第5屆世界數(shù)學(xué)團(tuán)體錦標(biāo)賽少年組試題

（2014.11北京）

團(tuán)體賽

1.已知A+B+C=1，B+C+D=2，C+D+E=3，D+E+F=4，E+F+G=5，F(xiàn)+G+H=6，G+H+I=7，求A+E+I.

2.如圖1，某飛鏢游戲設(shè)置了從0號(hào)到30號(hào)共31種獎(jiǎng)品，游戲規(guī)則是：靶盤上的數(shù)字為每次飛鏢落在該區(qū)域時(shí)對(duì)應(yīng)的得分，脫靶得0分.每位游戲者投鏢三次，得分的總和為對(duì)應(yīng)獎(jiǎng)品的號(hào)碼.問：有幾個(gè)號(hào)碼對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)品不會(huì)被得到？

3.已知ab≠1，且{5a2+1001a+1025=0，1025b2+1001b+5=0，

求ab的值.

4.如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，以BC邊為直徑作半圓O，點(diǎn)F在CD上，AF切半圓O于點(diǎn)E，求ED.

5.已知x2x2+9x+2=13，求x22x4+x2+2的值.

6.已知2014年11月11日是星期二.下面是2014年的六個(gè)日期：

（1）2月2日，（2）4月4日，

（3）6月6日，（4）8月8日，

（5）10月10日，（6）12月12日.

請(qǐng)寫出其中不是星期五的序號(hào).

7.已知關(guān)于x的不等式組x+13-t>2xx2-8x-9<0恰有3個(gè)整數(shù)解，求整數(shù)t的最小值.

8.如圖3，圓O′與半徑為20的圓O切于點(diǎn)P，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B在圓O上，與圓O′切于點(diǎn)M，且AB⊥PM.若AB=24，求圓O′的半徑.

9.圖書館內(nèi)，在標(biāo)有號(hào)碼1，2，3，4的書架上分別有書120，135，142，167本.若干天后，每個(gè)書架上都各被借出a本書，又過了若干天，四個(gè)書架又分別被借出0，b，c，d本書，并且四個(gè)書架上余下同樣本數(shù)的書.若b，c，d≥1，b+c+d=a，問：兩次借出書后，1號(hào)書架剩有幾本書？

10.r和s是方程x2+bx+c=0的兩個(gè)根，r和t是方程x2+cx+b=0的兩個(gè)根.b和c是不相等的實(shí)數(shù)，求s+t.

11.如圖4，在長(zhǎng)方形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，AE∶ED=3∶5，AC⊥BE于點(diǎn)F，CD=9.求BC∶BA.

12.從1到2014的自然數(shù)中取出n個(gè)，若其中任意2個(gè)數(shù)的差都不等于3，求n的最大值.

13.如圖5，長(zhǎng)方形ABCD的頂點(diǎn)A在直線y=x上，點(diǎn)B在曲線y=1x上，點(diǎn)C，D在x軸上.若AB=2BC，求長(zhǎng)方形ABCD的面積.

14.如圖6，已知圓O的半徑是r，圓O′的半徑是11，圓O′在圓O內(nèi)，點(diǎn)O在圓O′內(nèi)，圓O的弦AB切圓O′，若40≤AB≤48，求OO′.

15.已知a，b，c都是正整數(shù)，且5a+4b+3c能被13整除，求3a+5b+7c+2014除以13得到的余數(shù).

16.如圖7，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，OM⊥DE于點(diǎn)M，N為OM的中點(diǎn).若S△FAN=10，求正六邊形ABCDEF的面積.

17.如圖8，已知正方形ABCD，點(diǎn)E在CD上，延長(zhǎng)BC，AE交于點(diǎn)F，若S正方形ABCD=S△CFE，求CEED.

18.棱長(zhǎng)分別是整數(shù)a，b的兩個(gè)正方體體積的和與棱長(zhǎng)的和的比是27，求a+b.

