矩形要點(diǎn)精讀

韓宏帥

矩形的定義

有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.

矩形定義的兩個(gè)要素：

①是平行四邊形;

②有一個(gè)角是直角.

即矩形首先是一個(gè)平行四邊形，然后增加一個(gè)角是直角這個(gè)特殊條件.

例1 如圖1，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使平行四邊形ABCD是矩形.

解 添加一個(gè)條件為：∠ABC=90°，理由如下：

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，

∠ABC=90°，

所以平行四邊形ABCD是矩形.

矩形的性質(zhì)

矩形的性質(zhì)包括四個(gè)方面：

1.矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì);

2.矩形的對(duì)角線相等;

3.矩形的四個(gè)角都是直角;

4.矩形是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸.

（1）矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對(duì)稱圖形.過中心的任意直線可將矩形分成完全全等的兩部分.

（2）矩形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（分別通過對(duì)邊中點(diǎn)的直線）.對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)角線的交點(diǎn)（即對(duì)稱中心）.

（3）矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，從而矩形的性質(zhì)可以歸結(jié)為從三個(gè)方面看：從邊看，矩形對(duì)邊平行且相等;從角看，矩形四個(gè)角都是直角;從對(duì)角線看，矩形的對(duì)角線互相平分且相等.

例2 如圖2，點(diǎn)E，F(xiàn)在矩形ABCD的對(duì)角線BD所在的直線上，BE=DF，則四邊形AECF是（）

（A）平行四邊形.（B）矩形.

（C）菱形.（D）正方形.

解 由題意 AD∥BC，

所以∠ADB=∠CBD，

所以∠FDA=∠EBC，

又因?yàn)锳D=BC，BE=DF，

所以△ADF≌△CBE（SAS），

所以AF=EC，

所以∠AFD=∠CEB，

所以AF∥EC，

所以四邊形AECF為平行四邊形，

故選（A）.

矩形的判定

矩形的判定有三種方法：

1.定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.

2.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.

3.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

在平行四邊形的前提下，加上“一個(gè)角是直角”或“對(duì)角線相等”都能判定平行四邊形是矩形.

例3 如圖3，點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形.

（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形;

（2）如果AB=AE，求證：四邊形ACED是矩形.

證明 （1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，

所以AD∥BC，

且AD=BC.

因?yàn)辄c(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，

所以BC=CE，

所以AD=CE，

因?yàn)锳D∥CE，

所以四邊形ACED是平行四邊形;

（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，

所以AB=DC，

因?yàn)锳B=AE，

所以DC=AE，

因?yàn)樗倪呅蜛CED是平行四邊形，

所以四邊形ACED矩形.

直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

（1）直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是矩形性質(zhì)的推論.性質(zhì)的前提是直角三角形，對(duì)一般三角形不可使用.

（2）直角三角形主要性質(zhì)有：

①直角三角形兩銳角互余;

②直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方;

③直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

（3）性質(zhì)可以用來解決有關(guān)線段倍分的問題.

例4 如圖4，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=12，D為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD，E為BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，CE，當(dāng)∠ABD=∠BCE時(shí)，線段AE的最小值是（）

（A） 3.（B） 4.

（C） 5.（D） 6.

解 如圖，取BC的中點(diǎn)T，連接AT，ET.

因?yàn)椤螦BC=90°，

所以∠ABD+∠CBD=90°，

因?yàn)椤螦BD=∠BCE，

所以∠CBD+∠BCE=90°，

所以∠CEB=90°，

因?yàn)镃T=TB=6，

所以ET=12BC=6，

AT=AB2+BT2

=82+62

=10，

因?yàn)锳E≥AT-ET，

所以AE≥4，

所以AE的最小值為4，

故選（B）.