數(shù)學(xué)教育中數(shù)學(xué)史的滲透研究

吳 謙 (大同師范高等專科學(xué)校，山西 大同 037039)

早在20世紀(jì)70年代，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系(HPM)就已成為數(shù)學(xué)教育的一個(gè)學(xué)術(shù)研究領(lǐng)域，2005年首屆全國(guó)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研討會(huì)在西北大學(xué)召開(kāi)，HPM開(kāi)始進(jìn)入我國(guó)數(shù)學(xué)史研究者和數(shù)學(xué)教育工作者的視野[1].數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的滲透逐漸大面積地推開(kāi).數(shù)學(xué)是一門(mén)通過(guò)“數(shù)學(xué)的眼光”觀察世界，解釋世界各類(lèi)現(xiàn)象的學(xué)科，它兼具了技術(shù)性和抽象性特征，其中包含了一套，甚至多套具有鮮明特征的符號(hào)體系.因而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者一方面應(yīng)注重思維層面的邏輯訓(xùn)練；另一方面也需要借助數(shù)學(xué)原理的發(fā)現(xiàn)者和數(shù)學(xué)理論的創(chuàng)造者之人生經(jīng)歷和生活現(xiàn)實(shí)，發(fā)掘造就偉大數(shù)學(xué)家的那些綜合素質(zhì)，進(jìn)而為自身的數(shù)學(xué)研習(xí)之路積累經(jīng)驗(yàn)，并將此類(lèi)經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)探索道路上的內(nèi)在質(zhì)素.下面從價(jià)值評(píng)估角度，對(duì)數(shù)學(xué)史的價(jià)值內(nèi)涵進(jìn)行初步解析.

一、數(shù)學(xué)史的價(jià)值內(nèi)涵解析

我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史？學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史的目的并不是為了在數(shù)學(xué)教學(xué)的課堂上必須機(jī)械地使用數(shù)學(xué)史，而是通過(guò)數(shù)學(xué)歷史的發(fā)展來(lái)把握數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，清楚歷史上一個(gè)數(shù)學(xué)概念怎么產(chǎn)生，又為什么產(chǎn)生，一個(gè)定理為了解決什么問(wèn)題，從歷史中尋找定義定理產(chǎn)生的根源，知道數(shù)學(xué)中的定義和定理是如何創(chuàng)造出來(lái)的.“問(wèn)題是驅(qū)動(dòng)一切科學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展的原動(dòng)力”“問(wèn)題是一切科學(xué)的心臟，它也應(yīng)該成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的心臟”.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史的根本目的不是為了把數(shù)學(xué)史知識(shí)機(jī)械地搬進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)之中，也不是為了按照數(shù)學(xué)中某個(gè)知識(shí)的歷史發(fā)展進(jìn)程來(lái)教學(xué)，而是通過(guò)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史找到促使數(shù)學(xué)概念、定理產(chǎn)生的問(wèn)題，結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與已有的數(shù)學(xué)積累創(chuàng)設(shè)合適的情境，然后將找到的問(wèn)題嵌入該情境中形成問(wèn)題情境[2].如果我們要嚴(yán)格地按照數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史來(lái)機(jī)械地進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，那么數(shù)學(xué)中很多知識(shí)講解起來(lái)會(huì)變得非常的別扭.例如，我們知道定積分從歷史上講，其出現(xiàn)早于導(dǎo)數(shù)，我們現(xiàn)在絕大多數(shù)的數(shù)學(xué)教科書(shū)先介紹導(dǎo)數(shù)，之后再介紹定積分.數(shù)學(xué)教科書(shū)課程的內(nèi)容安排，不能機(jī)械地完全按照數(shù)學(xué)歷史發(fā)生的先后次序進(jìn)行，要考慮到數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)嚴(yán)密的邏輯體系.否則會(huì)造成講解和理解上的理論不嚴(yán)密、結(jié)構(gòu)不合理.例如，如果按照發(fā)明時(shí)間的先后次序，先學(xué)習(xí)定積分再學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)，那么數(shù)學(xué)中的微積分內(nèi)容又要回到阿基米德的時(shí)代.