19.拋物線C：y=12x2+bx-1與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，這三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，將C向下平移5個(gè)單位，三角形的面積變?yōu)樵瓉淼?4倍，求b.

20.江邊的旅游碼頭，原計(jì)劃每8分鐘發(fā)出1條船，每條船在江上航行80分鐘，回到碼頭時(shí)，恰好可以遇到按時(shí)發(fā)出的另一條船.按此計(jì)劃，該碼頭現(xiàn)有的a條船恰好夠用.此時(shí)，若又有2條新船投入使用，那么，發(fā)船的時(shí)間間隔可比原計(jì)劃減少幾分鐘？

接力賽

1A.如圖9所示，已知圓O的半徑圖9是3，圓P的半徑是7，OP=26，直線AB與兩圓分別切于點(diǎn)A，B，求AB.

1B.設(shè)前面隊(duì)友傳來的答案是T.

如果九位數(shù)123456abc被37除，得余數(shù)是T，求最小的三位數(shù)abc.

2A.三個(gè)不同質(zhì)數(shù)的和的平方是三位數(shù)aa5，求這三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積.

2B.設(shè)前面隊(duì)友傳來的答案是T.

0

如圖10，OAB是半徑為T的四分之一個(gè)圓，點(diǎn)P在弧AB上，若PA<T，且PB<T，求點(diǎn)P所在圓弧的長(zhǎng)度.（圓周率π取3）

3A.求方程x4-5x3+5x2+5x-6=0的所有根的和.

3B.設(shè)前面隊(duì)友傳來的答案是T.圖11

如圖11，已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，四邊形ABDE和四邊形BCFG是相同的矩形.若AB=5，AC>BC，S△BDG=T，求S△BDC.

個(gè)人賽

1.若a是整數(shù)，并且a<2014<a+1，求1+2+3+…+a.

2.已知{x-14xy+y=13，y+16xy+x=17，

求x+y.

2

3.如圖12，ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，ED=1，點(diǎn)M在DC邊上運(yùn)動(dòng).當(dāng)△BME的周長(zhǎng)最短時(shí)，求MC.

4.若當(dāng)4≤x≤6時(shí)，y=ax2-ax-8-2a>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

5.已知ba-ab=a0b-ba，求兩位數(shù)ab.

3

6.如圖13，6個(gè)人圍成一圈做傳球游戲，每個(gè)人接到球后傳給和他不相鄰的某一人（如：和A相鄰的是B和F），開始時(shí)，球在A的手中，若球被傳遞三次后又回到A，求此種情況出現(xiàn)的概率.

7.如圖14，已知正方形ABCD，點(diǎn)P在CD上，AP=4.BB′、CC′、DD′分別是點(diǎn)B、C、D到AP的距離，若BB′+CC′+DD′=6，求正方形ABCD的面積.

4圖15

8.如圖15所示，求四邊形ABCD的面積.

6

9.如圖16，一只甲蟲從字母W開始，沿圖中路線爬行，到達(dá)第四個(gè)字母時(shí)停止，則經(jīng)過的四個(gè)字母正好是WMTC的路線有多少條？

10.已知x+y=2，x2+y2=4，求x2014+y2014的值.

7

11.如圖17，在△ABC中，點(diǎn)E在CB上，∠B=∠C=∠AEM，BE=1，CE=2，AC=4，求AM.

12.從1到154的自然數(shù)中，求：與154互質(zhì)的所有自然數(shù)的和.

13.如圖18，面積為2的Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C都在拋物線y=x2上，并且斜邊AB平行于x軸.求點(diǎn)C的縱坐標(biāo).

8

9

14.如圖19，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=18，AD=12.圓M和邊AB，BC，CD相切，圓N和邊AD，DC相切，并且和圓M外切.求圓N的半徑的長(zhǎng).

15.將1到50的所有自然數(shù)依次寫出，組成自然數(shù)

M=123456789101112…47484950.

如果M的質(zhì)因數(shù)分解式中3的最高次冪記為3k，求k的值.

0

16.如圖20，△ABC中，AB=10，BC=16，∠A=2∠C，求AC.

