半球形力學(xué)模型的平頭壓入材料彈塑性特征*

馮 超，劉二強(qiáng)，宋少楠

(1.臺(tái)州科技職業(yè)學(xué)院 機(jī)電與模具工程學(xué)院，浙江 臺(tái)州 318020；2.太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030024)

相較于單軸拉壓等傳統(tǒng)力學(xué)測(cè)試實(shí)驗(yàn)，壓痕法具有實(shí)驗(yàn)周期短、操作簡(jiǎn)單、對(duì)試樣尺寸形狀要求低等特點(diǎn)，已廣泛被用來(lái)測(cè)定各種材料的力學(xué)性能，其應(yīng)用范圍也從毫米級(jí)的宏觀壓入發(fā)展到納米級(jí)的微/納米壓入測(cè)試技術(shù)[1]32-33。目前壓痕法主要應(yīng)用于測(cè)定材料的力學(xué)參量、研究力學(xué)機(jī)理、確定構(gòu)件局部力學(xué)特性、與傳統(tǒng)測(cè)試方法關(guān)聯(lián)等方面[2]。壓痕法是從硬度測(cè)試方法中發(fā)展而來(lái)的，壓頭形狀直接關(guān)系研究的難易度和準(zhǔn)確度，目前根據(jù)測(cè)試要求可選擇柱形平頭、圓錐、球形和棱錐等形狀的壓頭[3]。相較于其他壓頭，平頭壓頭具有壓頭正方受壓區(qū)面積不變化，應(yīng)力場(chǎng)分布形式也相對(duì)較穩(wěn)定的優(yōu)點(diǎn)[4]，被廣泛用于進(jìn)行材料壓痕蠕變、壓痕疲勞、彈塑性測(cè)試測(cè)定等實(shí)驗(yàn)[5-6]。

有關(guān)柱形平頭壓頭對(duì)不同材料壓入的理論與實(shí)驗(yàn)已經(jīng)廣泛進(jìn)行，岳珠峰等[7-9]研究了通過(guò)柱形平頭壓頭壓入確定不同材料的蠕變參數(shù)的方法，并進(jìn)行了關(guān)于蠕變損傷、獲得薄膜彈塑性參數(shù)等研究。王偉[1]33-34利用有限元的方法對(duì)平頭壓頭壓入彈性材料的應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)進(jìn)行了研究。Wright等[10]277-280通過(guò)柱形平頭壓頭對(duì)高分子材料PC的壓入研究指出壓頭壓入端部的平均壓力約等于拉伸屈服應(yīng)力的4～5倍，且與壓頭直徑及凸起無(wú)關(guān)。Cheng等[11]13-22總結(jié)之前的研究結(jié)果指出理想彈塑性壓入時(shí)壓入材料受載荷影響區(qū)為軸對(duì)稱區(qū)域，包含塑性變形區(qū)、彈性變形區(qū)及周邊區(qū)域，且每個(gè)變形區(qū)均為非均勻梯度應(yīng)變。Eldridge等[12]用圓柱形平頭壓頭確定等離子噴涂涂層有效模量隨涂層厚度變化的函數(shù)。Hu等[13]582-583提出可以通過(guò)使用計(jì)算機(jī)模擬和平頭壓頭壓痕實(shí)驗(yàn)想結(jié)合的方法來(lái)表征材料的彈塑性特征。本文通過(guò)對(duì)尼龍12(PA12)材料進(jìn)行柱形平頭壓痕壓入研究，結(jié)合平頭壓入彈塑性材料的相關(guān)解析解，研究圓柱平頭壓入時(shí)材料受載荷影響區(qū)域應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)的變化過(guò)程。

1 理想彈塑性壓入半球形力學(xué)模型

1.1 理想彈塑性的力學(xué)模型

圖1 柱形平頭壓入彈塑性壓入的力學(xué)模型

(1)

式中：σ為壓頭下的接觸應(yīng)力，E為楊氏模量，μ為泊松比，h為壓入深度，a為壓頭半徑，r為徑向半徑，v為摩擦系數(shù)，σ0為接觸中心點(diǎn)O的應(yīng)力，c0是取決于ν和μ的系數(shù)，在一定h條件下為常數(shù)。

由式(1)可知，在壓頭邊緣r=a處的應(yīng)力無(wú)法確定，這是由于壓頭具有尖銳邊緣，而壓入總時(shí)材料的塑性變形會(huì)降低邊緣處的應(yīng)力，壓頭邊緣處的應(yīng)力具有不確定性。接觸面上的總荷載可以通過(guò)積分求得，如式(2)所示[16]。

