“勾股定理逆定理”的教學(xué)思考

陳宇偉 顧寒平

【摘要】提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育的根本目的，而數(shù)學(xué)推理能力是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分，在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生離不開(kāi)數(shù)學(xué)推理.因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師要優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，促進(jìn)他們數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效提升.

【關(guān)鍵詞】形成過(guò)程;推理能力;勾股定理

推理能力是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》提出的一個(gè)核心概念.指出：“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中.推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式.推理一般包括合情推理和演繹推理.”[1]學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)離不開(kāi)數(shù)學(xué)推理.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，要優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，循序漸進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和影響他們的思維方式，促進(jìn)他們數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效提升.下面結(jié)合課例：蘇科版教材八年級(jí)上冊(cè)第三章“勾股定理的逆定理”來(lái)談一談數(shù)學(xué)教師如何讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，培養(yǎng)、發(fā)展和提升數(shù)學(xué)推理能力.

1 教材分析

1.1 教學(xué)目標(biāo)：

（1）知識(shí)與技能：掌握勾股定理的逆定理，了解“勾股數(shù)”.會(huì)利用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否直角三角形.

（2）過(guò)程與方法：經(jīng)歷對(duì)勾股定理的逆定理的探索過(guò)程，體會(huì)類比、數(shù)形結(jié)合、由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理的意識(shí)和能力.

（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：在探索活動(dòng)中，滲透合作交流的意識(shí)，使學(xué)生獲得探索知識(shí)的成功體驗(yàn).

1.2 教學(xué)重難點(diǎn)：

重點(diǎn) 掌握勾股定理的逆定理.會(huì)利用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否直角三角形.

難點(diǎn) 勾股定理的逆定理的探究過(guò)程.

2 教學(xué)過(guò)程：

2.1 溫故知新

（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB上的中點(diǎn)，若BC=6，AC=8，則AC=，CD=.

（2）如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是AB上的中點(diǎn)，且滿足CD=12AB，則△ABC是三角形，為什么？

（3）通過(guò)以上兩問(wèn)你有什么猜想？

教學(xué)說(shuō)明 “溫故知新”第（1）個(gè)問(wèn)題通過(guò)小練習(xí)讓學(xué)生復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)“勾股定理和直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)”，并讓學(xué)生回顧研究勾股定理的基本方法策略;第（2）個(gè)問(wèn)題是直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)的逆命題，在證明此逆命題過(guò)程中發(fā)展了學(xué)生的推理的能力;第（3）個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生用“類比的思想”提出問(wèn)題，幫助學(xué)生建立結(jié)構(gòu)性認(rèn)知，縮短了思維的長(zhǎng)度，讓學(xué)生的思維更具邏輯性，這既是提出問(wèn)題的一種思考方法，也是分析問(wèn)題的一種思考角度.

這里蘊(yùn)含著一種推理方法——類比推理.在教學(xué)中，教師利用三個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，理解數(shù)學(xué)方法策略和具體數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)具體知識(shí)的過(guò)程中，理解研究幾何圖形的方法策略，并能應(yīng)用這些方法策略發(fā)現(xiàn)提出問(wèn)題并分析解決問(wèn)題，進(jìn)而培養(yǎng)了學(xué)生的類比推理能力.

2.2 探究新知

活動(dòng)1 發(fā)現(xiàn)結(jié)論

師 畫(huà)一個(gè)三邊分別為6cm，8cm，10cm的三角形.

問(wèn)題1 它是什么三角形？怎么驗(yàn)證？（用直角三角板或量角器量）

問(wèn)題2 如果沒(méi)有直角三角板和量角器之類的工具，怎么辦？（用準(zhǔn)備好的直角邊分別為6cm、8cm的直角三角形紙片疊合對(duì)比）

問(wèn)題3 你覺(jué)得用直角三角板或量角器量和用準(zhǔn)備好的紙片比哪個(gè)更好？（用直角三角板或量角器量簡(jiǎn)單易操作，但有可能有誤差;用準(zhǔn)備好的紙片對(duì)比不僅可直觀操作，還可用學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行說(shuō)理）

問(wèn)題4 請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)一個(gè)三邊分別為5cm，12cm，13cm的三角形，判斷它是什么三角形？并說(shuō)明理由.（學(xué)生動(dòng)手操作，討論交流）

