一種多穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)壓電俘能器及其特性研究

孫德華，謝 進(jìn)，秦承武，楊 磊，劉景陽(yáng)

(西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川成都 610031)

0 引言

由于傳統(tǒng)的線性壓電俘能器工作帶寬非常窄，只有當(dāng)外界激振頻率與系統(tǒng)固有頻率相近時(shí)才能有較好的俘能特性[1]。近年來(lái)，非線性壓電俘能器因其具有更寬的工作帶寬、發(fā)電效率更高而受到了廣泛關(guān)注[2-3]。

研究表明：利用變勢(shì)能函數(shù)結(jié)構(gòu)能有效提高俘能器的性能。文獻(xiàn)[4-5]提出了一種彈性支撐外部磁鐵的結(jié)構(gòu)，使系統(tǒng)在低幅激勵(lì)下也能處于雙穩(wěn)振蕩的狀態(tài)；文獻(xiàn)[6]在傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)俘能器懸臂梁表面安裝了帶有彈簧的可移動(dòng)磁鐵，可移動(dòng)磁鐵與固定磁鐵之間的磁力變化，則能夠?qū)崿F(xiàn)勢(shì)能函數(shù)為可變，從而提高了俘能性能；文獻(xiàn)[7]在傳統(tǒng)懸臂梁俘能器的基礎(chǔ)上，將固定端磁鐵端增加了一個(gè)機(jī)械結(jié)構(gòu)，以使勢(shì)能函數(shù)發(fā)生變化；文獻(xiàn)[8-9]提出了在具有末端磁鐵的水平懸臂梁外垂直放置一個(gè)有末端磁鐵的柔性豎直梁，通過(guò)柔性梁儲(chǔ)存磁勢(shì)能，從而實(shí)現(xiàn)變勢(shì)能函數(shù)的俘能器結(jié)構(gòu)；文獻(xiàn)[10]在傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)俘能器的外置磁鐵上附加了一根彈簧，形成了一種新的變勢(shì)能函數(shù)俘能器。

然而，目前大多數(shù)文獻(xiàn)研究的變勢(shì)能函數(shù)俘能器都只是雙穩(wěn)態(tài)的勢(shì)能函數(shù)。近年來(lái)有學(xué)者提出的多穩(wěn)態(tài)俘能器相較雙穩(wěn)態(tài)俘能器具有更低的勢(shì)壘[11-12 ]。因而，在多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中再引入變勢(shì)能函數(shù)的機(jī)制，則有望進(jìn)一步提高俘能器的性能。

本文提出通過(guò)增加磁鐵數(shù)量形成多穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)的壓電俘能器。研究了將增加磁鐵安置在不同位置時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)及俘能器的動(dòng)力學(xué)特性和俘能特性，說(shuō)明了這種新型俘能器具有更加優(yōu)越的性能。

1 多穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)俘能器的結(jié)構(gòu)及其數(shù)學(xué)模型

1.1 多穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)俘能器的結(jié)構(gòu)

圖1 多穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)俘能器的結(jié)構(gòu)示意圖

圖1為多穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)俘能器的結(jié)構(gòu)示意圖。長(zhǎng)為L(zhǎng)P的壓電片粘附在長(zhǎng)為L(zhǎng)的懸臂梁表面，稱此梁為壓電梁。壓電梁末端固定一塊質(zhì)量為mA的磁鐵A；當(dāng)系統(tǒng)靜止時(shí)，質(zhì)量為mB的磁鐵B位于過(guò)磁鐵A的垂線上，與磁鐵A之間的距離用d0表示，磁鐵B通過(guò)剛度為K的彈簧與基座相連。本文在此雙穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)俘能器的基礎(chǔ)上，增設(shè)了固定磁鐵C和D，與磁鐵B水平距離分別用d1和d2表示，垂直方向的距離用c表示。z(t)為系統(tǒng)受到的外部激勵(lì)的方向。

1.2 多穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)俘能器的數(shù)學(xué)模型

本文中，用w(x,t)和u(x,t)表示梁在x處水平方向和豎直方向上的位移，s(t)表示磁鐵B相對(duì)于基座水平方向上的位移。

采用擴(kuò)展的哈密頓原理推導(dǎo)出壓電系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。擴(kuò)展哈密頓原理的計(jì)算表達(dá)式為

(1)

式中：q為壓電梁的廣義位移；s為磁鐵B相對(duì)于基座產(chǎn)生沿x軸的位移；t為運(yùn)動(dòng)時(shí)間；V為壓電片的電壓；L為系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)；δW為非保守力所做虛功的變分。

