探析分類討論法在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的實(shí)踐

朱軍平

【摘要】在我國初中階段，數(shù)學(xué)學(xué)科作為一門復(fù)雜學(xué)科，具備嚴(yán)密邏輯性，同時(shí)，也是學(xué)好其他學(xué)科的重要基礎(chǔ).初中數(shù)學(xué)在教學(xué)過程中，要求立足于課本教學(xué)實(shí)際情況，制定符合學(xué)生特點(diǎn)的教學(xué)方法，能夠通過激發(fā)學(xué)生興趣，進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)成績.當(dāng)前在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類討論思想不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)，同時(shí)，也是考試重點(diǎn)，因此，作為數(shù)學(xué)教師需高度重視分類討論思想，在課堂教學(xué)中的重要應(yīng)用，同時(shí)在課后需布置分類討論思想相關(guān)習(xí)題，能夠使學(xué)生熟練掌握分類討論思想的作用和應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】分類討論法;初中數(shù)學(xué);解題教學(xué)

1 分類討論思想應(yīng)用原則

分類討論思想在運(yùn)用時(shí)需要遵循互斥性和多層次性原則.比如初二某班級共有7名學(xué)生參與田徑比賽球類比賽，其中4名學(xué)生參與球類比賽，5名學(xué)生參與田徑比賽，表明在所羅列的7名學(xué)生中有同時(shí)參與兩項(xiàng)比賽的學(xué)生，并且為兩名，不能將7名簡單進(jìn)行田徑比賽和球類比賽分類，否則會出現(xiàn)邏輯錯(cuò)誤，在數(shù)學(xué)課題講解過程中經(jīng)常會遇到復(fù)雜問題，通常可采用二分法，結(jié)合對象層次進(jìn)行逐層分類.

2 分類討論思想具體應(yīng)用

2.1 數(shù)值比較

要想使用正確分類討論法解題，要求明確分類對象，具體包括對象、范圍、性質(zhì)等相關(guān)因素，同時(shí)確定對象之后，按照對象性質(zhì)、屬性完成分類，分類對象標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不能出現(xiàn)重復(fù)和遺漏問題，需合理劃分，分清主次，不能出現(xiàn)越級討論的現(xiàn)象，這也是運(yùn)用分類討論思想解題的關(guān)鍵.

例1比如在有理數(shù)a與8a大小比較時(shí)，首先，需分析兩數(shù)均是和有理數(shù)a相關(guān)的數(shù)字，a作為字母表示有理數(shù)，根據(jù)有理數(shù)分類，其具備不確定性，同時(shí)，在這一道題中還涉及有理數(shù)分類的概念.根據(jù)題目要求，當(dāng)a大于等于a，此時(shí)a大于零時(shí)，a與B均為正數(shù)，由正數(shù)比較法則，絕對值大，那么該數(shù)值就大，因此a小于8a，當(dāng)a=零時(shí)，此時(shí)a=8a=0，當(dāng)a小于0時(shí)，此時(shí)a與8a均為負(fù)數(shù)，根據(jù)負(fù)數(shù)比較法，則絕對值大，該數(shù)值越小，因此a>8a.

例2 如果m-n=n-m并且m=4，n=3求（m+n）（m+n）的數(shù)值，對于該數(shù)學(xué)題需采用分類討論法進(jìn)行求解.首先，應(yīng)當(dāng)明確絕對值概念，涉及絕對值的問題，需進(jìn)行分類討論，只有通過分類討論才能夠得到完整且正確的結(jié)論，如果不進(jìn)行分類討論，會導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤，對于該問題進(jìn)行分析解答，由于m=4，n=3，因此m=±4，n=±3，又因?yàn)閙-n=n-m，因此n-m≥0，n>=m，當(dāng)n等于3時(shí)，m取值可能為-4.最終結(jié)果為1，如果a=-3時(shí)，m取值為-4，最終結(jié)果為49，所以（m+n）（m+n）數(shù)值為1或49.

2.2 方程求解

確定分類討論對象之后，需要進(jìn)行分類標(biāo)準(zhǔn)確定，通常標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，需合理進(jìn)行分類，要求無互斥、無遺漏，無重復(fù)，做好相關(guān)準(zhǔn)備工作之后，即開始進(jìn)行分類討論.

例3比如結(jié)合參數(shù)的取值范圍分類，討論求解含有參數(shù)的相關(guān)問題.比如關(guān)于X的方式方程進(jìn)行求解，

x-ax-1-3x=1

已知該方程無解，求a的數(shù)值.類似這種問題需進(jìn)行分類討論.在求解該方程時(shí)，兩邊同時(shí)乘x（x-1），那么能夠得到

（x-a）×x-3×（x-1）=x×（x-1），

經(jīng)過整理，

（a+2）×x=3，當(dāng)a+2=0時(shí)，

此時(shí)a=-2，

該方程無解，那么原有方程也無解，如果當(dāng)x=1那么原方程無解，

此時(shí)（a+2）×1=3，a=1.

綜合上述研究，如果原有方程無解，那么a的取值為1或-2.

