低小慢目標(biāo)攔截抗多徑布儒斯特角彈道設(shè)計(jì)*

李 旭，葉繼坤，唐 驍，李 炯

（空軍工程大學(xué)，西安 710051）

0 引言

近年來，隨著作戰(zhàn)方式的進(jìn)步與革新，以超低空巡航導(dǎo)彈、超輕型固定翼飛機(jī)、輕型直升機(jī)、滑翔機(jī)、低空無人機(jī)等為典型代表的低小慢新型對(duì)地打擊武器進(jìn)入了快速發(fā)展時(shí)期，特別是低空巡航導(dǎo)彈武器憑借其優(yōu)秀的突防能力、出色的毀傷效能得到了世界軍事強(qiáng)國越來越多的青睞，同時(shí)也成為了現(xiàn)行絕大多數(shù)防空體系的攔截難題。低小慢目標(biāo)的主要特性有飛行高度低（10 m～100 m，最高不超過1 000 m）、雷達(dá)反射面?。≧CS＜1 m）、飛行速度慢（一般在50 m/s 左右）。在低小慢目標(biāo)的攔截過程中，導(dǎo)引頭截獲目標(biāo)并實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的穩(wěn)定跟蹤后，攔截彈轉(zhuǎn)入末制導(dǎo)飛行，此時(shí)，真實(shí)目標(biāo)回波和經(jīng)地表反射的目標(biāo)回波均落入導(dǎo)引頭波束范圍內(nèi)，形成目標(biāo)的多徑效應(yīng)，嚴(yán)重影響攔截彈的末制導(dǎo)精度。

目前，國內(nèi)外學(xué)者主要從兩個(gè)方面對(duì)低小慢目標(biāo)攔截問題進(jìn)行研究。一是分析低空目標(biāo)對(duì)導(dǎo)引頭雷達(dá)探測跟蹤性能的影響，比如文獻(xiàn)［2］中利用多路徑回波模型，推導(dǎo)出低角目標(biāo)的歸一化場強(qiáng)，并定義了反映歸一化場強(qiáng)起伏程度大小的場強(qiáng)波動(dòng)因子，分析了各因素對(duì)雷達(dá)探測低空目標(biāo)的影響權(quán)重，得到了利用短波雷達(dá)探測和增加天線的架設(shè)高度來對(duì)抗多徑效應(yīng)的雷達(dá)檢測方法，但未從根本上解決低空目標(biāo)的攔截難點(diǎn)；在文獻(xiàn)［3］中基于多徑散射模型在不同的外部電磁干擾環(huán)境下，分析推導(dǎo)了雙門限檢測器的檢測性能，得到了雷達(dá)檢測概率在多徑環(huán)境下的表達(dá)式以及雷達(dá)信噪比的概率分布函數(shù)，通過仿真給出了短波雷達(dá)在多徑環(huán)境下搜索跟蹤低空目標(biāo)的檢測概率曲線（不同的雙門限檢測器在不同的虛警概率下），但未給出提高檢測概率的具體措施。二是從改進(jìn)制導(dǎo)律入手。如文獻(xiàn)［4］中為了最大限度地減少雜波干擾，將彈目連線與水平面的夾角約束至布儒斯特角附近，基于FTSM 的設(shè)計(jì)思想，提出了一種非奇異FTSM 制導(dǎo)律，但實(shí)現(xiàn)該制導(dǎo)律的前提條件是需要知道準(zhǔn)確的目標(biāo)加速度，這無疑增加了技術(shù)難度；文獻(xiàn)［5］中利用最優(yōu)控制原理，結(jié)合線性二次型模型以及地海雜波的反射特性，設(shè)計(jì)出了一種能夠有效對(duì)抗地雜波干擾和電磁干擾的最優(yōu)導(dǎo)引律，并成功推導(dǎo)了特種彈道，但由于模型假設(shè)和簡化過多，魯棒性不佳。