系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)可表示為

L=T-U

(2)

式中：T為系統(tǒng)的動(dòng)能；U為系統(tǒng)的勢(shì)能。

系統(tǒng)的動(dòng)能包括壓電梁的動(dòng)能、磁鐵A的動(dòng)能和磁鐵B的動(dòng)能，即

(3)

式中：m為懸臂梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的等效質(zhì)量；mA和mB分別為磁鐵A和磁鐵B的質(zhì)量。

系統(tǒng)的勢(shì)能包括梁的應(yīng)變勢(shì)能、彈簧的彈性勢(shì)能、壓電片電勢(shì)能和磁鐵間的磁勢(shì)能，即

(4)

式中：EI為梁的抗彎剛度；K為彈簧的剛度；θ為機(jī)電耦合系數(shù)；CP為等效電容；Um為磁鐵間的磁勢(shì)能。

根據(jù)磁偶極子模型，多穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)的磁勢(shì)能為

Um=UmB+UmC+UmD

(5)

式中：UmB、UmC、UmD分別為磁鐵A和磁鐵B、C、D之間的磁勢(shì)能，計(jì)算公式分別為：

(6)

(7)

(8)

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率；mA、mB、mC、mD分別為磁鐵A、B、C、D的磁偶極矩；rAB、rAC、rAD分別為磁塊A到磁鐵B、C、D的方向矢量。

非保守力所做的虛功δW由機(jī)械阻尼和電荷輸出組成，可表示為

(9)

式中：c1和c2分別為梁和彈簧的黏性阻尼；Q為流經(jīng)負(fù)載R的總電荷。

為了得到系統(tǒng)的離散模型，本文采用了Galekin法[13]對(duì)拉格朗日函數(shù)進(jìn)行離散。假設(shè)梁在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，梁的一階振型起主導(dǎo)作用，壓電梁的縱向位移w(x,t)可表示為

w(x,t)=φ(x)q(t)

(10)

式中：φ(x)和q(t)分別為壓電梁的一階振型函數(shù)和壓電梁的廣義模態(tài)坐標(biāo)。

根據(jù)梁的邊界條件，振型函數(shù)可以表示為

φ(x)=1-cos(2πx/l)/2

(11)

將式(2)、式(3)、式(4)、式(9)帶入式(1)中，可得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(12)

式中：k1為壓電梁的等效質(zhì)量；k2為等效阻尼系數(shù)；k3、k6分別為等效線性剛度和等效非線性剛度；k5為梁的非線性耦合項(xiàng)；k7、k8為梁的等效機(jī)電耦合系數(shù)。

本文研究的外激勵(lì)為簡(jiǎn)諧激勵(lì)，激勵(lì)的表達(dá)式為

(13)式中：A為激勵(lì)幅值；ωe為激勵(lì)頻率。

(14)

(15)

2 多穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)俘能器的勢(shì)能函數(shù)及其變化規(guī)律

由式(5)和式(12)可得本文提出的多穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)俘能器的勢(shì)能函數(shù)表達(dá)式為

(16)

由式(16)可以看出系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)與初始磁鐵間距d0、磁鐵B的位移s、壓電梁的位移q、磁鐵C和D與磁鐵B水平方向上的距離d1和d2等參數(shù)有關(guān)。實(shí)際上，俘能器非線性磁力的變化是勢(shì)能函數(shù)變化的主要原因。在俘能器工作時(shí)，磁鐵B的位移s、梁的位移q隨著系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化，導(dǎo)致磁力的大小發(fā)生變化，從而會(huì)使系統(tǒng)勢(shì)能函數(shù)曲線發(fā)生變化；而磁鐵C和磁鐵D的增設(shè)，使得系統(tǒng)穩(wěn)定平衡點(diǎn)的數(shù)目發(fā)生變化，即系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)數(shù)目發(fā)生變化。

圖2為初始磁鐵間距d0=30 mm，磁鐵C和磁鐵D關(guān)于磁鐵B對(duì)稱，d1=d2=18 mm，系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)隨磁鐵B的位移s及壓電梁的位移q的變化曲面。

