高考中分類討論思想的應(yīng)用

萬 麗 (江蘇省張家港中等專業(yè)學(xué)校,江蘇 張家港 215600)

分類討論思想是歷年高考中的重點(diǎn)與熱點(diǎn)問題之一，作為一種基本邏輯思想方法，在函數(shù)、數(shù)列、圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)以及創(chuàng)新等問題中，經(jīng)常用到分類討論思想來分析與處理，有效簡(jiǎn)化問題的研究對(duì)象，分門別類，幫助我們有條理、有邏輯地解決問題.

一、函數(shù)中的分類討論思想

由于函數(shù)的自變量、函數(shù)值、函數(shù)圖像等具有一定的條件限制，在解決一些高考函數(shù)問題時(shí)，經(jīng)常利用分類討論思想來處理，在高考試題中占有重要的位置.特別在解決一些定義域不連續(xù)、參數(shù)取值有限制、分段函數(shù)以及含參函數(shù)等問題時(shí)，經(jīng)常離不開分類討論思想的應(yīng)用.

A.(-∞，-1] B.(0，+∞) C.(-1，0) D.(-∞，0)

分析結(jié)合題目條件中分段函數(shù)中的定義域條件，通過對(duì)x≤-1，-1

解析根據(jù)分段函數(shù)，當(dāng)x+1≤0時(shí)，即2x≤-2，此時(shí)f(x)=2-x是定義域上的減函數(shù)，結(jié)合不等式f(x+1)2x，解得x<1，此時(shí)有x≤-1；

當(dāng)0

當(dāng)x≥0時(shí)，此時(shí)條件中的不等式f(x+1)

綜上分析，可知x<0，故選擇答案D.

點(diǎn)評(píng)函數(shù)問題中的分類討論思想，一直是高考中分類討論思想的主陣地.涉及含有絕對(duì)值的函數(shù)問題，往往要根據(jù)絕對(duì)值取值情況來分類討論；涉及分段函數(shù)的問題，往往要根據(jù)自變量的取值情況來分類討論；涉及含參的函數(shù)問題，往往要根據(jù)參數(shù)的取值情況加以分類討論等.

二、數(shù)列中的分類討論思想

數(shù)列中的參數(shù)值、公式等具有一定的條件限制，特別項(xiàng)數(shù)還有奇偶之分以及整數(shù)要求，在具體解決問題時(shí)，經(jīng)常要借助分類討論思想，對(duì)項(xiàng)數(shù)、項(xiàng)、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式以及對(duì)應(yīng)的參數(shù)取值等情況加以合理的分類討論，實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

A.2 B.3 C.4 D.5

分析對(duì)于給定數(shù)值所對(duì)應(yīng)的數(shù)列的項(xiàng)問題，特別是選項(xiàng)中給出的數(shù)值不是太大，直接比較大小也是一種非常不錯(cuò)的思維方式.利用不同數(shù)列的項(xiàng)之間的關(guān)系，通過分類討論，借助同開方背景下的底數(shù)大小來合理比較即可達(dá)到目的.

點(diǎn)評(píng)常規(guī)方法是通過構(gòu)建對(duì)應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來分析與應(yīng)用.而借助大小比較法，通過不同項(xiàng)取值情況的變形與轉(zhuǎn)化，分類討論，也是一種非常不錯(cuò)且有效的解決方法.當(dāng)然對(duì)于數(shù)值比較大，直接計(jì)算有一定難度或根本就無法計(jì)算時(shí)，這樣的操作方式不可取.在高考數(shù)列問題的求解中，我們要有意識(shí)地應(yīng)用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法去分析問題、解決問題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有數(shù)學(xué)頭腦和眼光.

三、解三角形中的分類討論思想

解三角形問題中，分類討論的思想主要用來確定三角形的邊或角不同情況下三角形的成立問題.通過分類討論，可以考查滿足條件的不同三角形問題下的邊或角的相關(guān)問題.

以AB所在直線為x軸，以線段AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB=2a(a>0)，A(-a，0)，B(a，0)，設(shè)P(x，y)，

圖1

點(diǎn)評(píng)在解三角形問題中，由于點(diǎn)、線、角等位置關(guān)系的變化與幾何圖形的直觀性，往往需要根據(jù)條件加以合理的分類討論，討論在不同場(chǎng)景下解三角形的條件、公式與應(yīng)用，直觀流暢.同時(shí)要注意解三角形的過程中，還要根據(jù)分類討論所產(chǎn)生的不同情況進(jìn)行合理的批判性思考，以修正答案的真假.

四、導(dǎo)數(shù)中的分類討論思想

在解決一些含參的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題中，分類討論思想是離不開的一種基本思想方法，借助分類討論思想來解決單調(diào)性、參數(shù)值、極值與最值、恒成立、不等式等一些相關(guān)問題，主要是借助參數(shù)的合理分類討論來展開與分析.

例4(2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅰ文科第20題)已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x，f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).

(Ⅰ)證明：f′(x)在區(qū)間(0，π)存在唯一零點(diǎn)；

(Ⅱ)若x∈[0，π]時(shí)，f(x)≥ax，求a的取值范圍.

