例談“三多”在共線向量與圓錐曲線交匯問(wèn)題中的應(yīng)用

河北 郭天總 王紅波

(作者單位：邯鄲市永年區(qū)第二中學(xué))

新高考重視能力立意、情境命題，尤其是在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)上設(shè)計(jì)試題，而平面向量與圓錐曲線結(jié)合的這類問(wèn)題能有效的考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分析法與綜合法等數(shù)學(xué)思想和方法，能加強(qiáng)高中數(shù)學(xué)知識(shí)各分支之間的聯(lián)系，開拓解題視野，提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力和水平.因此，圓錐曲線與平面向量的融合交匯是新課程高考命題改革的發(fā)展方向和創(chuàng)新的必然趨勢(shì).而學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容普遍感到不適應(yīng).那么，在解析幾何復(fù)習(xí)時(shí),該如何融合平面向量的基礎(chǔ)、滲透平面向量的基本方法提高復(fù)習(xí)效率呢？

筆者認(rèn)為“一題多解”“一題多變”“多題一解”是一種高效的復(fù)習(xí)方法，“一題多解”即一道題有多種解法，該方式可以鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維，開闊學(xué)生的思路；“一題多變”即對(duì)一道題從問(wèn)題情境、問(wèn)題的方式等方面進(jìn)行改變，達(dá)到觸類旁通、舉一反三的效果；“多題一解”即某類問(wèn)題用的是一種解題思想或考查的是同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，該方式可以幫助學(xué)生歸納總結(jié)題型，避免題海戰(zhàn)術(shù)，達(dá)到跳出題海的目的.總之，用“三多”的模式去復(fù)習(xí)，可以大大提高復(fù)習(xí)的效果，達(dá)到事半功倍的效果.

本文以共線向量與圓錐曲線交匯的問(wèn)題為例，探析在復(fù)習(xí)中如何做到以上所說(shuō)的“三多”，希望能起到拋磚引玉的作用.

一、母題探究

【分析】看問(wèn)題：求直線l的斜率.

想方法：求直線斜率的基本方法：

(1)通性通法：屬于求值問(wèn)題，考查方程思想，找出等量關(guān)系建立關(guān)于直線l斜率的方程去求解.

定義法：k=tanα(α≠90°).

(2)過(guò)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，由此可得：

①想坐標(biāo)可知，A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足拋物線及直線AB的方程；

②想定義可得，A，B兩點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離等于到準(zhǔn)線的距離；

定措施：方法一：由①④可得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，故可用公式法求斜率；

方法二：由③④可知利用韋達(dá)定理建立直線l的斜率的方程去求斜率；

方法三：由③⑤可知能用定義法求斜率；

方法四：由②⑤可知能用定義法求斜率.

【解析】方法一：由題知p=1，則拋物線方程為y2=2x，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

代入拋物線方程得y2-2my-1=0，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

由韋達(dá)定理得y1+y2=2m，y1y2=-1，

圖1

圖2

二、方法總結(jié)

上面通過(guò)“十二字分析法”，即“看問(wèn)題、想方法、看條件、定措施”，對(duì)母題進(jìn)行了分析，得到了四種解題方法，其中方法一、方法二屬于通性通法，方法三利用了拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)、方法四利用了拋物線的定義，都屬于專題專法.

“十二字分析法”可以把解題的分析過(guò)程、思考過(guò)程完全展現(xiàn)給學(xué)生，真正做到授之以漁，使學(xué)生不但知其然而且知其所以然.“十二字分析法”也可以提高學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的程序性思維，有利于培養(yǎng)學(xué)生一題多解的思維意識(shí).但要想能夠熟練地使用“十二字分析法”，需要學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)基本題型的解題方法熟記于心，比如求軌跡方程的基本方法有待定系數(shù)法、定義法、直譯法、代入法(相關(guān)點(diǎn)法)、參數(shù)法.當(dāng)遇到求軌跡方程的問(wèn)題時(shí)，首先要想到這些基本方法，然后再分析條件，結(jié)合條件選擇合適的方法去解決問(wèn)題.如果基本方法沒(méi)掌握，那做題時(shí)就會(huì)像無(wú)頭蒼蠅，沒(méi)有明確的解題思路.

