數學中幾何證明題總結

劉艷苗 (山西藝術職業(yè)學院附屬中等藝術學校，山西 太原 030002)

幾何證明題主要訓練學生的邏輯思維能力，也培養(yǎng)學生的推理能力，幾何證明題因為自己獨特的題型模式，在數學中占據很重要的地位.初中的幾何證明題，從淺到深逐漸加大難度，不斷加強對學生思維邏輯的訓練.本文從幾何證明題的幾個相關方面進行淺顯的總結.

一、對于幾何證明題相關概念的理解、記憶與應用

(一)突破文字語言的理解記憶

幾何證明題本來就是圖形與文字相結合的一種類型題，所以對于幾何的相關概念不應該只是干巴巴地記憶，死記硬背，這樣就會對幾何概念理解不深刻，在遇到由相關概念延伸出來的題時不會應用概念去解題.所以教師要教會學生突破文字語言，去理解記憶概念，這樣一來，學生在遇到相關問題的時候，就會自動地往概念上面靠，從而應用概念去解決這個問題.例如兩條直線平行的概念，在平面內是這樣的一種狀態(tài)，在空間幾何里又是怎樣一種狀態(tài)，這些都可以突破文字語言，讓學生更深刻地記憶理解這些概念，這樣的概念理解記憶，在學生眼里概念就不僅僅是冰冷的文字，而是一個個形象的概念圖，腦子里有了概念圖，解題就變得容易得多.

(二)將文字與圖片結合記憶轉化為圖形語言理解記憶

這句話看起來前后好像說的意思一樣，其實不然，前者說的是，將文字與圖片結合記憶，后者說的是圖形與文字理解記憶.圖片就是指那些根據概念畫出來的圖像，讓學生記住文字概念以后去識圖，硬生生將圖片與文字結合，這樣的方法不否認有效果，但是這樣刻板的印象，會導致學生只認識圖片上那種常規(guī)情況，對于百變的幾何證明題，這種方法顯然是不適合的.所以需要應用后者說的那種方法，將概念文字與圖形一起理解記憶，教師在講授概念的時候，給出這個概念相關的一系列圖形，包括常規(guī)的、特殊的等，這樣的理解記憶，會讓學生了解到不同的位置關系，看到那些非常規(guī)的題目的時候，解題也會容易一點，出錯的概率也會小一點.

(三)將文字轉化為符號語言理解記憶

對于概念的理解，最終是要呈現在試卷上的，還是要寫出來的，所以將文字語言轉換為數學專用符號語言才是學習的最終目的.對于符號語言的應用一定要準確，不能有所紕漏，數學符號語言是很嚴謹的.例如垂直關系、平行關系這些，都是不能搞錯搞混的.這中間最重要的一步就是將文字語言準確記憶，準確地翻譯成符號語言，這在考試中有很重要的作用.只有做到符號語言準確無誤才可以.這就需要教師嚴格要求學生，引導記憶，務必做到零差錯.只有這樣做，幾何證明題才能幫助學生取得優(yōu)異的成績，在他們成功的道路上提供動力.

二、應用幾何證明題解決問題的難點與難關

(一)找不到解題思路

很多學生在拿到一道幾何證明題的時候感到無從下手，因為這類題型以前并沒有接觸過，面對一個全新的題型，即使完全掌握了相關概念，拿到陌生的題目還是感到困難無法解決或者找錯了解題思路，面對這類情況，就需要教師進行解題思路的專項專題訓練，讓學生分門別類地去尋找解題思路.在課堂上，教師可以用經典例題對解題思路加以強調訓練，解題思路說的不是直接給學生看答案，而是帶領學生從讀題開始，一步步解決，從看懂題目開始，解決這個問題.課后加強對于解題思路的訓練，讓學生做到拿到一道新的題目，可以一步步順利地寫出答案.