參考答案

團(tuán)體賽

1.答案：4.

解將各方程編號(hào)如下

A+B+C=1，B+C+D=2，C+D+E=3，D+E+F=4，E+F+G=5，F(xiàn)+G+H=6，G+H+I=7，①②③④⑤⑥⑦

①+④+⑦，得

A+B+C+D+E+F+G+H+I

=1+4+7=12，⑧

由⑧-②-⑥，得

A+E+I=12-2-6=4.

2.答案：6.

解投鏢一次，可能的得分有：0，2，5，8，10.

則投鏢三次，得分的和可能是

0，2，4，5，6，7，8，9，10，12，13，14，15，16，

17，18，20，21，22，23，24，25，26，28，30.

不可能是1，3，11，19，27，29，

所以有6個(gè)號(hào)碼對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)品不會(huì)被得到.

3.答案：205.

解在方程1025b2+1001b+5=0的兩邊同除以b2，得

5（1b）2+1001·1b+1025=0，

對(duì)比5a2+1001a+1025=0，

可知a，1b是方程5x2+1001x+1025=0的兩個(gè)根，

所以ab=a·1b=10255=205.

4.答案：2105.

解如圖21，連接OA，OE，OF，從點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，則OF，OA分別是∠COE和∠BOE的角平分線，

于是∠FOA=90°，圖21

OE=OC=1，

BA=EA=2.

又OE⊥AF，

所以△OEF∽△AEO，

則EFEO=EOEA，

即EF1=12，

所以EF=12，

因?yàn)镋G∥CD，

所以AGAD=AEAF=EGFD，

又CF=EF=12，

所以FD=CD-CF=2-12=32，

由勾股定理，得

AF=AD2+FD2=22+（32）2=52，

故AGAD=AEAF=EGFD=45，

可得GD=AD-AG=25，

EG=45FD=45×32=65.

在Rt△EDG中，由勾股定理，得

ED=GD2+EG2

=（25）2+（65）2

=2105.

5.答案：115.

解由題設(shè)知x≠0，故原方程可寫成

2x2+9x+2x=3，

即x+1x=-3，①

因?yàn)閤22x4+x2+2的倒數(shù)是

2x4+x2+2x2=2x2+2x2+1

=2（x2+1x2）+1

=2[（x+1x）2-2]+1，②

將①式代入②，有

2×[（-3）2-2]+1=15.

所以x22x4+x2+2=115.

6.答案：（1）.

7.答案：-4.

解由x+13-t>2x，x2-8x-9<0，①

得x<1-3t5，-1<x<9.②

由題設(shè)知，關(guān)于x的不等式組①恰有3個(gè)整數(shù)解，

因?yàn)?1與9之間有9個(gè)整數(shù)，所以不等式組②的解是

-1<x<1-3t5，

且-1<x<1-3t5，

僅包括三個(gè)整數(shù)0，1，2，

由此可得2<1-3t5≤3，

解得-143≤t<-3，

所以滿足題意的整數(shù)t的最小值是-4.

8.答案：6.

2

解連接OA.如圖22.

因?yàn)閳AO，圓O′內(nèi)切，

所以P、M、O共線，

設(shè)過P、M、O的直線交AB于N.

因?yàn)镃D與小圓切于點(diǎn)M，

所以MN⊥CD，MN⊥AB，

由垂徑定理，知AN=12AB=12，

在Rt△OAN中，

OA2=ON2+AN2，

即202=ON2+122，

解得ON=16.

所以MO=MN-ON

=CB-ON

=24-16

=8.

從而PM=OP-MO=20-8=12.

所以圓O′的半徑為

12÷2=6.

9.答案：36.

解依題意，有

b+c+d=a，120-a=135-（a+b），120-a=142-（a+c），120-a=167-（a+d），①②③④

由②+③+④，并將①代入，得

360-3a=444-4a.

于是a=84.

1號(hào)書架剩書120-a=36（本）.

10.答案：-1.