三、解題心得

在有關(guān)直線與圓錐曲線的問(wèn)題中，幾乎都有“點(diǎn)在圓錐曲線上”這樣的一個(gè)條件，對(duì)于這個(gè)條件一般可以從兩個(gè)角度去思考：一是想定義，即想圓錐曲線的定義；二是想坐標(biāo)，即該點(diǎn)的坐標(biāo)要既滿足圓錐曲線的方程，也滿足直線的方程.一般情況是選擇填空題想定義，即利用定義去解題；解答題想坐標(biāo)，即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程再結(jié)合韋達(dá)定理去解題.在母題講解中，方法一、方法二利用的是坐標(biāo)，方法三用的是拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，方法四用的是定義.

在有關(guān)共線向量與圓錐曲線交匯的問(wèn)題中，對(duì)于“共線向量”這一條件一般從兩個(gè)角度去出發(fā)：一是想向量的模，即根據(jù)該條件得到已知向量模的關(guān)系，利用這一關(guān)系或利用向量模所隱藏的幾何關(guān)系去解題；二是想坐標(biāo)，即根據(jù)該條件得到已知兩向量起點(diǎn)終點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，再與韋達(dá)定理相結(jié)合去解題.

四、變式拓展

(一)以“變換問(wèn)題情境”為指導(dǎo)思想進(jìn)行變式

橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線，它們有很多相似的幾何性質(zhì)，因此把三者進(jìn)行互換，可達(dá)到改變問(wèn)題情境的目的，以此進(jìn)行一題多變，開展變式教學(xué).

【分析】看問(wèn)題：求直線AB的斜率k(屬于求值問(wèn)題).

想方法：求直線斜率的基本方法：

(1)通性通法：屬于求值問(wèn)題，考查方程思想，找出等量關(guān)系建立關(guān)于直線l的斜率的方程去求解.

定義法：k=tanα(α≠90°).

(2)過(guò)右焦點(diǎn)F的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，由此可得：

①想坐標(biāo)可知，A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足橢圓C及直線AB的方程；

②想橢圓的定義.

⑤想共線向量可知，A,F,B三點(diǎn)共線.

定措施：方法一：由①④結(jié)合韋達(dá)定理建立關(guān)于k的方程去求解；

方法二：由①④結(jié)合點(diǎn)在橢圓上關(guān)于k的方程去求解.

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

【分析】看問(wèn)題：求a的值(屬于求值問(wèn)題).

想方法：求值問(wèn)題考查方程思想，找出等量關(guān)系建立關(guān)于a的方程去求解.

①想坐標(biāo)可知，A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足雙曲線C及直線AB的方程.

④想共線向量可知，A，P，B三點(diǎn)共線.

定措施：方法一：由①②結(jié)合韋達(dá)定理建立關(guān)于a的方程求解；

方法二：由①②結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上建立關(guān)于a的方程求解.

由于x1,x2是方程(1-a2)x2+2a2x-2a2=0的兩根，且1-a2≠0，

方法二：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

【點(diǎn)評(píng)】變式1是根據(jù)母題把拋物線改成了橢圓，但弦還是焦點(diǎn)弦，由于橢圓的焦點(diǎn)弦沒(méi)有拋物線焦點(diǎn)弦類似的結(jié)論，所以只能從坐標(biāo)的角度去解決問(wèn)題；變式2是根據(jù)母題把拋物線改成了雙曲線，弦也不是焦點(diǎn)弦了，也是從坐標(biāo)的角度去解決問(wèn)題，這也說(shuō)明了用坐標(biāo)法是解決共線向量與圓錐曲線問(wèn)題的通性通法.

(二)以“變換所求量”為指導(dǎo)思想進(jìn)行變式

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【答案】C

【答案】A

【點(diǎn)評(píng)】變式3，4，5是針對(duì)母題，通過(guò)改變所求量或曲線的方程得到的變式.希望讀者可以自己嘗試著用“十二字分析法”去探索這些變式的解法.變數(shù)據(jù)、變問(wèn)法、變情境是進(jìn)行一題多變的基本策略，尤其對(duì)于以共線向量與圓錐曲線為情境的交匯問(wèn)題，可依據(jù)這三種策略進(jìn)行一題多變，開展變式教學(xué).

五、結(jié)語(yǔ)

以上的母題也好，變式也好，都是以共線向量與圓錐曲線為情境的交匯問(wèn)題，這些題的解題思路與解題方法基本一致，把這些題目作為一個(gè)專題進(jìn)行復(fù)習(xí)，這就是所說(shuō)的多題一解，這樣可使學(xué)生學(xué)會(huì)歸納總結(jié)，少做題，提效率，起到事半功倍的效果，達(dá)到跳出題海的目的.