分析(Ⅰ)通過求導(dǎo)，構(gòu)建函數(shù)再求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)取值情況確定單調(diào)性，結(jié)合最值并根據(jù)零點(diǎn)存在性定理來證明零點(diǎn)的唯一性；

(Ⅱ)通過不等式的轉(zhuǎn)化以及函數(shù)的構(gòu)造，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來確定不等式是否成立，從而確定參數(shù)a的取值范圍.

解析(Ⅰ)由題意得f′(x)=2cosx-[cosx+x(-sinx)]-1=cosx+xsinx-1，

設(shè)g(x)=f′(x)=cosx+xsinx-1，則有g(shù)′(x)=xcosx，

所以根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可知f′(x)在區(qū)間(0，π)存在唯一零點(diǎn).

(Ⅱ)若x∈[0，π]時(shí)，f(x)≥ax，即f(x)-ax≥0恒成立，

設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-ax=2sinx-xcosx-(a+1)x，

則h′(x)=cosx+xsinx-1-a，h″(x)=xcosx=g′(x)，

①當(dāng)a≤-2時(shí)，h′(x)min=h′(π)=-2-a≥0，即h′(x)≥0在區(qū)間[0，π]上恒成立，則知h(x)在區(qū)間[0，π]單調(diào)遞增，

則有h(x)≥h(0)=0，即f(x)-ax≥0，此時(shí)f(x)≥ax恒成立；

又h(0)=0，h(π)=-aπ≥0，

則知h(x)≥0在區(qū)間[0，π]上恒成立，即f(x)≥ax恒成立；

則知x∈[0，x2)時(shí)，h(x)

綜上分析，可知a的取值范圍是(-∞，0].

點(diǎn)評(píng)在利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值等問題時(shí)，特別是涉及參數(shù)問題，往往都離不開分類討論思想.這里要注意參數(shù)的取值范圍的界定以及合理的分類標(biāo)準(zhǔn)，在不同取值標(biāo)準(zhǔn)下，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)、原函數(shù)的取值情況等加以全面、系統(tǒng)的分類討論與分析，也是歷年高考中都離不開的一個(gè)重要思想方法與考查熱點(diǎn)內(nèi)容.

五、創(chuàng)新性中的分類討論思想

創(chuàng)新問題中，借助現(xiàn)有的概念、運(yùn)算法則和運(yùn)算律等的基礎(chǔ)上定義一種新的概念、運(yùn)算、規(guī)則、性質(zhì)等的問題，經(jīng)常要利用創(chuàng)新實(shí)質(zhì)加以分類討論.特別涉及參數(shù)、關(guān)系式、不同定義要素之間等，要加以分類討論，綜合應(yīng)用.

例5(2022屆江蘇省常熟市高三(上)階段性抽測(cè)(二)(2021年12月)第11題)(多選題)網(wǎng)絡(luò)流行語“內(nèi)卷”，是指一類文化模式達(dá)到某種最終形態(tài)后，既沒辦法穩(wěn)定下來，也不能轉(zhuǎn)變?yōu)樾碌男螒B(tài)，只能不斷地在內(nèi)部變得更加復(fù)雜的現(xiàn)象.數(shù)學(xué)中的螺旋線可以形象地展示“內(nèi)卷”這個(gè)詞.螺旋線這個(gè)詞來源于希臘文，原意是“旋卷”或“纏卷”，如圖2所示的陰影部分就是一個(gè)美麗的旋卷型的圖案，它的畫法是：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，取正方形ABCD各邊的四等分點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，作第二個(gè)正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的四等分點(diǎn)M，N，P，Q，作第三個(gè)正方形MNPQ，按此方法繼續(xù)下去，就可以得到圖2.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a1，后續(xù)各正方形的邊長(zhǎng)依次為a2，a3，…，an，…；如圖2所示的陰影部分，設(shè)直角三角形AEH面積為b1，后續(xù)各直角三角形面積依次為b2，b3，…，bn，….下列說法正確的是( ).

圖2

D.數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn<4

分析以創(chuàng)新情境來創(chuàng)設(shè)背景，結(jié)合平面幾何圖形與等比數(shù)列來合理交匯，借助各不同選項(xiàng)的情況，利用分類討論思想，結(jié)合多選題的創(chuàng)設(shè)情境，合理分類討論，巧妙正確判斷各選項(xiàng)的真假情況.

故選擇答案B、C、D.

點(diǎn)評(píng)此題是一道涉及創(chuàng)新場(chǎng)景、平面幾何與數(shù)列的“新定義”問題，充分體現(xiàn)思維的創(chuàng)新性.以多選題為創(chuàng)新類型，從不同視角展開，巧妙通過參數(shù)的分類討論，合理結(jié)合等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、求和公式以及相關(guān)的應(yīng)用來展開，在考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，也考查各方面的思想方法與數(shù)學(xué)能力.

分類討論思想在其他一些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)層面也是經(jīng)常碰到的，關(guān)鍵就是抓住條件中相關(guān)的參數(shù)等方面的信息，合理制訂分類標(biāo)準(zhǔn)，逐個(gè)分析與解決，巧妙實(shí)現(xiàn)“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略，完美轉(zhuǎn)化，巧妙解決.