解由于r是兩個(gè)方程的共同根，則有

{r2+br+c=0，r2+cr+b=0，

將兩式相減，得

r（b-c）= b-c.

因?yàn)閎≠c，

所以r=1.

又由根與系數(shù)的關(guān)系，得

s=c，t=b，

將r=1代入到任意一個(gè)方程中，得1+b+c=0，

所以s+t=b+c=-1.

11.答案：236.

解由題設(shè)，知

∠ACB=∠CAD，

∠ACB=∠ABE，

所以Rt△ABC∽R(shí)t△EAB.

于是BCBA=BAAE，BA2=BC·AE，

BC·38BC=BA2，

BC2=83BA2=83CD2=216.

BC=216，

則BCBA=216×19=236.

12.答案：1008.

解以6個(gè)連續(xù)整數(shù)為一組，每組只取較小的3個(gè)整數(shù)（它們的差最大是2），這樣就可以確保所取出的整數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的差都不等于3.

又2014÷6=335……4，

也就是說，若連續(xù)6個(gè)整數(shù)為一組，則2014個(gè)數(shù)可分為335組，還余4個(gè)數(shù)（這4個(gè)數(shù)看作第336組），

即（1，2，3，4，5，6），（7，8，9，10，11，12），…，

（2005，2006，2007，2008，2009，2010），

（2011，2012，2013，2014），

觀察上面的分組可知，當(dāng)每組只取較小的3個(gè)整數(shù)時(shí)，n的值最大，這個(gè)最大值為

336×3=1008.

13.答案：23.

解設(shè)點(diǎn)A（a，a），B（b，1b），則

由矩形ABCD及AB=2BC，點(diǎn)C，D在x軸上，得

b-a=2·1b，a=1b，①②

②代入①得b-1b=2b，

b2=3，b=3，

于是S長(zhǎng)方形ABCD=AB·BC=（b-a）·1b

=（3-13）×13=23.

3

14.答案：4.

解最短的弦AB和最長(zhǎng)的弦A′B′，如圖23，C和C′是切點(diǎn)，

則r2-BC2+r2-B′C′2

=CC′，

即r2-242+r2-202=22，

解得r=25.

所以O(shè)O′=OC-O′C

=252-202-11

=4.

15.答案：12.

解因?yàn)?a+4b+3c能被13整除，所以可設(shè)

5a+4b+3c=13k（k是正整數(shù)），①

于是可得a=13k-4b-3c5，

由①，得

3a+5b+7c=3×13k-4b-3c5+5b+7c

=39k-12b-9c5+5b+7c

=39k+13b+26c5

=13×（3k+b+2c）5，

即5（3a+5b+7c）=13（3k+b+2c），②

因?yàn)閍，b，c，k是正整數(shù)，

所以3a+5b+7c和3k+b+2c都是正整數(shù)，

又因?yàn)?和13互質(zhì)，

所以由②知3a+5b+7c可被13整除，

從而可設(shè)

3a+5b+7c=13m（m是正整數(shù)），③

所以 （3a+5b+7c）+2014

=13m+13×154+12

=13（m+154）+12，

由③知m+154是整數(shù)，

所以13（m+154）+12被13除，得到的余數(shù)是12，

即3a+5b+7c+2014除以13得到的余數(shù)是12.

16.答案：48.

4

解分別從點(diǎn)O，N，M作FA的垂線，分別交FA及延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，Q，R，延長(zhǎng)FA與MO，交于點(diǎn)G，AB與GM交于點(diǎn)L，如圖24.

設(shè)AF=2x，則

AP=x，OP=3x.

在Rt△AGL中，因?yàn)?/p>

∠GAL=60°，

所以∠AGL=30°，

又AL=x，

所以GL=3x.

而OL=OM=OP=3x，

所以GM=33x.

在Rt△RGM中，因?yàn)椤蟁GM=30°，

所以RM=332x.

在梯形POMR中，N是OM的中點(diǎn)，

所以QN是梯形POMR的中位線，

即QN=12（PO+RM），

所以QN=534x.