任何一門(mén)學(xué)科的研習(xí)都會(huì)產(chǎn)生價(jià)值，并且通過(guò)持續(xù)性應(yīng)用，獲得多重意義，數(shù)學(xué)也不例外.在現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)科的教育教學(xué)工作中，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)史的價(jià)值研究與評(píng)估，產(chǎn)生了諸多新的認(rèn)識(shí).一方面，在傳統(tǒng)的理解范疇內(nèi)，明確了數(shù)學(xué)史具有中立性導(dǎo)向的“工具理性”，即通過(guò)數(shù)學(xué)史的研習(xí)，可以提高數(shù)學(xué)理論發(fā)現(xiàn)、發(fā)展、研究、設(shè)計(jì)方面的水平，其重點(diǎn)集中于對(duì)數(shù)學(xué)史發(fā)展過(guò)程中的邏輯線索的挖掘.另一方面，在現(xiàn)代科學(xué)的“透鏡”之下，分解出了數(shù)學(xué)的多重社會(huì)人文價(jià)值，并將其歸結(jié)到了“價(jià)值理性”，其重點(diǎn)集中于從數(shù)學(xué)家的人格構(gòu)建角度，通過(guò)研習(xí)數(shù)學(xué)史中的數(shù)學(xué)家，與數(shù)學(xué)家人格構(gòu)成因素，使研習(xí)者可以分享到數(shù)學(xué)家的“人格魅力”，這種魅力指向于“人性的偉大閃光點(diǎn)”方面，相當(dāng)于今天所說(shuō)的“社會(huì)化人格”或“科學(xué)家人格”.因此，通過(guò)在數(shù)學(xué)教育中滲透數(shù)學(xué)史，有利于學(xué)生的“腦力”和“心力”獲得雙重培育.

(一)數(shù)學(xué)史的“工具理性”

數(shù)學(xué)的本質(zhì)很簡(jiǎn)單，即認(rèn)為萬(wàn)事萬(wàn)物都可以通過(guò)“數(shù)量”加以衡量，并且借助這種衡量，提高對(duì)其認(rèn)知、理解、運(yùn)用的精準(zhǔn)性.簡(jiǎn)單講，“數(shù)學(xué)之尺”縮短了人與物之間的距離.作為一門(mén)具有工具特性的學(xué)科，數(shù)學(xué)史的演進(jìn)過(guò)程，實(shí)質(zhì)上就等同于“數(shù)學(xué)共和國(guó)”里的各位數(shù)學(xué)家進(jìn)行的一場(chǎng)“邏輯比賽”.比如，從畢達(dá)哥拉斯開(kāi)始將“數(shù)”理解為萬(wàn)物的本質(zhì)，直到歐幾里得運(yùn)用“公理”“定義”“證明”等演繹出一套系統(tǒng)性的數(shù)學(xué)體系，數(shù)學(xué)的“工具理性”從此獲得了明確規(guī)定，并在這種限定條件下，將其作為工具，促進(jìn)了各門(mén)學(xué)科的發(fā)展，從而生成了“現(xiàn)代科學(xué)”.楊振寧教授在他的演講集中，也揭示了這種基于數(shù)學(xué)史的“歐幾里得意義”.

(二)數(shù)學(xué)史的“價(jià)值理性”

數(shù)學(xué)史是關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科演進(jìn)的歷史，因而它首先包含了數(shù)學(xué)價(jià)值和歷史價(jià)值，從作為價(jià)值本質(zhì)屬性的功能分析，可以認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)價(jià)值，在于其中的“邏輯成分”，通過(guò)邏輯的訓(xùn)練、邏輯體系的建構(gòu)與解析，以及邏輯關(guān)系的分合解讀，研習(xí)數(shù)學(xué)史者，可以從中發(fā)掘到一種貫穿于“現(xiàn)代科學(xué)”的“數(shù)學(xué)價(jià)值表”，比如，從畢達(dá)哥拉斯到歐幾里得，再?gòu)臍W幾里得到哥白尼，再?gòu)母绨啄岬劫だ?，再?gòu)馁だ缘脚ｎD，再?gòu)呐ｎD到愛(ài)因斯坦等，從根本上就說(shuō)明了數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)價(jià)值的重要意義.另一方面，從歷史價(jià)值方面分析，數(shù)學(xué)史的形成并非一日之功，而是經(jīng)歷了對(duì)每一個(gè)公式的證明，對(duì)每一個(gè)方程的無(wú)數(shù)次演算，對(duì)于每一個(gè)數(shù)學(xué)意義的揭示才實(shí)現(xiàn)的.因此，從數(shù)學(xué)史的歷史價(jià)值方面看，只有融入數(shù)學(xué)史之中，理解到數(shù)學(xué)史之中的數(shù)學(xué)家之“人格魅力”，才能全面地將數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)聯(lián)起來(lái)，形成全面的“數(shù)學(xué)價(jià)值觀”和“數(shù)學(xué)人生觀”.