圖2 系統(tǒng)勢(shì)能函數(shù)的變化規(guī)律

從圖2可以看出：在磁鐵B的位移s從-10 mm增大到+20 mm的變化過(guò)程中，系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)由具有2個(gè)勢(shì)阱的雙穩(wěn)態(tài)變?yōu)榱司哂?個(gè)勢(shì)阱的三穩(wěn)態(tài)，再變?yōu)橐粋€(gè)勢(shì)阱的單穩(wěn)態(tài)；同時(shí)，勢(shì)壘逐漸降低。

為了更加清楚地展示系統(tǒng)穩(wěn)定點(diǎn)的變化，以磁鐵B的位移s為參數(shù)，作出壓電梁的平衡點(diǎn)q0的分岔圖，如圖3所示。

圖3 壓電梁平衡點(diǎn)關(guān)于磁鐵B的位移s的分岔圖

從圖3可以看出：系統(tǒng)在s=13.3 mm處有2個(gè)對(duì)稱的鞍節(jié)分岔SN，在s=-1.1 mm處有一個(gè)叉形分岔PF。由此可知：當(dāng)-5 mm

如果磁鐵C和磁鐵D關(guān)于磁鐵B的位置不對(duì)稱，那么，壓電梁末端受到非對(duì)稱的磁力，勢(shì)能函數(shù)也會(huì)呈現(xiàn)出非對(duì)稱的狀態(tài)[15-17]。以Δd=d1-d2表示磁鐵C和磁鐵D關(guān)于磁鐵B的對(duì)稱位置關(guān)系。若d1+d2保持不變，則意味著磁鐵C和磁鐵D同步地向左或向右移動(dòng)。在這一條件下，可稱為磁鐵C和磁鐵D的偏置量。

現(xiàn)以d1+d2=36 mm為例，分析磁鐵B的位移s=0時(shí)，磁鐵C和磁鐵D的偏置量Δd對(duì)壓電梁平衡點(diǎn)的影響。圖4為壓電梁的平衡點(diǎn)q0關(guān)于Δd的分岔圖。圖中Δd>0，表明磁鐵C和磁鐵D同步地向右移動(dòng)。

圖4 壓電梁平衡點(diǎn)關(guān)于的分岔圖(s=0)

由圖4可知：當(dāng)0 mm<Δd<3.11 mm時(shí)，系統(tǒng)有3個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)和2個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，系統(tǒng)仍然是三穩(wěn)態(tài)狀態(tài)，但是，與圖3相比較，2個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)和中間穩(wěn)定平衡點(diǎn)位置均發(fā)生了變化，而上下兩側(cè)所對(duì)應(yīng)的另外2個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)的位置基本上未發(fā)生變化；當(dāng)Δd>3.11 mm時(shí)，系統(tǒng)有2個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)和1個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，系統(tǒng)變?yōu)殡p穩(wěn)態(tài)狀態(tài)。

圖5為s=0時(shí)，勢(shì)能函數(shù)隨磁鐵C和磁鐵D的偏置量Δd的變化規(guī)律。

圖5 Δd取不同值時(shí)系統(tǒng)勢(shì)能函數(shù)的變化規(guī)律(s=0)

由圖5可以直觀地看出：當(dāng)Δd=0時(shí)，勢(shì)能函數(shù)曲線為關(guān)于q=0的對(duì)稱曲線；當(dāng)Δd>0時(shí)，系統(tǒng)勢(shì)能函數(shù)曲線關(guān)于q=0不再對(duì)稱，隨著Δd的增加，左側(cè)勢(shì)阱的阱深變小，右側(cè)勢(shì)阱的阱深變大。當(dāng)Δd=4 mm時(shí)，系統(tǒng)左側(cè)的勢(shì)阱消失，系統(tǒng)將呈現(xiàn)為不對(duì)稱的雙穩(wěn)態(tài)，同時(shí)，勢(shì)阱與勢(shì)壘的位置發(fā)生了明顯的變化。

根據(jù)上述分析，可以將Δd=0的俘能器稱為多穩(wěn)態(tài)對(duì)稱變勢(shì)能函數(shù)壓電俘能器，Δd≠0的俘能器稱為多穩(wěn)態(tài)非對(duì)稱變勢(shì)能函數(shù)壓電俘能器。

3 多穩(wěn)態(tài)對(duì)稱變勢(shì)能函數(shù)壓電俘能器的動(dòng)力學(xué)特性和俘能特性

本節(jié)重點(diǎn)討論增加磁鐵C和磁鐵D前的雙穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)俘能器以及增加磁鐵C和磁鐵D后的多穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)俘能器的動(dòng)力學(xué)特性和俘能特性。

