用于彈道組網(wǎng)測量布站評(píng)估的GDOP 拓展算法*

段鵬偉，宮志華，岳 銳，田家磊

（解放軍63861 部隊(duì)，吉林 白城 137001）

0 引言

在武器系統(tǒng)試驗(yàn)靶場，獲取高精度彈道參數(shù)是評(píng)定和分析武器打擊精度的重要內(nèi)容。隨著測試設(shè)備的快速發(fā)展，多種設(shè)備組網(wǎng)的數(shù)據(jù)融合測量方式已經(jīng)成為試驗(yàn)靶場的常規(guī)測量模式，在試前準(zhǔn)備過程中構(gòu)建更加科學(xué)的布站方案，已經(jīng)成為提高目標(biāo)測量精度的重要途徑。很多學(xué)者對(duì)如何優(yōu)化布站進(jìn)行了深入研究，但其評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)不盡相同。對(duì)于各項(xiàng)武器裝備性能測試試驗(yàn)，已知目標(biāo)的發(fā)射原點(diǎn)和方向、飛行速度以及理論軌跡等各種先驗(yàn)信息，在這些條件下，目標(biāo)在理論軌跡上飛行的測量精度是評(píng)估布站方案優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)。在各種定位系統(tǒng)中，幾何精度因子（GDOP）常用來描述定位精度與布站幾何的關(guān)系，因此，可以用GDOP 來評(píng)估布站方案。

GDOP 主要用于評(píng)估衛(wèi)星與定位地點(diǎn)之間的幾何關(guān)系的優(yōu)劣，后來被引入到組網(wǎng)測量領(lǐng)域，以評(píng)估被測目標(biāo)與測站形成的幾何關(guān)系的優(yōu)劣，但是對(duì)于組網(wǎng)測量，不同的數(shù)據(jù)融合的模型得出的GDOP 是不同的。受限于應(yīng)用領(lǐng)域，很多學(xué)者在以等權(quán)重的多測距模型計(jì)算空間位置相對(duì)測站的GDOP，這種方法只考慮測站布站位置與空間形成的幾何關(guān)系，沒有考慮不同測站距離測元的測量精度是否相同。為了克服算法的應(yīng)用缺陷，有的學(xué)者以不同精度作為權(quán)重的多測距模型計(jì)算GDOP，這種方法考慮了測元的精度指標(biāo)，但是沒有考慮測元的多樣性。對(duì)于多種測元融合模型，主要有3 類GDOP 計(jì)算方法。第1 類是基于最大似然估計(jì)的GDOP 計(jì)算方法，簡稱最大似然法（ML），以不同精度的距離測元和角度測元獲得了空間位置的GDOP，從而實(shí)現(xiàn)了更加精確的GDOP 求解。但是它的前提條件較為苛刻，很多時(shí)候無法滿足，同時(shí)，對(duì)于有些測元無法求出其定位平面，這就導(dǎo)致雖然這些測元參與融合計(jì)算，但是無法給出其參與融合后的GDOP。第2 類是基于克拉美羅下界（CRLB）的GDOP 算法，簡稱克拉美羅法，這類算法可以拓展到任意測元，但是多數(shù)學(xué)者仍以距離測元和角度測元作為觀測量，并且該算法需要已知所有測元與待估計(jì)狀態(tài)量的聯(lián)合概率密度分布函數(shù)，還要求測元的誤差為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。第3 類是基于加權(quán)最小二乘估計(jì)的GDOP 計(jì)算方法，簡稱加權(quán)最小二乘法（WLS），以最小二乘法計(jì)算不同融合模型GDOP，沒有約束條件，但是現(xiàn)有應(yīng)用同樣僅以距離和角度測元的融合模型計(jì)算GDOP，沒有考慮其他測元是否對(duì)融合定位產(chǎn)生影響。