二、數(shù)學(xué)教育中數(shù)學(xué)史的滲透措施分析

現(xiàn)代數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育的研究成果，均表明了在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史的功能、意義，并由此理解了其價(jià)值內(nèi)涵.由于這種價(jià)值內(nèi)涵集中體現(xiàn)在“基于數(shù)學(xué)理論創(chuàng)建的邏輯滲透”和“基于數(shù)學(xué)家人格構(gòu)建的品格滲透”兩個(gè)主要方面，因此下面就以此為準(zhǔn)對(duì)其進(jìn)行分析.

(一)基于數(shù)學(xué)理論創(chuàng)建的邏輯滲透

數(shù)學(xué)教育中對(duì)于數(shù)學(xué)史的滲透，首先需要抓取數(shù)學(xué)史中的“工具理性”和“數(shù)學(xué)價(jià)值”，這樣，才能使數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)滲透選擇一個(gè)宏觀的視角，將數(shù)學(xué)史的滲透建立在“思維層級(jí)”的訓(xùn)練與提升高度.具體而言，就是要理解數(shù)學(xué)史中的數(shù)學(xué)理論創(chuàng)建屬于一種高水平的思維活動(dòng)，而這種思維活動(dòng)的實(shí)質(zhì)是通過(guò)邏輯思辨加以實(shí)現(xiàn)，其中包括了從特殊到抽象的歸納方法，以及由普遍原理向特殊公式推導(dǎo)的演繹方法.再進(jìn)一步，需要將這種邏輯訓(xùn)練，具體拆解成為一個(gè)完整的觀念體系，進(jìn)而透過(guò)觀念體系中的主要觀念、次要觀念、附加觀念等，以逐漸規(guī)定的方式，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)史在偉大發(fā)展進(jìn)程中，是如何完成其觀念的組合與應(yīng)用，以及基于觀念的各類(lèi)邏輯向具體符合體系的轉(zhuǎn)變等.因此，在基于數(shù)學(xué)理論創(chuàng)建的邏輯滲透實(shí)踐中，實(shí)際上要求突出數(shù)學(xué)教育中的“教師主體”，通過(guò)教師對(duì)數(shù)學(xué)史的研究與體會(huì)，將數(shù)學(xué)史中的理論創(chuàng)建過(guò)程拆解開(kāi)來(lái)，并將其以觀念的形式向?qū)W生進(jìn)行闡釋，運(yùn)用邏輯思辨與邏輯論證的方式，為學(xué)生提供一種數(shù)學(xué)理論的研究與探索思路.

