二次函數(shù)的平移、翻折與旋轉(zhuǎn)

陳文倩

【摘要】 二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中一種重要的代數(shù)函數(shù)， 而二次函數(shù)問題在中考中同樣也是熱點(diǎn)問題. 本文主要對二次函數(shù)的平移、翻折與旋轉(zhuǎn)問題進(jìn)行分析.

【關(guān)鍵詞】 初中數(shù)學(xué);二次函數(shù);平移、翻折與旋轉(zhuǎn)

1 二次函數(shù)平移、翻折與旋轉(zhuǎn)問題的題型分類

1.1 二次函數(shù)的左右、上下平移問題

在函數(shù)的平移變換中， 我們有口訣“左加右減、上加下減”， “左加右減” 僅對x進(jìn)行加減， “上加下減” 是對函數(shù)整體進(jìn)行加減.且二次函數(shù)在平移變換中， 并不會改變二次項(xiàng)系數(shù)a， 左右與上下平移的順序也不會改變最后的結(jié)果.

例1 （1）二次函數(shù)y=2x2經(jīng)過向（左/右）平移單位， 向（上/下）平移單位可得到二次函數(shù)y=2（x+1）2-1.

解 本小題為基礎(chǔ)題， 運(yùn)用口訣即可輕松得出答案： 向左平移1單位，向下平移 1 單位.

（2）將二次函數(shù)y=2x2+1向右平移2個單位， 再向下平移1個單位得到的二次函數(shù)函數(shù)表達(dá)式是.

解 同（1）的方法， 我們可以快速得出答案

y=2（x-2）2.

（3）將二次函數(shù)y=12x2-x-12向左平移3個單位， 再向上平移2個單位得到的二次函數(shù)函數(shù)表達(dá)式是.

解 本小題有兩種解題思路.

①直接對二次函數(shù)y=12x2-x-12進(jìn)行平移變換，將所有的x加3，得到y(tǒng)=12（x+3）2-（x+3）-12，再將函數(shù)整體加2整理得到

y=12x2+2x+3;

②將二次函數(shù)y=12x2-x-12寫成頂點(diǎn)式：y=12（x-1）2-1，再將x加3，整體加2得到

y=12（x+2）2+1.

（4）將二次函數(shù)向右平移1個單位，再向上平移2個單位后得到二次函數(shù)y=-2x2+4x.

解 本小題考察了學(xué)生的逆向思維能力.將題目轉(zhuǎn)化成“二次函數(shù)y=-2x2+4x向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到的二次函數(shù)表達(dá)式是.”則用（3）的兩種解題思路都可得出二次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-2x2.

例2 已知二次函數(shù)y=x2-2x-2.

（1）若二次函數(shù)沿x軸方向平移后經(jīng)過點(diǎn)（4，1），求平移后所得二次函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式，并說明怎樣平移.

解 沿x軸方向平移說明二次函數(shù)左右平移.先將二次函數(shù)化成頂點(diǎn)式：y=（x-1）2-3，設(shè)平移后的二次函數(shù)表達(dá)式為y=（x+h-1）2-3，再將（4，1）帶入得出h1=-1，h2=-5.則二次函數(shù)表達(dá)式為y=（x-2）2-3或y=（x-6）2-3，將原二次函數(shù)向右平移1個單位或者向右平移5個單位得到新二次函數(shù).

（2）若二次函數(shù)沿y軸方向平移后經(jīng)過點(diǎn)（3，0），求平移后所得二次函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式，并說明怎樣平移.

解 沿y軸方向平移說明二次函數(shù)上下平移.設(shè)平移后的二次函數(shù)表達(dá)式為y=（x-1）2-3+k，將（3，0）帶入得出k=-1.則二次函數(shù)表達(dá)式為y=（x-1）2-4，將原二次函數(shù)向下平移1個單位得到新二次函數(shù).

（3）如何將二次函數(shù)沿對稱軸上下平移后所得到的新的二次函數(shù)與坐標(biāo)軸只有兩個交點(diǎn)？

解 沿對稱軸上下平移即為沿y軸方向平移.方法同（2），設(shè)新的二次函數(shù)表達(dá)式為y=（x-1）2-3+k.因?yàn)樾碌亩魏瘮?shù)與坐標(biāo)軸只有兩個交點(diǎn)，則有兩種情況：

①令y=0，（x-1）2-3+k=0，

整理得x2-2x-2+k=0，

由b2-4ac=22-4（-2+k）=0，得k=3;

②將（0，0）帶入新的二次函數(shù)y=（x-1）2-3+k，得k=2.