以上這些計(jì)算方法基本都是遍歷空間的某些區(qū)域，逐個(gè)單點(diǎn)計(jì)算GDOP，因此，這些算法屬于靜態(tài)的GDOP 計(jì)算方法。在實(shí)際的彈道組網(wǎng)測量中，目標(biāo)是運(yùn)動(dòng)的，目標(biāo)定位的數(shù)據(jù)融合模型也是動(dòng)態(tài)的，這時(shí)不僅靜態(tài)的目標(biāo)空間位置對(duì)布站方案的GDOP 有影響，動(dòng)態(tài)的目標(biāo)速度、加速度等與目標(biāo)空間位置相關(guān)的參數(shù)也將參與到數(shù)據(jù)融合測量中，對(duì)目標(biāo)定位精度產(chǎn)生影響，也可以認(rèn)為對(duì)布站方案的GDOP 有影響。因此，本文以徑向速度這一動(dòng)態(tài)測元為例，將加權(quán)最小二乘法拓展到具有徑向速度測元的動(dòng)態(tài)融合模型中，使GDOP 能夠更加準(zhǔn)確地體現(xiàn)組網(wǎng)測量布站方案的優(yōu)劣。

1 基于加權(quán)最小二乘估計(jì)的GDOP 拓展算法

彈道組網(wǎng)測量布站時(shí)，不僅可以獲得目標(biāo)的位置信息，還能夠獲得速度和加速度或者更多的先驗(yàn)信息。根據(jù)CRLB 計(jì)算過程中的Fisher 信息矩陣，增加與待估計(jì)狀態(tài)量有關(guān)系的觀測量數(shù)量，會(huì)降低CRLB，也就意味著提升了待估狀態(tài)量的極限精度。以往算法僅僅利用了目標(biāo)空間位置這些靜態(tài)參數(shù)，而加權(quán)最小二乘法可以拓展到含有動(dòng)態(tài)參數(shù)模型的GDOP 計(jì)算，屬于動(dòng)態(tài)的GDOP 計(jì)算方法。以含有徑向速度測元的融合模型為例，將加權(quán)最小二乘法進(jìn)行改進(jìn)拓展。

1.1 建立誤差模型

假定在組網(wǎng)測量系統(tǒng)中，第i 個(gè)測站的站址為（x，y，z），對(duì)目標(biāo)測量值為距離測元R、方位測元A、俯仰測元E以及徑向速度測元V一個(gè)或幾個(gè)。不考慮站址誤差時(shí)，對(duì)于空中位置為（x，y，z）的目標(biāo)，由空間幾何關(guān)系可得：

則可得到各測元對(duì)應(yīng)的誤差方程。

距離誤差方程為：

方位誤差方程為：

假定測量值中有i 個(gè)R，j 個(gè)A，k 個(gè)E，q 個(gè)V，則將全部測站的全部測元的誤差方程聯(lián)立，可用矩陣形式表示為：

1.2 GDOP 解算

根據(jù)加權(quán)最小二乘算法，可求得：

其中，P 為權(quán)系數(shù)矩陣，一般取測元誤差的協(xié)方差矩陣。

彈道參數(shù)誤差向量ΔX 的協(xié)方差矩陣為：

根據(jù)GDOP 定義，可得：

當(dāng)各測元誤差為互不相關(guān)的隨機(jī)變量時(shí)，

該方法與以往的計(jì)算方法相比，模型的建立幾乎不需要前提條件，不僅利用了雷達(dá)測量的距離測元和角度測元等靜態(tài)測元，還利用了徑向速度這個(gè)動(dòng)態(tài)測元，而且還可以推廣到更多類型的測元，極大限度地利用了測站的各種測元信息，計(jì)算得到的GDOP 能夠更加切合實(shí)際數(shù)據(jù)融合結(jié)果。在各測元誤差是互不相關(guān)的正態(tài)分布隨機(jī)變量條件下，其結(jié)果即為克拉美羅下界，模型建立簡單，拓展性強(qiáng)，適用范圍廣。

2 仿真分析

為了使仿真結(jié)果更加明了，靜態(tài)GDOP 計(jì)算中僅使用距離測元，動(dòng)態(tài)GDOP 計(jì)算中使用距離測元和徑向速度測元。

2.1 加權(quán)最小二乘法與最大似然法比較仿真

在各測元誤差是互不相關(guān)的正態(tài)分布隨機(jī)變量條件下，加權(quán)最小二乘法與克拉美羅法等效，僅對(duì)加權(quán)最小二乘法與最大似然法做比較即可。