低小慢目標(biāo)攔截的最大困難在于多徑與雜波的影響，而抗多徑、雜波的根本途徑就是變被動(dòng)處理為主動(dòng)抑制，其主要突破口之一就是采用布儒斯特角彈道。布儒斯特角彈道本質(zhì)上是一個(gè)最佳角度問題，導(dǎo)引頭按這個(gè)角度探測目標(biāo)受到的多徑干擾最小。本文以設(shè)計(jì)布儒斯特角彈道為出發(fā)點(diǎn)，在低小慢目標(biāo)攔截末段使攔截彈的擦地角始終沿著布儒斯特角飛行，從而減小多徑干擾對(duì)導(dǎo)引頭探測目標(biāo)的影響，使導(dǎo)引頭能夠準(zhǔn)確跟蹤、識(shí)別，并最終命中目標(biāo)，其理想設(shè)計(jì)彈道如圖1 所示。

圖1 超低空目標(biāo)攔截布儒斯特角理想彈道

1 具有布儒斯特角約束的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

為了簡化彈-目運(yùn)動(dòng)方程，將末制導(dǎo)過程中的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)解耦成俯仰平面和偏航平面兩個(gè)分量的運(yùn)動(dòng)，如圖2 所示。假設(shè)攔截彈速度和目標(biāo)速度均為常量，且攔截彈速度大于目標(biāo)速度；在攻擊過程中攻角很小，則俯仰平面彈目運(yùn)動(dòng)方程為：

圖2 攔截彈-目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系

式中，V和V分別為攔截彈速度和目標(biāo)速度；r 和r˙分別為攔截彈和目標(biāo)相對(duì)距離與相對(duì)速度；θ和θ為攔截彈彈道傾角和目標(biāo)彈道傾角；q 和q˙為攔截彈和目標(biāo)之間的視線角和視線角速率；η和η為攔截彈前置角和目標(biāo)前置角。

根據(jù)布儒斯特角的約束關(guān)系，攔截彈的擦地角必須時(shí)刻在布儒斯特角的約束范圍內(nèi)，因此，可得如圖2 所示的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系。圖中，φ 為攔截彈的擦地角，該角度等于布儒斯特角。在圖示ΔAMT 中，由正弦定理可得

則有

兩邊同時(shí)求微分，得

又因?yàn)?/p>

聯(lián)合式（1）、式（2）、式（7）、式（8），可得

根據(jù)三角函數(shù)的二倍角公式可得

整理得

根據(jù)三角函數(shù)的兩角和公式可得

聯(lián)合式（3）、式（4）、式（12），可得

式（14）與式（1）～式（4）共同組成了超低空目標(biāo)攔截抗多徑布儒斯特角約束的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型。

2 需用法向過載分析

根據(jù)需用法向過載的定義，有n=a/g，即需用法向過載等于法向加速度與重力加速度之比。攔截彈縱向平面的法向過載為n=Vθ˙/g，可見，通過分析攔截彈彈道傾角變化率θ˙的特性，即可得到法向過載的變化特性。

對(duì)式（14）求微分，即可得到攔截彈縱向平面的法向過載，令

有

兩邊同時(shí)求微分，得

其中

將式（18）代入式（17），可得攔截彈彈道傾角的變化率，有

可得

可見，攔截彈縱向平面的法向過載n與目標(biāo)機(jī)動(dòng)θ˙有關(guān)，在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)考慮目標(biāo)機(jī)動(dòng)對(duì)攔截彈道的影響。由于目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度不可測，因此，必須采用濾波算法或觀測器等方法對(duì)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度進(jìn)行估計(jì)。

3 擴(kuò)張觀測器設(shè)計(jì)

假設(shè)攔截彈在飛行過程中不發(fā)生滾轉(zhuǎn)，將攔截彈在三維空間中的運(yùn)動(dòng)解耦成縱向平面運(yùn)動(dòng)和側(cè)向平面運(yùn)動(dòng)。由于側(cè)向平面的運(yùn)動(dòng)與縱向平面的運(yùn)動(dòng)類似，這里僅針對(duì)縱向平面攔截情況進(jìn)行分析?？v向平面的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖3 所示。圖中V、V分別為攔截彈與目標(biāo)的速度；a、a分別為攔截彈和目標(biāo)的加速度矢量，θ、θ分別為攔截彈和目標(biāo)的彈道傾角；r 為彈目相對(duì)距離；q 為彈目視線角；矢量i、j為慣性坐標(biāo)系上的單位方向矢量。