因?yàn)椤鰽OF和△AFN有相同的底，

所以S△AOF∶S△AFN=OP∶QN

=3x∶534x=4∶5.

又S△AFN=10，

所以S△AOF=8，

故正六邊形ABCDEF的面積=6S△AOF=48.

17.答案：3+1.

解設(shè)CEED=k，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是a，有

CE=k·ED=k（a-CE），

于是CE=ka1+k，①

又CFAD=CEED=k，

得CF=kAD=ka，②

于是S△CFE=12CF·CE=12ka·ka1+k

=k2a22（1+k），③

注意到S正方形ABCD=a2，④

及S正方形ABCD=S△CFE，⑤

所以1=k22（1+k），

即k2-2k-2=0，

解得k=±3+1，

因?yàn)閗>0，

所以，只取k=3+1.

18.答案：9.

解依題意，得

a3+b3a+b=27，

即a2-ab+（b2-27）=0.

此方程應(yīng)當(dāng)有正整數(shù)解，故

Δa=（-b）2-4（b2-27）=108-3b2

是完全平方數(shù).

因?yàn)?≤Δa≤108，

所以108-3b2的值可能是1，4，9，16，25，36，49，64，81，100.

注意到b是正整數(shù)，驗(yàn)算后，可知僅有81合題意.

由108-3b2=81，

得b=3，

于是a=b±92=3±92，

只取a=3+92=6.

所以a+b=9.

19.答案：12或-12.

解設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為

（x1，0），（x2，0），x1<x2.

由根與系數(shù)的關(guān)系，得

x1+x2=-2b，

x1x2=-2，

于是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離是

x2-x1=（x1+x2）2-4x1x2

=2b2+2，

拋物線C與y軸的交點(diǎn)是（0，-1），于是三角形的面積是b2+2.

將C向下平移5個(gè)單位，得到的新拋物線是

y=12x2+bx-6.

同理可求得拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2b2+12，與y軸的交點(diǎn)是（0，-6），

三角形的面積為6b2+12.

于是6b2+12=14b2+2，

解得b2=14，

所以b=12或b=-12.

20.答案：113.

解設(shè)M是每條船從出發(fā)到再出發(fā)所用的時(shí)間（航行時(shí)間+停留在碼頭的時(shí)間），N是船的條數(shù)，P是兩條船發(fā)出的時(shí)間間隔，則有

MN=P.①

依題意，按原計(jì)劃，則由①式，有80+8N≤8，得N≥11，

所以a=N小=11.②

設(shè)2條新船投入使用后，發(fā)船時(shí)間間隔變?yōu)閤分鐘，則由①，②，得

80+x11+2=x，

得x=623（分鐘），

于是8-623=113（分鐘）.

答：增加2條船后，發(fā)船時(shí)間間隔縮短113分鐘.

接力賽

1A.答案：24.

5

解連接OA，PB，又從點(diǎn)P作PC∥AB交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C.

由AB是兩圓的公切線及作圖25，可知 OA⊥AB，

PB⊥AB，

OC⊥PC，

則四邊形ACPB是矩形，

于是AC=PB=7，AB=PC，

OC=OA+AC=3+7=10.

在Rt△OPC中，

PC=OP2-OC2=262-102=24，

所以AB=24.

1B.答案：111.

解計(jì)算可知

123456000÷37=3336648……24，

因?yàn)閭鱽淼拇鸢窽恰好是24，所以可知三位數(shù)abc可以被37整除，

37×3=111，

所以最小的三位數(shù)abc是111.

2A.答案：105.

解由題設(shè)知 aa5=225=152，

所以這三個(gè)質(zhì)數(shù)的和是15，而下面的等式是唯一存在的，

15=3+5+7，3×5×7=105，

所以這三個(gè)數(shù)的乘積是105.

2B.答案：52.5（或5212或1052）.