(二)對于題目中的已知條件不能完全理解與應用

在有了解題思路以后，要有效地利用題目中的條件才可以正確解題.題目中會有很多很多的條件，學生要學會利用這些信息與條件去解決問題，教師也要對這方面進行引導教育，引導學生正確應用題目中所給的條件，理解題目中出現的已知條件并應用這些已知條件去解決這道題目.例如，在拿到一道題目以后，通過讀題會知道哪些條件，這些條件會引發(fā)什么樣的問題，根據自己的解題思路，這些條件可以幫上什么忙，還缺哪些條件，這些都是通過題目可以知道的，這些都需要教師根據學生的掌握情況加強訓練，只有這樣才可以讓學生在找到解題思路以后，離成功更近一步.

(三)看不懂題目暗示的已知條件

很多題目其實并不像教師上課講解的例題那樣直白，它會把已知條件說得很復雜，把簡單的已知條件蒙上一層“紗”，而我們要做的就是拿掉這層紗，讓那些已知條件清晰可見.但是這些暗示并不是可以很快地被學生理解，需要教師在課堂上多講解，學生在課后多訓練，講練結合，不僅僅在課堂上，在課后也是很重要的，教師可以利用互聯(lián)網，上傳這方面的知識講解，以便于學生反復復習.暗示已知條件在很多題目中都會有，而且這也是提升題目難度的一種手段.題目難度的提升，有助于檢測學生到底有沒有徹底掌握這方面內容，是很重要的.對于這方面的講解，要適當放慢速度，以免造成學生跟不上教師思路的情況出現.

(四)有思路但是不能正確地用邏輯語言呈現

學生在掌握了以上的解題思路，了解了題目的已知條件以后，就可以正式開始解題了.這個時候，正確的邏輯思維是很重要的.有的學生思維邏輯混亂，前面的條件根本就不能得出下面的結論，生搬硬套，把題目答案寫得前言不搭后語，毫無邏輯可言.幾何證明題訓練的就是學生的邏輯思維能力，所以，教師在設置題目的時候，要從簡單到困難，一步步地加強訓練學生的邏輯思維能力.要引導教育學生應用正確的邏輯語言去書寫，對于固定的邏輯語言，可以加強記憶，讓學生形成“機械記憶”，看到上句邏輯語言，可以很自然地想起下一句該怎么寫，然后再根據學生自己的邏輯思維，去解答這道題目.

三、邏輯思維方面的難題

(一)邏輯思維不嚴謹，有漏洞

在以前的學習中，對于邏輯思維沒有著重訓練，學生第一次接觸這樣的題目，就很容易出現問題，表現為邏輯思維不嚴謹，有漏洞.為了避免這些問題的出現，教師需要在學生上課的時候，對學生灌輸邏輯思維的相關概念，告訴學生因果關系形成的條件，從根源上解決，讓學生了解什么因有什么果，只有幾何證明題中因果關系搞明白了，那么解決這個問題也就有了突破性的進展，對接下來的知識講授會有很積極的影響.如果學生連最基本的因果關系都弄不清楚，那么對于后面的解題思路，讀懂題目明示暗示，也就沒什么意義了.所以一定要讓學生弄明白幾何證明題中的因果關系，才能很順利地渡過其他難關.

(二)邏輯思維錯誤

幾何證明題，只要可以找到一個圖形里面數條直線之間的關系，那么基本上這道題目就可以完美解答了，但是如果最初得到的條件就是錯誤的，那么后面學得再多，再符合邏輯也是于事無補.所以，正確的邏輯的形成，需要教師的引導和學生自己加強訓練.因為學生剛剛接觸這類邏輯思維很強的題目，對這類還不是很熟悉，所以需要教師在課堂上不斷訓練學生的邏輯思維能力，長此以往，學生就會擁有屬于自己的獨一無二的解題方法.邏輯上的錯誤不像知識上的錯誤那樣容易被糾正，一個人邏輯思維的形成是需要長時間的訓練的.