取d0=30 mm，d1=d2=18 mm，c=2 mm，外激勵(lì)幅值A(chǔ)=6 m/s2，無(wú)量綱激勵(lì)頻率ω分別為0.4、0.7、1.0，始值取為[0，0，0，0，0]。在本文后續(xù)的研究中，若未作特別的說(shuō)明，則均取與此相同的參數(shù)。

3.1 多穩(wěn)態(tài)對(duì)稱變勢(shì)能函數(shù)壓電俘能器的動(dòng)力學(xué)特性

圖6分別為多穩(wěn)態(tài)對(duì)稱變勢(shì)能函數(shù)俘能器和雙穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)俘能器在不同激勵(lì)頻率時(shí)的相圖。

(a)多穩(wěn)態(tài)對(duì)稱變勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)

(b)雙穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)圖6 激勵(lì)頻率ω取不同值時(shí)的系統(tǒng)相圖

對(duì)比圖6(a)和圖6(b)可以看出：在低頻率ω=0.4時(shí)，多穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)俘能器在中間勢(shì)阱處做小幅阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)，而雙穩(wěn)態(tài)俘能器則處于大幅周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)ω=0.7時(shí)，2種俘能器均處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但多穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)俘能器的振子的振動(dòng)運(yùn)動(dòng)幅度明顯大于雙穩(wěn)態(tài)俘能器；當(dāng)ω=1，多穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)俘能器處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而雙穩(wěn)態(tài)俘能器作阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)。

圖7為2個(gè)系統(tǒng)關(guān)于激勵(lì)頻率ω的分岔圖。由圖7可知：當(dāng)ω<0.5時(shí)，多穩(wěn)態(tài)對(duì)稱變勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)處于阱內(nèi)小幅運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其位移響應(yīng)小于雙穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)；當(dāng)ω增大到0.5附近時(shí)，多穩(wěn)態(tài)對(duì)稱變勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)出現(xiàn)了阱間大幅周期運(yùn)動(dòng)，其位移響應(yīng)大于雙穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)；當(dāng)ω在區(qū)間[0.65 1.2]范圍內(nèi)時(shí)，多穩(wěn)態(tài)對(duì)稱變勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)處于阱間混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其位移響應(yīng)明顯大于雙穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)；當(dāng)ω>1.2時(shí)，多穩(wěn)態(tài)對(duì)稱變勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)處于阱內(nèi)周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，位移響應(yīng)減小。

旅游危機(jī)事件網(wǎng)絡(luò)輿情系統(tǒng)包含多個(gè)要素及相互關(guān)系，其中，以輿情主體、輿情客體、輿情本體之間基于傳播媒介而產(chǎn)生的互動(dòng)關(guān)系最為顯著，是推動(dòng)旅游危機(jī)事件網(wǎng)絡(luò)輿情系統(tǒng)運(yùn)行的基本關(guān)系。旅游危機(jī)事件網(wǎng)絡(luò)輿情系統(tǒng)的主客關(guān)系子系統(tǒng)是其最核心的組成部分。除主客關(guān)系之外，旅游危機(jī)事件網(wǎng)絡(luò)輿情系統(tǒng)內(nèi)部還包含有外圍的組成部分，以及一些次要的系統(tǒng)關(guān)系，如圖2。旅游危機(jī)事件網(wǎng)絡(luò)輿情系統(tǒng)的主客系統(tǒng)和外圍互動(dòng)將其內(nèi)部關(guān)系結(jié)構(gòu)劃分為主要關(guān)系和次要關(guān)系。

(a)多穩(wěn)態(tài)對(duì)稱變勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)

(b)雙穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)圖7 系統(tǒng)關(guān)于激勵(lì)頻率的分岔圖

總而言之，磁鐵C和D的增加有助于增強(qiáng)系統(tǒng)位移響應(yīng)，并且使系統(tǒng)在更寬的激勵(lì)頻率范圍實(shí)現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)。

3.2 多穩(wěn)態(tài)對(duì)稱變勢(shì)能函數(shù)壓電俘能器的俘能特性

本文以均方根電壓表示俘能器的俘能性能。雙穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)俘能器和多穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)俘能器的均方根電壓-激勵(lì)頻率響應(yīng)曲線如圖8所示。

圖8 多穩(wěn)態(tài)及雙穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)俘能器的頻率響應(yīng)曲線