(2)

式中：P為壓入載荷；A=πa2為平頭壓頭端部面積；po為壓頭下方中心點(diǎn)應(yīng)力。

1.2 半球形力學(xué)模型的解析解

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

1.3 載荷系數(shù)

由式(2)和式(7)可得式(8)。

(8)

由式(8)可知，k值與h成正比，得式(9)，即

(9)

換而言之，該模型變形區(qū)域彈性和彈塑性區(qū)域邊界半徑與壓頭半徑之比(c/a)值隨著h的增加而增大，即隨著h增大，壓頭下方受加載影響的區(qū)域隨之增加如式(10)所示。

(10)

2 實(shí)驗(yàn)部分

2.1 原料

尼龍12(PA12)：圓形板，D20 mm×3 mm，市售。

2.2 儀器及設(shè)備

萬(wàn)能材料試驗(yàn)機(jī)：Instron 5544，美國(guó)Instron公司柱形平頭壓頭工裝，如圖2所示，其中柱形平頭壓針直徑為1 mm，h設(shè)定為0.25 mm。

圖2 柱形平頭壓頭及夾具

考慮到PA12具有黏彈性特征，為消除材料黏彈性在加載過(guò)程對(duì)測(cè)試結(jié)果的影響，因此在載荷控制模式下加載速度設(shè)定為100 N/s。不考慮黏彈性的影響，該材料的E=512 MPa，而根據(jù)如圖3所定義的屈服點(diǎn)，做三次重復(fù)實(shí)驗(yàn)取σy=55 MPa[18]。

應(yīng)變圖3 屈服應(yīng)力的拾取

3 結(jié)果與分析

3.1 載荷系數(shù)與常數(shù)

c/a圖和k隨c/a的變化關(guān)系曲線

由式(9)可計(jì)算得到取決于材料ν和μ的常數(shù)c0，由圖5可知，相同h下，c0隨設(shè)定值c/a增大而增大，且逐漸趨于一致。隨著h增大，盡管受壓入效應(yīng)影響的半球形直徑增大，而P變化不再顯著，從而表現(xiàn)為c0在h大于0.4 mm時(shí)，不同c/a條件下均趨向于一個(gè)恒定值。顯然，c0盡管為取決于ν和μ的常數(shù)，但其為h的函數(shù)，不同壓入時(shí)具有不同的數(shù)值，而當(dāng)h大于0.4 mm時(shí)趨于穩(wěn)定值。即c0對(duì)于特定的材料，一定h下為常數(shù)，而其隨h而變化，當(dāng)h大于一定數(shù)值時(shí)趨于穩(wěn)定值。

h/mm圖5 不同c/a時(shí)c0隨h變化的曲線

3.2 法向、周向應(yīng)力和法向位移

由式(3)、(4)、(5)分別可計(jì)算得到σr、σθ和ur，分別如圖6(a)～6(c)所示。顯然，隨著h增大，受載荷影響彈性和塑性半球形區(qū)域增大。壓深較小時(shí)c/a取小值，受載荷影響區(qū)域較小，當(dāng)c/a=2時(shí)，r約為1.5 mm處，各向的應(yīng)力及位移均趨于0；當(dāng)c/a=12時(shí)，r約為2 mm處，各向的應(yīng)力及位移均趨于0。換而言之，盡管隨著h的增大c/a也隨著增大，但增大的趨勢(shì)并不顯著，h對(duì)壓入?yún)^(qū)域的影響僅局限于距離壓頭中心約為2 mm距離的半球形之內(nèi)，而距離壓頭中心較遠(yuǎn)距離的位置影響很小。h對(duì)載荷影響區(qū)域的影響基本僅局限于在壓頭下方靜水壓力區(qū)域和距離壓頭中心位置較近的位置，而距離壓頭較遠(yuǎn)的部位影響相對(duì)較小，這與圣維南原理的結(jié)論相一致。