四、書寫方面的問題

大家可能會感覺，書寫怎么會出現問題呢？有了正確的解題思路，沒有漏洞，書寫不是簡簡單單就可以拿下的嗎？其實不然，很多學生在具備了以上幾點以后，書寫仍然不過關，因為其不能很好地把那些條件都寫出來，會有遺漏的條件，造成整道題目答案書寫不完整.還有就是不能很好地控制答案書寫空間，很多時候幾何證明題的答案都是很長的，需要學生學會合理應用有限的答題空間，合理規(guī)劃，才可以做到不出邊框.另外，有的學生在書寫的時候，沒有提前組織好語言，導致一些句子反復出現，那些對于解題并沒有幫助的句子一大堆，對于解題有幫助的句子則少之又少.所以，加強書寫方面的訓練還是很重要的，要訓練學生做到，書寫不出錯，答案有理有據，答題空間整齊有序.

五、提升學生幾何證明題解題能力的措施

(一)培養(yǎng)審題能力，挖掘隱藏條件

在幾何證明題當中，教師一定要培養(yǎng)學生科學的解決思路，這樣才能保證在解答幾何證明題的過程中建立起邏輯思維，有序完成題目.首先是在開始解題之前，一定要引導學生科學研究題目中給出的條件，雖然由于試卷的限制，題干的內容相當有限，但是必須要讓學生切實感受到題干中的任何一條信息都是有價值的，甚至每一個字都有多重價值，不能輕易放過題干中的任何一個字甚至標點，務必要在仔細閱讀題干所給的已知條件中尋求解問題的思路，將題干中給出的條件在圖上簡單地標記，這樣才能夠方便在后期解題過程當中有邏輯思維.不僅需要審已知條件，也要審清楚求證的目標，因為求證目標直接決定了本題的解題方式和過程.另外，一般目標都能夠借助其他的條件推導出來，并沒有直接告訴我們需要證明的東西，比如我們想要證明兩條線段相等的時候，大部分情況都是可以從證明三角形全等入手，這樣能夠幫助學生找到正確的證明思路.在幾何證明題解題過程當中，一定要正確運用第一問的答案以及解題步驟，這在很大程度上能夠對解答第二問起到引導和幫助作用.在審題的過程當中，搞清楚具體應該證明的目標和方向，也能夠極大地減少證明過程當中的重復工作，以及學生出錯的機會，同時題目中給出的大量已知條件中都有隱藏條件，需要學生在審題過程當中將各個條件系統(tǒng)整合然后總體分析.

(二)改變固化思路，啟迪學生創(chuàng)新

當前學生在遇到幾何證明題時，總是囿于自己的定式思維，甚至習慣將新的題目套用在舊的解題思路當中，這導致學生在遇到幾何證明題時沒有可以有效幫助解答問題的思路和邏輯，也不能在較短的時間內解答題目，甚至會給學生帶來較大的學習壓力；很多教師甚至也在教學過程當中忽視了對學生審題意識的激發(fā)，種種原因導致學生自身缺乏幾何證明題的審題能力，不僅影響了學生幾何證明題的解答成效，而且會對學生的數學學習產生阻礙，甚至導致學生沒有自信心.基于這樣的考慮，教師在幾何證明題的教學過程當中，應該創(chuàng)新教學思維、活化教學思路、充實教學內容，為學生創(chuàng)建多樣式的教學模式，讓學生能夠積極參與課堂教學，充分運用教學實踐活動以及小組合作探究、項目化教學等多種模式，幫助學生在學習的過程當中建立起自主探究的意識，讓學生多角度去審題，進而了解在題目中所要注意的各個細節(jié)，促使學生在解答問題時更加胸有成竹.