綜上，將二次函數(shù)沿對稱軸向上平移3個單位或2個單位即可.

例2直接用一般式也可以求解.方法參考例1（3）①.

2 二次函數(shù)的翻折與旋轉(zhuǎn)問題

二次函數(shù)y=a（x+h）2+k經(jīng)過翻折與旋轉(zhuǎn)不會改變開口大小，則此問題可以歸結(jié)于兩點(diǎn)：1.a的正負(fù);2.頂點(diǎn)坐標(biāo)的變換.最后通過頂點(diǎn)式得出變換后的二次函數(shù)表達(dá)式.

或者可以運(yùn)用整體思想.二次函數(shù)y=a（x+h）2+k的翻折與旋轉(zhuǎn)可以看做是二次函數(shù)上的任意一點(diǎn)（x，y）進(jìn)行變換，將變換后的（x′，y′）帶入二次函數(shù)，即可得到變換后的二次函數(shù)表達(dá)式.

例3 已知二次函數(shù)y=-2（x+1）2-3.

（1）將二次函數(shù)關(guān)于x軸對稱，得到的新二次函數(shù)函數(shù)表達(dá)式為.

解 y=-2（x+1）2-3關(guān)于x軸對稱，其開口方向改變，則a=2，其頂點(diǎn)坐標(biāo)（-1，-3）關(guān)于x軸對稱后的坐標(biāo)為（-1，3），所以新二次函數(shù)函數(shù)表達(dá)式為

y=2（x+1）2+3.

或者運(yùn)用整體思想.在二次函數(shù)上的任意一點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸對稱后的坐標(biāo)為（x，-y），將（x，-y）帶入y=-2（x+1）2-3，整理得

y=2（x+1）2+3.

（2）將二次函數(shù)關(guān)于y軸對稱，得到的新二次函數(shù)函數(shù)表達(dá)式為.

解 y=-2（x+1）2-3關(guān)于y軸對稱，其開口方向不改變，即a不變，其頂點(diǎn)坐（-1，-3）關(guān)于y軸對稱，變換為（1，-3），所以新二次函數(shù)函數(shù)表達(dá)式為

y=-2（x-1）2-3.

或者運(yùn)用整體思想.在二次函數(shù)上的任意一點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸對稱后的坐標(biāo)為（-x，y），

將（-x，y）帶入y=-2（x+1）2-3，整理得y=-2（x-1）2-3.

（3）將二次函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱，得到的新二次函數(shù)表達(dá)式為.

解 y=-2（x+1）2-3關(guān)于原點(diǎn)對稱，其開口方向改變，則a=2，其頂點(diǎn)坐標(biāo)（-1，-3）關(guān)于原點(diǎn)對稱，變換為（1，3），所以新二次函數(shù)函數(shù)表達(dá)式為

y=2（x-1）2+3.

或者運(yùn)用整體思想.在二次函數(shù)上的任意一點(diǎn)（x，y）關(guān)于原點(diǎn)對稱，變換為（-x，-y），將（-x，-y）帶入y=-2（x+1）2-3，整理得

y=2（x-1）2+3.

（4）將二次函數(shù)y=-2（x+1）2-3繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得到的新二次函數(shù)表達(dá)式為.

解 y=-2（x+1）2-3繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，其開口方向改變，則a=2，但頂點(diǎn)未改變，所以直接可以得出新二次函數(shù)表達(dá)式為

y=2（x+1）2-3.

例3中關(guān)于x軸，y軸對稱，其實(shí)就是關(guān)于y=0，x=0對稱，關(guān)于原點(diǎn)對稱就是關(guān)于（0，0）對稱.由此我們也可以延伸到求二次函數(shù)y=a（x+h）2+k關(guān)于x=m，y=n，（m，n）對稱后的新二次函數(shù)函數(shù)表達(dá)式.

總結(jié)

函數(shù)是最能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的知識點(diǎn)，而二次函數(shù)更是中考題中的重難點(diǎn)，再結(jié)合上圖形的變換，因此學(xué)生接觸到此類問題時，更會顯得手足無措.在二次函數(shù)解題中，數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、類比思想等數(shù)學(xué)思想方法可以充分體現(xiàn)出來，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的研究精神.本文借助二次函數(shù)頂點(diǎn)的變換或是二次函數(shù)上任意一點(diǎn)的變換，直擊問題關(guān)鍵，從而做到簡單有效地解決問題.