圖3 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系

從而可以得到一階不確定系統(tǒng)，即

其中，V為系統(tǒng)狀態(tài)量；a為控制量；a為系統(tǒng)中的未知干擾；y 為系統(tǒng)的可測輸出；若將a作為系統(tǒng)的擴(kuò)張狀態(tài)，則新系統(tǒng)為：

式中，g（t）是目標(biāo)加速度的導(dǎo)數(shù)，a形式也是不確定的。當(dāng)g（t）有界，即|g（t）|＜g時(shí)，可推導(dǎo)得到系統(tǒng)式（23）的二階擴(kuò)張觀測器，即

4 布儒斯特角彈道的終止條件

攔截彈沿布儒斯特角彈道攔截目標(biāo)，當(dāng)彈目運(yùn)動(dòng)關(guān)系不再滿足某些約束條件時(shí)，攔截彈將無法沿布儒斯特角彈道繼續(xù)飛行，如圖4 所示。攔截彈在軌跡點(diǎn)6 之前一直沿布儒斯特角彈道飛行；此后，如果繼續(xù)沿布儒斯特角彈道飛行將導(dǎo)致攔截彈高度過低（甚至低于目標(biāo)高度造成觸地），攔截彈勢必要拉高飛行，從而造成動(dòng)力損失，且彈道需用過載變大，增加結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)難度。因此，在軌跡點(diǎn)6（由彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系確定）之后，攔截彈將不再沿布儒斯特角彈道飛行。由于不再有布儒斯特角的約束，此時(shí)可采用修正比例導(dǎo)引等經(jīng)典制導(dǎo)律?？梢?，攔截彈攔截低空目標(biāo)并不能全程采用布儒斯特角彈道，在滿足一定條件時(shí)必須由布儒斯特角約束制導(dǎo)律轉(zhuǎn)為其他制導(dǎo)律。因此，需要計(jì)算分析攔截彈沿布儒斯特角彈道飛行的終止條件。終止條件取決兩個(gè)因素：多徑效應(yīng)的影響和彈道需用過載。

圖4 攔截彈的最小轉(zhuǎn)彎半徑

從彈道需用過載的角度考慮，BAC 制導(dǎo)律的終止及轉(zhuǎn)其他制導(dǎo)律則越早越好；從多路徑效應(yīng)影響的角度考慮，BAC 制導(dǎo)律的終止及轉(zhuǎn)其他制導(dǎo)律應(yīng)越晚越好。因此，攔截彈沿布儒斯特角彈道飛行終止條件的確定需要綜合考慮。

攔截彈縱向平面的法向過載為

可見，攔截彈縱向平面的法向過載與速度的平方成正比，與彈道的曲率半徑成反比。要保證法向過載盡量小，在速度一定的情況下，彈道的曲率半徑（即轉(zhuǎn)彎半徑）越大越好。如果限定攔截彈需用法向過載，則可得到攔截彈的最小轉(zhuǎn)彎半徑，如圖5 所示，有

圖5 攔截彈沿布儒斯特角彈道攔截目標(biāo)的最小可分辨角

攔截彈沿布儒斯特角彈道攔截目標(biāo)的最終目的是減小多路徑效應(yīng)對(duì)導(dǎo)引頭跟蹤識(shí)別目標(biāo)的影響；攔截彈沿布儒斯特角彈道飛行，其真實(shí)目標(biāo)、鏡像目標(biāo)與攔截彈的角度關(guān)系會(huì)隨之增大；當(dāng)該角度超過真實(shí)目標(biāo)與鏡像目標(biāo)的最小可分辨角σ時(shí)，攔截彈導(dǎo)引頭可以有效區(qū)分真實(shí)目標(biāo)與鏡像目標(biāo)，從而削弱多路徑效應(yīng)對(duì)導(dǎo)引頭跟蹤識(shí)別目標(biāo)的影響。