6

解如圖26，設(shè)AP1=T，BP2=T，則

當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P1和P2之間時(shí)，有PA<T，

且PB<T成立.（*）

連接OP1，OP2，則有

OA=OP1=AP1=T，

OB=OP2=BP2=T，

所以△OAP1和△OBP2都是等邊三角形，則

∠AOP1=∠BOP2=60°，

所以∠P1OP2=60°+60°-90°=30°，

由（*），知點(diǎn)P所在圓弧的長(zhǎng)度是

30360×2πT=π6T=12T.

前面同學(xué)傳來的答案是T=105，

所以12T=52.5（或5212或1052）.

3A.答案：5.

解將方程中等號(hào)的左邊分解因式，得

x4-5x3+5x2+5x-6

=（x4-1）-5x2（x-1）+5（x-1）

=（x2+1）（x2-1）-5（x-1）（x2-1）

=（x+1）（x-1）（x2+1-5x+5）

=（x+1）（x-1）（x-2）（x-3），

原方程即

（x+1）（x-1）（x-2）（x-3）=0，

得x1=-1，x2=1，

x3=2，x4=3，

-1+1+2+3=5，

故方程的所有根的和是5.

3B.答案：52.

7

解設(shè)BC=a，CA=b，從點(diǎn)D作直線GB，CB的垂線，垂足分別為M，N，如圖27.

易證明

∠DBM=∠ABC，

∠DBN=∠BAC，

BD=BC=a，

GB=BA=5，

所以DM=BDsin∠DBM=BDsin∠ABC

=a×b5=ab5，

DN=BDsin∠DBN=BDsin∠BAC

=a×a5=a25，

S△BDG=12BG·DM=ab2=T，①

由勾股定理，有a2+b2=25，②

S△BDC=12BC·DN=a310.③

前面同學(xué)傳來的答案是T=5，

聯(lián)立①和②，得a2+b2=25，ab2=5，

解得{a=5，b=25，

把a(bǔ)的值代入③，得

S△BDC=a310=52.

個(gè)人賽

1.答案：990.

解因?yàn)?4=1936<2014<2025

=45，

對(duì)比a<2014<a+1，a是整數(shù)，

可知a=44.

于是1+2+3+…+a

=a（a+1）2=44×452=990.

2.答案：5.

解將題設(shè)兩個(gè)等式的兩邊分別相加，得

x+2xy+y+x+y=30，

即（x+y）2+（x+y）-30=0，

解得x+y=5或x+y=-6.

顯然x+y≥0，

所以只取x+y=5.

3.答案：165（或3.2或315）.

解由點(diǎn)B、E是定點(diǎn)，知道BE是定長(zhǎng)，所以，要使△BME的周長(zhǎng)最短，只須使MB+ME最短，以下求點(diǎn)M.

設(shè)E′是點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)，BE′交CD于點(diǎn)M′，連接EM′，E′M，如圖28.

由三角形兩邊之和大于第三邊，得

EM+BM=E′M+BM≥BE′，

可知當(dāng)點(diǎn)M在M′處時(shí)，△BME的周長(zhǎng)最短.

8

此時(shí)DE′∥BC，

所以DM′CM′=DE′BC，

即4-CM′CM′=14，

解得CM′=165，

故當(dāng)△BME的周長(zhǎng)最短時(shí)，

CM=CM′=165（或3.2或315）.

4.答案：a>45.

解易知y=ax2-ax-8-2a

=a（x2-x-2）-8，

其中x2-x-2=（x+1）（x-2），

易知當(dāng)x>2時(shí)，函數(shù)y=x2-x-2是增函數(shù)，且當(dāng)x=2時(shí)，x2-x-2=0，

所以當(dāng)4≤x≤6時(shí)，

x2-x-2>0，

所以a（x2-x-2）-8>0可變形為a>8x2-x-2，

要使此式恒成立，需要a大于8x2-x-2的最大值.

而當(dāng)4≤x≤6時(shí)，y=x2-x-2是增函數(shù)，

y=8x2-x-2是減函數(shù)，

可知8x2-x-2的最大值在x=4時(shí)取得，這個(gè)值是842-4-2=45，

所以a>45.