r/mm(a) σr

取σy=55 MPa，由圖6(a)、圖6(b)可知，受壓入載荷影響區(qū)域同一點(diǎn)處σr明顯大于σθ。當(dāng)c/a=2時(shí)，r≈0.65 mm為材料的法向壓應(yīng)力屈服邊界；r≈0.5 mm為材料的周向拉應(yīng)力屈服邊界。當(dāng)c/a=12時(shí)，r≈0.85 mm為材料的法向壓應(yīng)力屈服邊界；r≈0.7 mm為材料的周向拉應(yīng)力屈服邊界。即隨著h(或c/a)的增大，法向和周向去邊邊界外延，因同一點(diǎn)處σr大于σθ，該點(diǎn)首先為法向的壓縮屈服而后為周向的拉伸屈服。而隨著h(或c/a)增大，屈服邊界外延趨勢(shì)變化不再明顯，在r≈0.85 mm時(shí)的法向屈服和r≈0.7 mm時(shí)的周向屈服邊界趨于穩(wěn)定。總之，隨h增加，在r≈0.85 mm時(shí)材料的屈服邊界趨于穩(wěn)定，r<0.85 mm時(shí)為塑性屈服變形區(qū)；r>0.85 mm時(shí)為彈性變形區(qū)。

3.3 彈性邊界與壓入深度的關(guān)系

對(duì)壓入過(guò)程的載荷控制加載模式，加載段載荷P(t)和位移h(t)可以用經(jīng)驗(yàn)公式(11)擬合[19]。

P(t)=M·h(t)B

(11)

式中：P(t)為加載段載荷的時(shí)間函數(shù)，h(t)為加載段位移的時(shí)間函數(shù)，A和B為與材料的彈塑性性能及其壓頭的幾何形貌有關(guān)的擬合常數(shù)，而A成為加載系數(shù)。用式(11)對(duì)壓入實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖7所示。由圖7可知，PA12柱形壓頭(直徑1 mm)壓入(不考慮黏性)，加載段函數(shù)為式(12)。

P=2 100h3.14

(12)

h/mm圖7 P隨h的變化關(guān)系及其擬合曲線

由式(11)和式(7)可知，對(duì)于圓柱形壓頭壓入過(guò)程，受壓入影響的c/a可由式(13)計(jì)算:

(13)

而對(duì)于 PA12的柱形壓頭(直徑1 mm)壓入過(guò)程，c隨h的變化關(guān)系為式(14)。

(14)

(15)

計(jì)算得到c/a≥1.18。而式(11)在不考慮壓入基底效應(yīng)的情況下，對(duì)于彈性和彈塑性變形情況均適用，因此式(13)和式(14)在c/a≥1.18時(shí)才可使用。對(duì)于PA12柱形壓頭(直徑1 mm)壓入，分別計(jì)算在不同h下的c值，如圖8所示。根據(jù)式(15)可得c/a=1.18時(shí)，h=0.36 mm；c/a=4時(shí)，h=0.54 mm；c/a=12時(shí)，h=0.63 mm，并分別在圖8中標(biāo)識(shí)出來(lái)。

4 結(jié) 論

局部壓入技術(shù)相較于傳統(tǒng)宏觀測(cè)試方法具有顯著優(yōu)勢(shì)，所需試樣尺寸小，不受形狀制約，而由于壓頭下方受壓入載荷影響區(qū)域?yàn)榉蔷鶆驈?fù)雜應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)，故而該技術(shù)的應(yīng)用受到一定程度制約。

以PA12為實(shí)驗(yàn)材料，基于該理論模型結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)壓入過(guò)程的彈塑性特征進(jìn)行了分析研究。結(jié)果表明，特定材料在一定h下的k為常數(shù)，隨k增大而增加，而當(dāng)k大于一定值時(shí)趨于穩(wěn)定。隨著k增大c/a也隨之增大，但增大的趨勢(shì)并不顯著，k對(duì)壓入?yún)^(qū)域的彈性和塑性變形行為的影響僅局限于距離壓頭中心較小的半球形之內(nèi)，而對(duì)距離壓頭中心較遠(yuǎn)區(qū)域的影響很小。研究給出了圓柱平頭壓頭壓入時(shí)受壓入影響的彈性和彈塑性區(qū)域半球空間特征值c/a值的計(jì)算公式，并分析指出公式使用范圍較窄，即壓入過(guò)程中材料從塑性屈服開(kāi)始到出現(xiàn)明顯凸起或凹陷現(xiàn)象，對(duì)于直徑1 mm平頭壓頭壓入PA12材料的壓入過(guò)程，當(dāng)h為0.36～0.54 mm地時(shí)該公式可較好地反映材料柱形平頭壓頭壓入過(guò)程的應(yīng)力應(yīng)變特征。