從圖8可知：當(dāng)ω較低時(shí)，雙穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)有較大的輸出電壓。這是由于此時(shí)雙穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)能夠越過(guò)勢(shì)壘處于大幅周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而多穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)被困于中間勢(shì)阱內(nèi)作阱內(nèi)小幅運(yùn)動(dòng)。當(dāng)ω>0.5時(shí)，多穩(wěn)態(tài)對(duì)稱變勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)的輸出電壓大于雙穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)，并且在ω=0.8附近出現(xiàn)較大峰值。這是由于當(dāng)ω>0.5之后，多穩(wěn)態(tài)對(duì)稱變勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)的位移響應(yīng)明顯高于雙穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)。

鑒于只有在低頻很小的頻率帶寬內(nèi)雙穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)的俘能性能略優(yōu)于多穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)，而在其他激勵(lì)頻率下多穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)的俘能性能均優(yōu)于雙穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)，因而可以說(shuō)，多穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)的俘能性能更高。

4 多穩(wěn)態(tài)非對(duì)稱變勢(shì)能函數(shù)壓電俘能器的動(dòng)力學(xué)特性和俘能特性

本節(jié)重點(diǎn)研究磁鐵C和磁鐵D的偏置量Δd對(duì)壓電俘能器的動(dòng)力學(xué)特性和俘能特性的影響。將Δd=0、1、2、3 mm所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)分別簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)1、系統(tǒng)2、系統(tǒng)3和系統(tǒng)4。

4.1 多穩(wěn)態(tài)非對(duì)稱變勢(shì)能函數(shù)壓電俘能器的動(dòng)力學(xué)特性

圖9為不同外激勵(lì)頻率下，系統(tǒng)1、系統(tǒng)2、系統(tǒng)3和系統(tǒng)4的相圖。由圖9(a)可知，當(dāng)ω=0.4時(shí)，系統(tǒng)1被困于中間勢(shì)阱內(nèi)做小幅運(yùn)動(dòng)，其他系統(tǒng)均能越過(guò)勢(shì)壘做大幅阱間運(yùn)動(dòng)；由圖9(b)可知：當(dāng)ω=0.7時(shí)，系統(tǒng)1和系統(tǒng)4處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，系統(tǒng)2和系統(tǒng)3處于周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；由圖9(c)可知：當(dāng)ω=1時(shí)，4個(gè)系統(tǒng)均能夠越過(guò)勢(shì)壘作阱間運(yùn)動(dòng)，4個(gè)系統(tǒng)都處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

總之，磁鐵C和磁鐵D的偏置有利于壓電梁實(shí)現(xiàn)阱間的大幅運(yùn)動(dòng)。

4.2 多穩(wěn)態(tài)非對(duì)稱變勢(shì)能函數(shù)壓電俘能器的俘能特性

從以上分析可知：改變磁鐵C和磁鐵D的位置可以提高多穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)在低頻率激勵(lì)下的俘能性能。

(a)ω=0.4

(b)ω=0.7

(c)ω=1.0圖9 Δd取不同值時(shí)，系統(tǒng)的相圖

圖10 不同的多穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)曲線

5 結(jié)論

本文提出了多穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)壓電俘能器。利用擴(kuò)展的哈密頓原理推導(dǎo)了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，分析了系統(tǒng)勢(shì)能函數(shù)的變化規(guī)律，研究了簡(jiǎn)諧激勵(lì)下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征和俘能特性。研究表明：

(1)通過(guò)增加磁鐵C和磁鐵D，能使俘能器具有多穩(wěn)態(tài)特性；運(yùn)動(dòng)磁鐵B的位置s的變化，又使得勢(shì)能函數(shù)曲線發(fā)生變化，從而形成了多穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。

(2)磁鐵C和磁鐵D關(guān)于磁鐵B對(duì)稱安裝時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)曲線是對(duì)稱的；磁鐵C和磁鐵D關(guān)于磁鐵B不對(duì)稱安裝時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)曲線是非對(duì)稱的。

(3)當(dāng)外激勵(lì)頻率比較高時(shí)，對(duì)稱的多穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)俘能器能夠產(chǎn)生出較通常的雙穩(wěn)態(tài)變勢(shì)能函數(shù)壓電俘能器更大的位移響應(yīng)和均方根電壓響應(yīng)。

(4)多穩(wěn)態(tài)非對(duì)稱變勢(shì)能函數(shù)俘能器在低頻的外激勵(lì)下也可實(shí)現(xiàn)大幅的阱間運(yùn)動(dòng)，輸出較高的均方根電壓。