(三)拓展解題方式，激發(fā)解題興趣

當下很多教師注重幾何證明題的教學，并且在幾何證明題教學過程當中也適時運用了多樣化的教學模式，力求激發(fā)學生的興趣、活化學生的思維.有效幫助學生提升數學解題能力，關鍵在于充分激起學生的解題熱情，不僅需要教師在具體的教學實踐過程當中以學生的興趣點為核心，創(chuàng)新利用多樣化的教學模式，還需要學生在解題的過程當中，積極與其他同伴進行交流合作，將多樣化的思維碰撞，創(chuàng)新教學形式.比如，當前在數學幾何證明題教學中可以有效借用數字化教學媒介的優(yōu)勢，將復雜的幾何證明題呈現在直觀生動的大屏幕上，讓學生能夠從多維度觀察證明主體，方便學生更清晰地認知并掌握證明題的解題方式.除此之外，也可以為學生創(chuàng)設生動富有感染力的教學情境，讓學生能夠在具體的直觀感受當中，加強對幾何證明的思考.如果條件允許的情況下，教師可以專門運用一節(jié)課的時間就一道幾何證明題進行項目化教學，讓學生以小組合作的形式完成問題驅動中的內容，以循序漸進的形式幫助學生理解幾何證明題的解題步驟，讓學生在與其他同伴交流合作的過程中豐富解題思路.學生能夠將本身認為極為復雜的幾何證明按照分割的小環(huán)節(jié)一步一步去完成，像闖關一樣直到最后走到終點，也就得到了問題的答案，這讓學生既掌握了證明的思路和方式，又增強了在學習過程中的獲得感和幸福感，最重要的是在小組合作的過程中養(yǎng)成了與同伴交流、合作的習慣.

(四)把握解題技巧，引導規(guī)范書寫

很多學生在幾何證明題解題中不能做到規(guī)范書寫，在書寫的過程中很容易導致思路混亂，最關鍵的是不能保證卷面的清潔，這需要教師在幾何證明題教學過程當中幫助學生掌握清晰的學習思路，將各項證明組織成規(guī)范化的語言，然后再進行書寫.在書寫過程當中，要保持卷面清潔，提醒學生一定要正確運用各類符號，保證公式、推論和已知條件相吻合，遵循書寫規(guī)范.另一方面要讓學生將證明題的每一個證明步驟都清晰直接地寫出來，而不是跨越環(huán)節(jié)，一步一步書寫不僅能夠向評卷者證明自己清晰的邏輯，還能幫助學生實現對相關理論知識的扎實鞏固.綜合以上分析，幾何證明題解題過程的正確書寫能夠有效培養(yǎng)學生嚴謹的解題習慣，還能幫助學生更好地夯實基礎內容，幫助學生架構更加堅實的知識框架.

(五)提振學生信心，活化解題邏輯

信心是成功的前提，沒有信心，任何事情都不會成功，因此，在教學之前，要對學生進行樹立信心教育.例如，講明學習幾何證明題的重要性，明確它在整個數學學習過程中的重要地位，讓學生明確幾何知識是數學領域中不可缺少的，也是提高數學成績的關鍵，因為幾何和以前學習的代數部分關聯(lián)不大，所以要努力學好這門課程.或者可以談一下體會，在上了一段時間的課以后，讓學生談一談自己對于幾何證明題的認識，把學習幾何的熱情提起來，發(fā)言的氛圍感很重要.再者，讓學生根據自己的情況，寫一份切實可行的計劃書，讓他們有計劃地去學習幾何，激發(fā)學習幾何證明題的興趣.另外，還要幫助學生聯(lián)系實際，幾何圖形一般都比較抽象，在教學過程中，要盡量貼合實際，讓學生可以看得見，摸得著，充分激發(fā)學生的學習興趣.

六、結 語

教師需要對剛剛接觸幾何證明題的學生多一些耐心，多一些關心，時刻了解學生的學習動態(tài)與學習情況，合理規(guī)劃學習進度，讓學生對這類題目從陌生到熟悉，讓學生的邏輯思維能力從無到有，從混亂到清晰，這些都需要教師不斷地去引導，去教育.并且教師要最大限度地幫助學生理解題目，將題目里的未知條件轉化為已知.數學教育就是這樣，不能一蹴而就，要循序漸進，時刻掌握學生新動態(tài)，因材施教才可以.教師還要始終相信學生，讓學生樹立信心，讓他們對于幾何證明題的學習充滿期待.同時，教師要堅信每一名學生都有無限的潛力，不放棄任何一名學生，讓學生體會到學習幾何證明題的樂趣，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力.