在相同布站方案和相同融合模型條件下，分別用最大似然法和加權(quán)最小二乘法計(jì)算相同區(qū)域的GDOP，以檢驗(yàn)加權(quán)最小二乘法的正確性和準(zhǔn)確性。

仿真條件：將4 個(gè)測站采用矩形布站，分別布設(shè)在（20 km，0，5 km），（20 km，0，-5 km），（-20 km，0，5 km），（-20 km，0，-5 km）這4 個(gè)高程為0 的點(diǎn)位上，采用4 測距融合模型，各測站測距精度為10 m，各測距誤差是互不相關(guān)的正態(tài)分布隨機(jī)變量。

用兩種方法計(jì)算高度為10 km 的平面的GDOP等高線，如下頁圖1、圖2 所示，圖中*標(biāo)記為測站點(diǎn)位。

圖1 加權(quán)最小二乘計(jì)算GDOP 等高線圖

圖2 最大似然法計(jì)算GDOP 等高線圖

從GDOP 計(jì)算結(jié)果可以看出，在各測距誤差是互不相關(guān)的正態(tài)分布隨機(jī)變量的假定條件下，加權(quán)最小二乘法與最大似然法計(jì)算結(jié)果幾乎完全相同，兩種算法也是等效的。同時(shí)證明了3 種算法在假定條件下的等效性，驗(yàn)證了加權(quán)最小二乘法計(jì)算GDOP 的正確性、有效性和準(zhǔn)確性。但是在各測元誤差相關(guān)或者無法確定測元誤差概率密度分布函數(shù)時(shí)，最大似然法和克拉美羅法無法計(jì)算GDOP，而加權(quán)最小二乘法不受假設(shè)條件限制。

2.2 彈道動(dòng)態(tài)GDOP 仿真計(jì)算

在相同布站方案條件下，以加權(quán)最小二乘法及其拓展算法分別對(duì)空中彈道軌跡以不同的融合模型進(jìn)行GDOP 計(jì)算，為了凸顯徑向速度的作用，模型盡量簡化：以4 測距融合模型與4 測距4 測速融合模型進(jìn)行對(duì)比仿真。

仿真條件：設(shè)計(jì)仿真彈道，包含時(shí)間、彈道三維坐標(biāo)和速度等先驗(yàn)信息。以發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)，發(fā)射方向?yàn)閤 方向，豎直向上方向?yàn)閥 方向，通過右手法則確定z方向。在這個(gè)坐標(biāo)系下，將4 個(gè)測站采用常規(guī)的矩形布站，分別布設(shè)在（25 km，-4 m，-10 km），（120 km，-2 m，-10 km），（25 km，-3 m，10 km），（120 km，-5 m，-10 km）這4 個(gè)點(diǎn)位上。

以不同的測速精度進(jìn)行兩次仿真，各測站測距精度恒定為10 m，測速精度在兩次仿真中分別設(shè)定為1 m/s 和0.1 m/s。

仿真彈道軌跡和布站方案示意圖如圖3 所示。圖中曲線為彈道軌跡，以*標(biāo)記了測站點(diǎn)位。

圖3 仿真彈道軌跡與測站布站示意圖

當(dāng)各測站的測速精度設(shè)定為1 m/s 時(shí)，分別采用兩種算法對(duì)彈道曲線的GDOP 計(jì)算結(jié)果分時(shí)顯示，如圖4 所示。

圖4 兩種算法的GDOP 計(jì)算結(jié)果（測速精度為1 m/s 時(shí)）

圖4（c）為圖4（b）放大后的彈道GDOP 計(jì)算結(jié)果曲線。

從圖4（a）中可以看到，初始時(shí)刻由于目標(biāo)與測站幾乎在同一平面上，角度測元不參與融合時(shí)，GDOP 很大，意味著定位精度很低；但是含有徑向速度測元的模型比沒有徑向速度的模型收斂要快一些。從圖4（c）中可以看到，兩條曲線基本重合，說明在各測站測速的相對(duì)精度較低時(shí)，雖然對(duì)GDOP 計(jì)算有影響，但是幾乎可以忽略不計(jì)，也就是精度相對(duì)較低測元對(duì)融合定位精度的提升貢獻(xiàn)很小。在這種條件下，兩種算法對(duì)布站方案的評(píng)估結(jié)果相差不大，僅在彈道初始段稍有差別。