例4比如在分式方程3x-3+axx2-9+=4x+3中，要想求解a的值，可需要借助分類討論思想.

解

經(jīng)過去分母之后能夠獲得下列公式

3（x+3）+ax=4（x-3）

（a-1）x=-21，

已知-21a-1=-3或者21a-1=3，或者a-1=0，因此a=8a=-6或1.

在這種變式中將無解變?yōu)橛性龈绾芜M(jìn)行求解？ a=8或a=-1.

此外，在一元二次方程中同樣也可運(yùn)用分類導(dǎo)學(xué)思想，比如在m2x2+（2m+1）x+1=0方程存在實(shí)數(shù)根，需要求解m的取值范圍.對于這種情況下可將其分為兩種情況：第一，如果m2=0，此時(shí)m=0，該方程為一元一次方程，那么x+1=0存在實(shí)數(shù)根x=-1;第二，如果m2≠0，此時(shí)該方程為一元二次方程，所求方程存在實(shí)數(shù)根，所以？（2m+1）2-4m2=4m+10那么m大于1/4，此時(shí)m2≠0，綜合來看m應(yīng)該大于-1/4.

2.3 在圓和三角形中的運(yùn)用

分類討論思想也可用于圓和三角形等一些幾何圖形中.

例5 比如已知某函數(shù)y=- 33x+3 3在x，y軸交點(diǎn)分別為A、B兩點(diǎn).在x軸中尋找一個(gè)點(diǎn)P，使得？PAB為等腰三角形.對于這一類題由于在？PAB中P點(diǎn)的位置不確定，因此無法確定？PAB，且不清楚哪兩條邊為等腰三角形的腰.這種情況下對于？PAB來說存在三種情況，可將其分為：第一，PA=PB;第二，PA=AB;第三，PB等于AB，此時(shí)分別求解B的坐標(biāo)為（0， 3），a點(diǎn)的坐標(biāo)為（9，0）設(shè)置P點(diǎn)為（x，0），利用兩點(diǎn)距離公式，針對上述三種情況羅列對應(yīng)方程，可求出P點(diǎn)坐標(biāo)為（-9，0），（9+6 3，0）（9-6 3，0）.在上述例題中舍去不滿足條件的解集.

在解答這一問題中很容易出現(xiàn)漏解的問題，因此在解答時(shí)需考慮圖形可能存在的位置，緊扣題目中已知條件分類，畫出符合條件圖形.

由于部分幾何問題或者實(shí)際應(yīng)用問題題目已知條件和結(jié)論不是唯一的，這種情況下也要對此進(jìn)行分類討論.

例6 已知在△ABC中，兩邊a=6，b=8，此時(shí)求解第三個(gè)邊.

解

第一，當(dāng)△ABC為直角三角形，此時(shí)c為斜邊時(shí)c=10，如果c不是斜邊，由于8>6，那么b為斜邊，因此c= 82-62= 7.

第二，當(dāng)△ABC為銳角三角形，此時(shí)由于a

①b2

②C2

③b

④c

由于①和②均屬于銳角三角形，③和④保證存在三角形，而③和④可通過①和②得出，

因此b2

第三，當(dāng)△ABC為鈍角三角形，此時(shí)由于a

那么C2>a2+b2ca2+c2b

此時(shí)10

2.4 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化

由于點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化也會引起分類討論，由于運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的點(diǎn)存在不同位置，需針對不同位置進(jìn)行求解，否則會出現(xiàn)漏解.

例7 比如平面動(dòng)點(diǎn)中分類討論思想的運(yùn)用，如下圖所示，

已知在該正方形ABCD中，其邊長為10厘米，P為動(dòng)點(diǎn)，從A點(diǎn)出發(fā)，其運(yùn)動(dòng)速度為2厘米每秒，沿正方形邊逆時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng).如圖所示回到A點(diǎn)停止，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至t秒時(shí)，求取P，D兩點(diǎn)之間的距離.對于該題根據(jù)已知條件可知，P點(diǎn)是從A點(diǎn)出發(fā)分別到達(dá)B、C、D，那么到達(dá)A點(diǎn)左右時(shí)間為10/2秒，20/2秒，30/2秒，40/2秒，也就是5秒、10秒、15秒、20秒，因此可將其分為以下幾種情況：第一，t介于0～5之間，此時(shí)P位于線段AB中.那么PD=P1D= （2t）2+102=2 t2+25厘米.

第2，如果t介于5～10之間，那么P點(diǎn)位于線段BC上，此時(shí)PD=P2D.由此可回顧之前所學(xué)橢圓相關(guān)概念界定，視橢圓半長軸a可變，也就是說a為參數(shù)，這種情況下可令2c= （8-2）2+（3+5）2=10，在該橢圓中2a>20C，因此結(jié)論是成立的.意味著結(jié)論，可加強(qiáng)，將89/9替換成10，此時(shí)不等式仍然成立.

參考文獻(xiàn)：

[1]李國巍. 分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用方法分析[J]. 2021（2020-14）：13-14.

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