如圖5 所示，根據(jù)正弦定理，有

經(jīng)整理，可得

即，當(dāng)彈目距離小于r時(shí)，攔截彈導(dǎo)引頭可以有效區(qū)分真實(shí)目標(biāo)與鏡像目標(biāo)，從而可以終止BAC制導(dǎo)律。

綜上，式（29）和式（31）就構(gòu)成了約束BAC 制導(dǎo)律的終止及轉(zhuǎn)其他制導(dǎo)律的條件。

5 仿真驗(yàn)證

以攔截戰(zhàn)斧巡航導(dǎo)彈為例，假定戰(zhàn)斧巡航導(dǎo)彈巡航高度為100 m，攔截區(qū)域地海雜波的布儒斯特角約為18°，僅考慮攔截彈的末制導(dǎo)攔截，且假定末制導(dǎo)的初始狀態(tài)滿足布儒斯特角約束關(guān)系，彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如下：以攔截彈在地面的投影為坐標(biāo)原點(diǎn)建立北天東慣性坐標(biāo)系，仿真初始參數(shù)設(shè)計(jì)如表1 所示。

表1 BAC 制導(dǎo)律仿真參數(shù)

規(guī)定攔截彈的最大可用法向過載為40，最大可用橫向過載為50，此外，在滿足布儒斯特角彈道的終止條件后，末制導(dǎo)律由BAC 制導(dǎo)律轉(zhuǎn)為經(jīng)典比例導(dǎo)引律。針對(duì)巡航導(dǎo)彈做勻速直線運(yùn)動(dòng)、正弦型機(jī)動(dòng)以及開關(guān)型機(jī)動(dòng)3 種情況進(jìn)行仿真分析。

5.1 情形1 來襲巡航導(dǎo)彈做勻速直線運(yùn)動(dòng)

假定來襲巡航導(dǎo)彈做勻速直線運(yùn)動(dòng)，按上述條件進(jìn)行仿真可得來襲巡航導(dǎo)彈和攔截彈的三維彈道曲線、縱向平面交會(huì)曲線以及攔截彈的需用橫向過載如圖6～圖8 所示。

由圖6 可以看出在來襲巡航導(dǎo)彈不做機(jī)動(dòng)時(shí)，攔截彈能夠以較為平滑的彈道擊中目標(biāo)；從圖7 縱向平面上的彈道投影來看，彈道十分平直，保證了攔截彈的機(jī)動(dòng)能力，攔截彈的機(jī)動(dòng)性能得到了充分體現(xiàn)和利用；從圖8 可看出攔截彈的需用橫向過載在允許范圍內(nèi)變化，變化趨勢較為平緩，彈道比較容易實(shí)現(xiàn)，這是因?yàn)樵谥茖?dǎo)律轉(zhuǎn)換后，由于來襲巡航導(dǎo)彈不做機(jī)動(dòng)，所以攔截彈不需要做轉(zhuǎn)向機(jī)動(dòng)或大角度抬頭，需用過載變化不大。由仿真數(shù)據(jù)可得此時(shí)脫靶量為3.453 4 m，在大多數(shù)攔截彈的殺傷半徑內(nèi)，可以對(duì)巡航導(dǎo)彈造成有效殺傷。

圖6 巡航導(dǎo)彈不機(jī)動(dòng)時(shí)三維彈目交會(huì)曲線

圖7 巡航導(dǎo)彈不機(jī)動(dòng)時(shí)縱向平面彈目交會(huì)曲線

圖8 巡航導(dǎo)彈不機(jī)動(dòng)時(shí)攔截彈需用橫向過載

5.2 情形2 來襲巡航導(dǎo)彈做正弦型機(jī)動(dòng)