當(dāng)各測站的測速精度設(shè)定為0.1 m/s 時(shí)，分別采用兩種算法對(duì)彈道曲線的GDOP 計(jì)算結(jié)果如下頁圖5 所示。

圖5 兩種算法的GDOP 計(jì)算結(jié)果（測速精度為0.1 m/s 時(shí)）

從圖5（a）中可以看到當(dāng)測速精度提升，含有徑向速度測元的模型計(jì)算的GDOP 收斂速度顯著提高。從圖5（c）中看到測速精度提升，GDOP 計(jì)算結(jié)果明顯變小，融合定位后的精度也將更高。若測速精度進(jìn)一步提高，GDOP 計(jì)算結(jié)果會(huì)變小，但是不會(huì)超過該融合模型的克拉美羅下界。因此，測元只要與關(guān)注的彈道參數(shù)有關(guān)聯(lián)，就會(huì)對(duì)參數(shù)的測量精度產(chǎn)生影響，并且測元精度越高，GDOP 的計(jì)算結(jié)果越小，也就意味著融合精度越高。

在徑向速度精度較高的條件下，兩種算法對(duì)布站方案的評(píng)估結(jié)果相差比較明顯，一是彈道初始段，兩種方法的評(píng)價(jià)結(jié)果相差最大處相差超過一個(gè)數(shù)量級(jí)；二是在彈道中段，這時(shí)定位精度相對(duì)較高，但是兩種方法的評(píng)價(jià)結(jié)果相差一倍左右。因此，經(jīng)典加權(quán)最小二乘GDOP 算法在評(píng)估彈道組網(wǎng)測量的布站方案時(shí)未考慮動(dòng)態(tài)參數(shù)，也同樣具有一定的缺陷，本文提出的基于加權(quán)最小二乘的GDOP 拓展算法能夠更加準(zhǔn)確地評(píng)估布站方案。

3 結(jié)論

對(duì)于試驗(yàn)靶場現(xiàn)有的彈道組網(wǎng)測量模式，測站的布站方案對(duì)目標(biāo)融合測量精度的影響較大，決定了對(duì)測站布站方案評(píng)估的研究具有重要的實(shí)際意義。本文在分析以往算法和經(jīng)典的加權(quán)最小二乘GDOP 算法的優(yōu)點(diǎn)和不足的基礎(chǔ)上，以徑向速度為例，將加權(quán)最小二乘法拓展到包含動(dòng)態(tài)測元的模型中，提出了以基于加權(quán)最小二乘的GDOP 拓展算法計(jì)算結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)彈道組網(wǎng)測量布站進(jìn)行評(píng)估的方法。

通過仿真分析，得到以下結(jié)論：

1）基于加權(quán)最小二乘的GDOP 拓展算法與以往的計(jì)算方法相比，模型的建立幾乎不需要前提條件，只需測元數(shù)量冗余，因而可以利用更多動(dòng)態(tài)測元，計(jì)算結(jié)果更加切合實(shí)際數(shù)據(jù)融合結(jié)果，能夠更加準(zhǔn)確地評(píng)估彈道組網(wǎng)測量布站方案。

2）在各測距誤差是互不相關(guān)的正態(tài)分布隨機(jī)變量的假定條件下，加權(quán)最小二乘法、最大似然法和克拉美羅法3 種方法等效，與3 種算法的理論基礎(chǔ)相符合，驗(yàn)證了加權(quán)最小二乘法的正確性和準(zhǔn)確性。

3）當(dāng)測站與目標(biāo)的幾何關(guān)系較差時(shí)，包含更多動(dòng)態(tài)測元的融合模型可以改善彈道的GDOP，且測元相對(duì)精度越高對(duì)融合結(jié)果精度影響越大，對(duì)組網(wǎng)測量布站評(píng)估的權(quán)重也越大。

本文提出的方法具有一定的應(yīng)用推廣價(jià)值，可以推廣應(yīng)用到組合導(dǎo)航定位、移動(dòng)基站定位和水下聲吶定位等其他定位測量系統(tǒng)的布站方案評(píng)估。