問(wèn)題5 利用幾何畫(huà)板演示當(dāng)三角形的三邊滿足a2+b2=c2條件時(shí)，此三角形是直角三角形.（分組討論，合作交流，收集各組的數(shù)據(jù)并列表展示）

教學(xué)說(shuō)明 勾股定理逆定理的推導(dǎo)是一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)檫@個(gè)推導(dǎo)與以往的經(jīng)驗(yàn)不同，需要另外構(gòu)造一個(gè)直角三角形模型，用“同一法”完成，怎么構(gòu)造這個(gè)直角三角形模型就成為解決問(wèn)題的關(guān)鍵.如果直接將問(wèn)題拋給學(xué)生推導(dǎo)，他們定會(huì)無(wú)從下手，所以為了解決這一問(wèn)題，突破這個(gè)難點(diǎn)，我設(shè)計(jì)了以上問(wèn)題.處理問(wèn)題（2）（3）時(shí)先準(zhǔn)備了一個(gè)以6cm，8cm為兩直角邊的直角三角形紙片模型，引導(dǎo)學(xué)生將它與老師示范畫(huà)的三角形進(jìn)行比對(duì)，學(xué)生自然會(huì)聯(lián)想到用兩三角形全等的知識(shí)進(jìn)行說(shuō)理.一個(gè)例子可能形成不了共識(shí)，所以問(wèn)題（4）讓學(xué)生再畫(huà)一個(gè)三邊分別為5cm，12cm，13cm的三角形，用剛才的方法進(jìn)行驗(yàn)證說(shuō)理.問(wèn)題（5）以小組為單位，在各組的電腦上用幾何畫(huà)板進(jìn)行動(dòng)態(tài)探究，小組合作交流，收集各組的數(shù)據(jù)列表，從而找出符合三角形是直角三角形三邊的規(guī)律，并找到由三邊關(guān)系證明三角形是直角三角形的方法.

這里蘊(yùn)含著一種推理方法-歸納推理.讓學(xué)生通過(guò)操作、觀察、分析，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納，總結(jié)出具體知識(shí)、數(shù)學(xué)方法和思維方式的一般規(guī)律，進(jìn)而內(nèi)化為自己的能力，培養(yǎng)學(xué)生歸納推理能力的同時(shí)，也為后面進(jìn)行演繹推理做好充分的準(zhǔn)備.畫(huà)圖、演示、驗(yàn)證等實(shí)踐活動(dòng)為學(xué)生提供了自主探究的空間和時(shí)間.

活動(dòng)2 證明結(jié)論

問(wèn)題1 活動(dòng)1的操作，我們發(fā)現(xiàn)“如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.”這個(gè)猜想成立，你能用學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行證明這是否是一個(gè)真命題嗎？

問(wèn)題2 這個(gè)命題本質(zhì)是要證什么？（直角三角形，即證有一個(gè)角是90°）

問(wèn)題3 回想一下我們活動(dòng)1的操作，我們是怎么準(zhǔn)確驗(yàn)證的，這個(gè)命題實(shí)際就是操作的一般化.

已知 在△ABC中，三邊a、b、c滿足a2+b2=c2.

求證 △ABC是直角三角形.

證明 略

歸納 （勾股定理的逆定理）如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

教學(xué)說(shuō)明 處理問(wèn)題（2）（3）時(shí)，在黑板上畫(huà)一個(gè)三邊長(zhǎng)滿足a2+b2=c2的三角形，和一個(gè)以a、b為直角邊的直角三角形，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比兩者之間的聯(lián)系.結(jié)合活動(dòng)1的操作，學(xué)生自然地聯(lián)想到利用全等三角形進(jìn)行證明.整個(gè)過(guò)程顯得順理成章、毫無(wú)陌生感，學(xué)生的思維也實(shí)現(xiàn)了從直觀向抽象的轉(zhuǎn)化，同時(shí)學(xué)生親身體驗(yàn)了“操作——探究——?dú)w納（猜想）——證明”的過(guò)程.

多樣的課堂學(xué)習(xí)形式，培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手操作能力和表達(dá)能力，從“做數(shù)學(xué)”到“說(shuō)數(shù)學(xué)”，再到“寫(xiě)數(shù)學(xué)”，要求更高了，“寫(xiě)數(shù)學(xué)”把直觀想象轉(zhuǎn)化成邏輯論證，較好地幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，此環(huán)節(jié)是知識(shí)真正落地的重要環(huán)節(jié)，并再次幫助學(xué)生將新知識(shí)條理化、數(shù)學(xué)化、規(guī)范化.[2]發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力.