假定來襲巡航導(dǎo)彈做變速運(yùn)動(dòng)，令其法向過載呈正弦函數(shù)變化趨勢，nty=5·g·sin（0.02·i·ts）；橫向過載亦按正弦函數(shù)變化趨勢ntz=5·g·sin（0.02·i·ts）變化，其他條件不變，仿真結(jié)果如圖9～圖11 所示。

圖9 巡航導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)時(shí)三維彈目交會(huì)曲線

圖10 巡航導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)時(shí)縱向平面彈目交會(huì)曲線

圖11 巡航導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)時(shí)攔截彈需用橫向過載

由圖9 和圖10 可以看出，在來襲巡航導(dǎo)彈進(jìn)行機(jī)動(dòng)時(shí)，攔截彈仍能以較為平滑的彈道擊中目標(biāo)，攔截彈彈道有一定彎曲。但由于目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度較小，攔截彈沒有發(fā)生大角度機(jī)動(dòng)現(xiàn)象，所以彎曲程度在可接受范圍內(nèi)。從圖11 可看出，攔截彈的需用橫向過載在9 s 左右變化趨勢由下降轉(zhuǎn)為上升，這是因?yàn)樵谥茖?dǎo)律轉(zhuǎn)換后，由于來襲巡航導(dǎo)彈進(jìn)行機(jī)動(dòng)規(guī)避，攔截彈需要作出相應(yīng)機(jī)動(dòng)才能保證打擊效果，需用過載會(huì)發(fā)生一定變化。由仿真數(shù)據(jù)得攔截彈的脫靶量為2.498 5 m，仍可對(duì)巡航導(dǎo)彈造成有效毀傷。

5.3 情形3 來襲巡航導(dǎo)彈做開關(guān)型機(jī)動(dòng)

假定來襲巡航導(dǎo)彈做開關(guān)型機(jī)動(dòng)，令其法向過載為nty=5·g·sign（sin（0.02·i·ts）），橫向過載為ntz=5·g·sin（0.02·i·ts）變化，其他條件不變，仿真結(jié)果如圖12～圖14 所示。

圖12 巡航導(dǎo)彈開關(guān)機(jī)動(dòng)時(shí)三維彈目交會(huì)曲線

圖13 巡航導(dǎo)彈開關(guān)機(jī)動(dòng)時(shí)縱向平面彈目交會(huì)曲線

圖14 巡航導(dǎo)彈開關(guān)機(jī)動(dòng)時(shí)攔截彈需用橫向過載

由圖12 和圖13 可以看出，在來襲巡航導(dǎo)彈做開關(guān)機(jī)動(dòng)時(shí)，攔截彈按照BAC 制導(dǎo)律可以以平直彈道與目標(biāo)交會(huì)，且由仿真數(shù)據(jù)可得此時(shí)的脫靶量為2.114 3 m，在殺傷半徑內(nèi)可以有效攔截巡航導(dǎo)彈；從圖14 可以看出，由于來襲巡航導(dǎo)彈的大角度機(jī)動(dòng)，導(dǎo)致攔截彈的需用過載也在上下波動(dòng)，對(duì)攔截彈的機(jī)動(dòng)性能提出了較高要求。

6 結(jié)論

本文立足于現(xiàn)有地空攔截武器制導(dǎo)體制和技術(shù)水平，瞄準(zhǔn)未來武器裝備發(fā)展需求，對(duì)攔截彈在導(dǎo)引飛行過程中為提高導(dǎo)引頭抗干擾能力的關(guān)鍵飛行段實(shí)現(xiàn)布儒斯特角彈道的制導(dǎo)方法進(jìn)行研究。設(shè)計(jì)了滿足布儒斯特角約束的BAC 末制導(dǎo)律，對(duì)攔截彈需用過載進(jìn)行了分析，設(shè)計(jì)了狀態(tài)觀測器來觀測目標(biāo)加速度，并進(jìn)一步說明了布儒斯特角彈道的終止條件。仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提低小慢目標(biāo)攔截抗多徑布儒斯特角彈道的有效性，為未來工程實(shí)踐奠定了基礎(chǔ)。