用方程（組）解的定義解題舉例

鄭泉水

定義是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，運用定義解題是一種最基本的解題策略.因此，在解決與方程（組）的解有關(guān)的問題時，應(yīng)用方程（組）解的定義解題就是自然選擇了！

我們知道，使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.

由方程解的定義可知：

（1）若x=a是關(guān)于x的方程f（x）=0的解，則有f（a）=0;

（2）若有f（a）=0，則x=a是關(guān)于x的方程f（x）=0的一個解.

下面舉例說明方程（組）解的定義在解題中的運用，供參考.

例1 已知方程組ax+by=1，2x-y=1和方程組ax-by=5，x+2y=3的解相同，求a與b的值.

解 因為方程組ax+by=1，2x-y=1和方程組ax+by=5，x+2y=3的解相同，

所以方程組x+2y=3，2x-y=1的解x=1，y=1是方程組ax+by=1，ax-by=5的解.

于是得到a+b=1，a-b=5.

解得a=3，b=-2.

例2 已知關(guān)于x，y的方程組ax-by+c=4，-13ax-by+c=2的解是x=3，y=1.則a-b+c=.

解 因為關(guān)于x，y的方程組ax-by+c=4，-13ax-by+c=2的解是x=3，y=1.

所以有3a-b+c=4，-a-b+c=2，①②

①+②，得2a-2b+2c=6，

即a-b+c=3.

例3 已知關(guān)于x，y的方程組ax+by=7.5，ax-by=10的解是x=-1，y=-2，則關(guān)于x1，y1的方程組a（x1+1）+b（y1-1）=7.5，a（x1+1）-b（y1-1）=10的解是.

解 由方程組解的定義知，（x1+1），（y1-1）是方程組ax+by=7.5，ax-by=10的解，

故有x1+1=-1，y1-1=-2，

所以x1=-2，y1=-1.

例4 若關(guān)于x，y方程組ax+by=c，dx+ey=f的解是x=6，y=2.求關(guān)于x′，y′的方程組3ax′+2by′=7c，3dx′+2ey′=7f.的解.

解 將方程組3ax′+2by′=7c，3dx′+2ey′=7f中每個方程的兩邊都除以7，得

37ax′+27by′=c，37dx′+22ey′=f.

即a37x′+b27y′=c，d37x′+e27y′=f.

根據(jù)方程組解的定義可知

x=37x′，y=27y′是方程組ax+by=c，dx+ey=f的解.

故有37x′=6，27y′=2，

解得x′=14，y′=7.

所以方程組3ax′+2by′=7c，3dx′+2ey′=7f的解是x′=14，y′=7.

例5 已知關(guān)于x的方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0只有一個公共根，求這個公共根.

解 設(shè)兩個方程的公共根為m，則根據(jù)方程解的定義可得

m2+am+b=0和m2+bm+a=0.

兩式相減，得

（a-b）m+b-a=0.

因為原來的兩個方程只有一個公共根，

故a≠b.

所以m=1.

例6 已知關(guān)于x的方程x2+3x+c=0的一個根的相反數(shù)恰是方程x2-3x-c=0的一個根，求方程x2+3x+c=0的根.

解 設(shè)方程x2+3x+c=0的一個根為m，方程x2-3x-c=0的一個根為-m，

則有m2+3m+c=0，

m2-3（-m）-c=0.

兩式相減，得2c=0，

即c=0.

所以方程x2+3x+c=0的根是x1=0，x2=-3.

例7 求作一個一元二次方程，使其兩個根分別是方程x2+2x-2=0兩個根的

（1）相反數(shù);

（2）倒數(shù).

解 設(shè)求作的一個一元二次方程的一根為y，則

（1）-y是方程x2+2x-2=0的一個根.

將x=-y代人方程x2+2x-2=0，得

y2-2y-2=0.

（2）1y是方程x2+2x-2=0的一個根.

將x=1y代人方程x2+2x-2=0，得

1y2+2×1y-2=0.

整理，得-2y2+2y+1=0.

例8 已知實數(shù)a，b滿足a≠b，且a2-a-2017=0，b2-b-2017=0.求下列代數(shù)式的值：

（1）a2+b2;

（2）a3+2018b-2017.

解 因為a2-a-2017=0，

b2-b-2017=0.

所以a2=a+2017，

b2=b+2017.

（1）a2+b2=（a+2017）+（b+2017）

=（a+b）+4034.

（2）a3+2018b-2017

=a（a+2017）+2018b-2017

=a2+2017a+2018b-2017

=（a+2017）+2017a+2018b-2017

=2018（a+b）.

因為實數(shù)a，b滿足a≠b，

且a2-a-2017=0，

b2-b-2017=0，

由一元二次方程根的定義知：a，b是關(guān)于t的一元二次方程t2-t-2017的二根.

由一元二次方根與系數(shù)的關(guān)系知

a+b=1.

所以（1）a2+b2=4035;

（2）a3+2018b-2017=2018.