活動(dòng)3 再探規(guī)律

已知△ABC的三條邊長(zhǎng)分別為a、b、c，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明a、b、c三邊組成的三角形是不是直角三角形，若是指出此時(shí)的直角.

（1）a=9，b=12，c=15;（2）a=5，b=6，c=9;（3）a=5，b=13，c=12;（4）a=0.7，b=2.4，c=2.5;（5）a：b：c =3：4：5.

教學(xué)說(shuō)明此環(huán)節(jié)是鞏固新識(shí)，使學(xué)生會(huì)利用勾股定理逆定理判定三角形是否是直角三角形.在教學(xué)時(shí)，教師要先讓學(xué)生嘗試練習(xí)（1）—（4），再歸納形成共識(shí)“利用三邊的長(zhǎng)判斷直角三角形時(shí)，只要用較短兩邊的平方比較長(zhǎng)邊的平方.”，然后結(jié)合前面活動(dòng)中收集的三邊數(shù)據(jù)，引出“滿足a2+b2=c2的3個(gè)正整數(shù)a、b、c稱為勾股數(shù).”最后嘗試練習(xí)（5），再探勾股數(shù)的規(guī)律特征.

2.3 學(xué)以致用

將地磚切成了四邊形ABCD，如圖3所示，經(jīng)測(cè)量∠B=90°，AB=3dm，BC=4dm，CD=13dm，DA=12dm.求切成的四邊形ABCD的面積.

在對(duì)學(xué)生推理能力進(jìn)行的培養(yǎng)時(shí)，要設(shè)計(jì)生活實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué)環(huán)節(jié)，促使學(xué)生的推理能力在生活實(shí)踐中能學(xué)以致用.同時(shí)，激勵(lì)學(xué)生積極運(yùn)用已掌握的知識(shí)主動(dòng)探索相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，使學(xué)生的推理能力得到進(jìn)一步的發(fā)展和提升.

3 教學(xué)反思

3.1 推理能力的培養(yǎng)需要合理的教學(xué)設(shè)計(jì)

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，它需要不斷“量”的積累.在教學(xué)過(guò)程中，合理的教學(xué)設(shè)計(jì)是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的前提.教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容結(jié)合學(xué)生特點(diǎn)優(yōu)化設(shè)計(jì)，充分地利用多種教學(xué)手段，讓學(xué)生經(jīng)歷從合情推理發(fā)展到演繹推理的過(guò)程.

本課中的“溫故知新”設(shè)計(jì)意圖是讓學(xué)生復(fù)習(xí)勾股定理和直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，為后面發(fā)現(xiàn)勾股定理逆定理做好鋪墊.

活動(dòng)1中的作圖、疊合對(duì)比為學(xué)生發(fā)現(xiàn)逆定理提供很好的幾何直觀，有助于加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解掌握.學(xué)生用幾何畫(huà)板探究收集數(shù)據(jù)，論證畫(huà)法的合理性，使學(xué)生走向演繹推理.

3.2 推理能力的發(fā)展需要合理的推理聯(lián)系

《課標(biāo)》指出：“推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，通過(guò)歸納和類比等推斷某些結(jié)果;演繹推理是從已有的事實(shí)和確定的規(guī)則出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算.

在解決問(wèn)題的過(guò)程中，兩種推理功能不同，相輔相成.合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論.”[1]

一般來(lái)說(shuō)，合情推理建立在學(xué)生自身思維和知識(shí)儲(chǔ)備的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)相對(duì)容易，演繹推理更強(qiáng)調(diào)理性思維，培養(yǎng)要求較高.學(xué)生通過(guò)操作和觀察猜想（合情推理）出圖形的性質(zhì)，并對(duì)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論進(jìn)行證明（演繹推理），這樣兩種推理就能有機(jī)地聯(lián)系在一起，教師要讓學(xué)生從推理方法的聯(lián)系中體會(huì)邏輯關(guān)系，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的推理能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社.2012.

[2]余雙、孫國(guó)芹.設(shè)計(jì)合情推理載體發(fā)展演繹推理能力[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（西安），2020（9）中.16-18.

[3]高旻.基于“深度教學(xué)”提升推理能力[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2020（9）.31-33.