(二)基于數(shù)學(xué)家人格構(gòu)建的品格滲透

與基于數(shù)學(xué)理論創(chuàng)建的邏輯滲透相比，基于數(shù)學(xué)家人格構(gòu)建的品格滲透，則需要將重點(diǎn)集中到數(shù)學(xué)史中的“理論創(chuàng)建主體”，以實(shí)際的數(shù)學(xué)家人生與數(shù)學(xué)家發(fā)明的成就(如對(duì)某公式的證明，對(duì)某理論的創(chuàng)建，對(duì)某事件的數(shù)學(xué)化闡釋等)為準(zhǔn)，從數(shù)學(xué)史的“歷史價(jià)值”視角，為學(xué)生演繹出“數(shù)學(xué)共和國(guó)”里的各位“數(shù)學(xué)天才”是如何通過(guò)已有的事實(shí)一步步地探索、觀察、比較、分析、聯(lián)想、類(lèi)比，再進(jìn)行歸納猜想，形成推理認(rèn)識(shí)，通過(guò)這樣的方式，建立了與數(shù)學(xué)學(xué)科之間的關(guān)系等.數(shù)學(xué)史自然科學(xué)中的重要基礎(chǔ)，并且在社會(huì)科學(xué)中也有著很重要的作用.簡(jiǎn)單講，需要將數(shù)學(xué)家的人格和數(shù)學(xué)家的生活，以及數(shù)學(xué)家的作品關(guān)聯(lián)起來(lái)，注重?cái)?shù)學(xué)文化在不同學(xué)科中的滲透，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活以及其他自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的聯(lián)系，運(yùn)用“歷史透鏡”重新解讀數(shù)學(xué)家的人生歷程.由于這種滲透存在著一種“當(dāng)前主體”與“歷史客體”之間的“主客互動(dòng)”關(guān)系.因此，在基于數(shù)學(xué)家人格構(gòu)建的品格滲透方面，應(yīng)該突出數(shù)學(xué)教育中的“學(xué)生主體”，教師在此滲透路徑下，僅需要通過(guò)自身的體會(huì)與研習(xí)成果，以及領(lǐng)悟到的“人格魅力”，將其以簡(jiǎn)化的形式，告知學(xué)生、牽引學(xué)生，使其通過(guò)自身的探索去建立與其具有“人格共性”的數(shù)學(xué)者的品格.

三、數(shù)學(xué)教育中數(shù)學(xué)史的課堂滲透

在實(shí)際教學(xué)中，數(shù)學(xué)史的相關(guān)知識(shí)逐漸滲透到我們的課堂之中.數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂，可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念和原理的理解，揭示數(shù)學(xué)概念和原理的本質(zhì)，增強(qiáng)和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，欣賞數(shù)學(xué)之美.對(duì)教師而言，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)課堂，可以大大地豐富教師的數(shù)學(xué)教學(xué)素材，改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的思想和方法.建立在教育實(shí)踐基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)課堂，往往更能引起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)動(dòng)力，并能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主觀能動(dòng)性，相關(guān)的數(shù)學(xué)史知識(shí)更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，并且能引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的思考.從小學(xué)開(kāi)始，數(shù)學(xué)史知識(shí)融入課堂的形式可以通過(guò)講故事的形式進(jìn)入課堂，比如講小學(xué)一年級(jí)上冊(cè)第1課“數(shù)一數(shù)”(義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)·一年級(jí)上冊(cè)，教育部2012年審定，江蘇教育出版社2012年6月第1版)的時(shí)候，從第一節(jié)課就可以引入“結(jié)繩計(jì)數(shù)”或者是“堆石計(jì)數(shù)”的數(shù)學(xué)史故事融入.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以逐漸多引入數(shù)學(xué)家的故事和一些數(shù)學(xué)史上的經(jīng)典題目，并且盡可能多介紹我國(guó)古代數(shù)學(xué)的歷史成就，以增強(qiáng)我們的文化自信.比如在講有理數(shù)中的負(fù)數(shù)時(shí)，可以帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)“閱讀與思考”材料：“中國(guó)人最先使用負(fù)數(shù)”(義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)·七年級(jí)上冊(cè)，教育部2012年審定，人民教育出版社2012年6月第1版)，通過(guò)教材知識(shí)的講解和史料的學(xué)習(xí)，學(xué)生學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)，并了解我國(guó)古代中國(guó)數(shù)學(xué)知識(shí)的國(guó)際領(lǐng)先地位，增強(qiáng)文化自信.在高中，一些數(shù)學(xué)史的知識(shí)融入某些數(shù)學(xué)知識(shí)及其某些章節(jié)的教學(xué)中，并且在引入實(shí)際教學(xué)中取得了很好的教育教學(xué)效果.比如在等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的教學(xué)中，我們可以引入高斯在解決1+2+3+4+…+100時(shí)的思想方法，類(lèi)比歸納出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；再比如在導(dǎo)數(shù)的教學(xué)中，除了教材里的“氣球膨脹率”和“高臺(tái)跳水”的例子外，我們也可以引入瞬時(shí)速度、曲線在某一點(diǎn)處切線的斜率，通過(guò)這兩個(gè)導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的本源性的例子，引入牛頓和萊布尼茲，可以讓學(xué)生了解導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的歷史背景，知道從運(yùn)動(dòng)學(xué)和幾何學(xué)的不同角度，引出處理這一類(lèi)問(wèn)題的相同的方法，這樣可以引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)科學(xué)思維.再如“圓錐曲線”，在中學(xué)是一個(gè)很難理解和定義的一個(gè)概念.只有在熟悉“圓錐曲線”的歷史和概念的發(fā)展歷史上，才能更好地進(jìn)行引入教學(xué).不熟悉“圓錐曲線”的歷史和概念發(fā)展，很難將這個(gè)概念講清楚、解釋清楚.找到“圓錐曲線”概念產(chǎn)生的本源性問(wèn)題，才能更好地講解清楚“圓錐曲線”.在大學(xué)階段，數(shù)學(xué)專業(yè)課程的分類(lèi)及發(fā)展，更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)史的發(fā)展.數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、高等幾何……哪一門(mén)課程都是數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)史發(fā)展的再現(xiàn)，了解這些知識(shí)背景之后更利于學(xué)生學(xué)習(xí)各科數(shù)學(xué)知識(shí).再比如絕大多數(shù)師范類(lèi)大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)將“數(shù)學(xué)史”或“數(shù)學(xué)史教程”列為學(xué)生的專業(yè)選修課和數(shù)學(xué)教育專業(yè)研究生的必修課，這對(duì)于開(kāi)闊學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)視野和數(shù)學(xué)思想有著巨大的積極作用.

