超低溫、超高溫和高周疲勞等極端環(huán)境下三維點陣結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能演化規(guī)律。