巧用賦值法解決高考函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

山東 劉目勇

(作者單位：山東省淄博第六中學(xué))

函數(shù)零點(diǎn)存在性問(wèn)題在全國(guó)卷高考題中較為常見(jiàn)，如果在解決這些題目時(shí)選擇參變分離就無(wú)法避免極限和數(shù)形結(jié)合的問(wèn)題，這種做法在高考閱卷中肯定會(huì)出現(xiàn)扣分較多的情況.這是因?yàn)闃O限問(wèn)題在高中階段屬于超綱內(nèi)容，而數(shù)形結(jié)合在解答題中的運(yùn)用又不太嚴(yán)謹(jǐn)，所以高考標(biāo)準(zhǔn)答案都是選擇分類討論、賦值然后運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行求解，這也是高中階段最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖龇?但是答案中只會(huì)告訴我們把某個(gè)點(diǎn)代入是成立的，但是這個(gè)點(diǎn)是怎么找出來(lái)的，往往會(huì)讓很多學(xué)生甚至老師都感到茫然，尤其是高考題中含參數(shù)的函數(shù)賦值就更是難上加難.常見(jiàn)的賦值方法有函數(shù)放縮賦值法、10 086移動(dòng)取點(diǎn)法、分而治之取點(diǎn)法，其中函數(shù)放縮賦值法一般是標(biāo)準(zhǔn)答案采用的辦法，本文主要通過(guò)剖析高考題對(duì)這三種方法進(jìn)行初步探討.

一、三種賦值方法的原理

1.函數(shù)放縮賦值法

比如要尋找x1使得f(x1)>0，若這樣的x1不好尋找，我們就可以通過(guò)函數(shù)放縮解不等式f(x)>g(x)≥0，其中g(shù)(x)≥0是一個(gè)易解不等式，在g(x)≥0的解集中任取一個(gè)實(shí)數(shù)作為x1即可.常見(jiàn)的函數(shù)放縮不等式以及階的比較如下：

(1)ex≥x+1,ex≥ex；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，ex>x2+1,ex>x2+x；

另外我們還需要知道無(wú)窮遠(yuǎn)處無(wú)窮大函數(shù)的階的比較關(guān)系：c<1,k>0；無(wú)窮遠(yuǎn)處無(wú)窮小函數(shù)的階的比較關(guān)系：0

2.10 086移動(dòng)取點(diǎn)法

3.分而治之取點(diǎn)法

二、高考真題剖析

【例1】已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

1.當(dāng)00.可以讓x<0，對(duì)不等式f(x)=ae2x+(a-2)ex-x>0我們可以采用以下方法：

函數(shù)放縮法：f(x)=ae2x+(a-2)ex-x>(a-2)ex-x>a-2-x≥0得x≤a-2，故

2.當(dāng)00.可以讓x>0，對(duì)不等式f(x)=ae2x+(a-2)ex-x>0我們可以采用以下方法：

通過(guò)上面的分析我們可以看出，如果要運(yùn)用函數(shù)進(jìn)行放縮，應(yīng)該大膽地進(jìn)行添加、刪除項(xiàng)或者根據(jù)函數(shù)不同的階進(jìn)行放縮，把不可解方程變?yōu)榭山夥匠?如果采用10 086移動(dòng)取點(diǎn)法應(yīng)該在許可范圍內(nèi)取一個(gè)與10 086有關(guān)的點(diǎn)的值進(jìn)行驗(yàn)算，當(dāng)覺(jué)得問(wèn)題復(fù)雜難解的時(shí)候分而治之也是一個(gè)不錯(cuò)的選擇.

有了上面的分析我們可以選取一種放縮方法對(duì)此題第(2)問(wèn)進(jìn)行作答.

綜上所述，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，a的取值范圍為(0,1).

【例2】已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解：f′(x)=ex+(x-2)ex+2a(x-1)

=(x-1)(ex+2a).

①當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=(x-2)ex，此時(shí)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，

②當(dāng)a<0時(shí)，令f′(x)=(x-1)(ex+2a)=0得x=1或x=ln(-2a)，

而f(1)=-e<0，

f(ln(-2a)=[ln(-2a)-2](-2a)+a[ln(-2a)-1]2

=a{[ln(-2a)-2]2+1}<0,

所以x<1時(shí)f(x)<0，此時(shí)f(x)在(-∞,+∞)上最多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.

③當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減，(1,+∞)上單調(diào)遞增.f(1)=-e<0，f(2)=a>0，所以f(x)在(1,2)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn).

當(dāng)x<1時(shí)，我們采用下面兩種方法進(jìn)行找點(diǎn)，我們可以令x<0.

方法一(函數(shù)放縮法)：

方法二(分而治之取點(diǎn)法和10 086移動(dòng)取點(diǎn)法相結(jié)合)：

f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2>0,

所以f(x)在(x1,1)上存在唯一的零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

三、運(yùn)用嘗試及補(bǔ)充

下面給出兩個(gè)練習(xí)，有興趣的可以試一下.

【練習(xí)1】設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x)2ex.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≤ax+1,求a的取值范圍.

此題在第(2)問(wèn)尋找矛盾區(qū)間時(shí)需要用到賦值技巧.

答案：(1)略；(2)[1，+∞)

【練習(xí)2】已知函數(shù)f(x)=(x-1)2ex，且f(x)在x=x0處取得最小值，函數(shù)g(x)=1+kx-lnx.

已知函數(shù)F(x)=min{f(x),g(x)}，若在(0,+∞)上F(x)恰有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

答案：(0，e-2)

已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).若當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f(x)>0，求a的取值范圍.(端點(diǎn)效應(yīng))

方法二：f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)<(x+1)(x-1)-a(x-1)=(x-1)(x+1-a),取x1=a-1,則f(x1)<0，不符合題意.

綜上，a的取值范圍是(-∞,2].

四、結(jié)束語(yǔ)

導(dǎo)數(shù)壓軸題中常出現(xiàn)證明函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)或已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題.解答這類題的思路主要是結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)定理找出使函數(shù)出現(xiàn)正、負(fù)的函數(shù)值.其中找出符合零點(diǎn)定理成立的恰當(dāng)數(shù)值是順利攻克壓軸題的難點(diǎn).導(dǎo)數(shù)壓軸題中的零點(diǎn)問(wèn)題將繼續(xù)是數(shù)學(xué)高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題，“賦值”是關(guān)鍵，決定了數(shù)學(xué)尖子生水平的高低，教師和學(xué)生均需要多研究該類型的高考題和各省、市聯(lián)考試題.函數(shù)尋找零點(diǎn)的賦值問(wèn)題是高考中常見(jiàn)的問(wèn)題，而尋找點(diǎn)的過(guò)程是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，本文只是對(duì)這類賦值問(wèn)題的方法做了一個(gè)簡(jiǎn)單的介紹，希望有興趣的讀者繼續(xù)研究并且提供更好的方法.