數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育教學(xué)之中，是這些年數(shù)學(xué)史知識(shí)在數(shù)學(xué)教育中蓬勃發(fā)展的一件喜事.數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育教學(xué)的現(xiàn)實(shí)滲透是潛移默化的.從大中小學(xué)課堂的實(shí)際需要，到各個(gè)層次各年級(jí)數(shù)學(xué)教師的熱情參與，再到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的喜愛(ài)程度，共同將數(shù)學(xué)史融入各級(jí)各類(lèi)學(xué)校的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)推向了一個(gè)新的高度，社會(huì)認(rèn)可度大大提高.國(guó)際上的相關(guān)數(shù)學(xué)組織和世界各國(guó)的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者都在研究這一問(wèn)題.在國(guó)內(nèi)，我們的中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂也隨處可見(jiàn)數(shù)學(xué)史滲透到課堂的實(shí)例.國(guó)內(nèi)的一些專家、教授也在密切關(guān)注并推動(dòng)著數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué).我國(guó)的HPM專家、華東師范大學(xué)博士生導(dǎo)師汪曉勤教授就是其中的一員，他和他的團(tuán)隊(duì)(華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育(HPM)工作室、上海市“立德樹(shù)人”數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地)長(zhǎng)期潛心研究數(shù)學(xué)史滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)課堂，并在實(shí)踐中不計(jì)其數(shù)地深入大中小學(xué)課堂進(jìn)行教學(xué)滲透嘗試.從理論研究到大中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的實(shí)踐教學(xué)，多次實(shí)踐，多次交流探討，汪曉勤教授帶領(lǐng)著他的團(tuán)隊(duì)取得了很大的成績(jī)，發(fā)表了很多數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)相關(guān)的論文，并出版了多本相關(guān)專著.

四、結(jié)束語(yǔ)

在信息化升級(jí)時(shí)代，離不開(kāi)數(shù)學(xué)人才的持續(xù)培育.數(shù)學(xué)的發(fā)展，推動(dòng)著數(shù)學(xué)和各門(mén)學(xué)科不斷向前發(fā)展.數(shù)學(xué)，在現(xiàn)實(shí)世界發(fā)揮著巨大的引領(lǐng)作用.數(shù)學(xué)具有基礎(chǔ)性、重要性的地位.一個(gè)合格的數(shù)學(xué)研習(xí)者，除了具有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論的基本素養(yǎng)和相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的能力外，也需要與知識(shí)、涵養(yǎng)、品格相符合的人格.正所謂，偉大的人格創(chuàng)造偉大的事業(yè).這既是數(shù)學(xué)史證明了的顛撲不破的真理，也是每個(gè)接受數(shù)學(xué)教育的學(xué)習(xí)者需要在探索式學(xué)習(xí)過(guò)程中，牢牢把握的出發(fā)點(diǎn).建議在科學(xué)技術(shù)融合的新階段，加強(qiáng)數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的多元化滲透.