5.答案：16.

解題設(shè)的等式，即

（10b+a）-（10a+b）

=（100a+b）-（10b+a），

即b=6a.

因?yàn)閍，b是1到9的數(shù)字，

所以只能是a=1，b=6.

則ab=16.

6.答案：227.

解作如下的樹狀圖，

由樹狀圖，可知三次傳球，有27種方式，球回到A手中的情況僅有2種，所以傳遞三次后，球回到A手中的概率是227.

9

7.答案：12.

解連接AC，BP.

由圖29知

S△BCP=S△ACP

=12AP·CC′，

S正方形ABCD

=S△APD+S△ABP+S△BCP

=12AP（DD′+ BB′+CC′）

=12×4×6

=12.

8.答案：33+72.

0

解如圖30，延長(zhǎng)DC，交AB于點(diǎn)E.

從點(diǎn)E分別作EF⊥AD于點(diǎn)F，EG⊥BC于點(diǎn)G.

因?yàn)椤螦=45°，

∠B=30°，∠D=60°，

所以∠BEG=60°，

∠DEF=30°，∠AEF=45°，

于是∠CEG=180°-∠AEF-∠DEF

-∠BEG=45°，

∠GCE=90°-∠CEG=45°.

故可設(shè)EG=GC=x，則

BG=3x，CE=2x，

所以BC=BG+GC=（1+3）x=3+1，

解得x=1.

所以CE=2x=2，

于是ED=EC+CD=22，

DF=ED2=2，AF=EF=3DF=6.

可得四邊形ABCD的面積

=S△BCE+S△AED=12BC·EG+12AD·EF

=12（1+3）×1+12（2+6）×6

=33+72.

9.答案：15.

1

解把圖中的字母標(biāo)記序號(hào)，如圖31.

則通過M1的路徑有

W→M1→T1→C1，

W→M1→T1→C2，

W→M1→T2→C2，

W→M1→T2→C3，

共4條;

類似的，經(jīng)過M2的路徑有7條;

經(jīng)過M3的路徑有4條.

故經(jīng)過的四個(gè)字母正好是WMTC的路徑有

4+7+4=15（條）.

10.答案：22014.

解由x+y=2，得

（x+y）2=x2+y2+2xy=4，

因?yàn)閤2+y2=4，所以xy=0，

故x=0，或y=0.

當(dāng)x=0時(shí)，由x+y=2，得y=2，

此時(shí)x2014+y2014=22014;

當(dāng)y=0時(shí)，由x+y=2，得x=2，

此時(shí)x2014+y2014=22014，

綜上知，x2014+y2014的值是22014.

11.答案：AM=72（或3.5）.

解因?yàn)椤螩+∠CAE

=∠AEB=∠AEM+∠MEB，

∠B=∠C=∠AEM，

所以∠CAE=∠BEM，

于是△AEC∽△EMB，

可得CEBM=ACBE，

所以BM=12，

故AM=72（或3.5）.

12.答案：4620.

解因?yàn)?54=2×7×11，

所以在1到154的自然數(shù)中，與154互質(zhì)的是除7和11的倍數(shù)之外的一切奇數(shù).

從1到154的連續(xù)奇數(shù)有77個(gè)，它們的和是

1+3+5+…+149+151+153

=（1+153）×77÷2

=5929.

以上的奇數(shù)中，7的倍數(shù)有11個(gè)，它們的和是

7×（1+3+5+…+19+21）

=7×（1+21）×11÷2

=847.

11的倍數(shù)有7個(gè)，它們的和是

11×（1+3+5+…+11+13）

=11×（1+13）×7÷2

=539.

既是7的倍數(shù)，又是11的倍數(shù)僅有一個(gè)，

即7×11=77.

所以符合條件的各個(gè)數(shù)的和是

5929-847-539+77=4620.

13.答案：3.

解設(shè)點(diǎn)A（a，a2），點(diǎn)C（c，c2），這里

a<0，

0<c<-a，

則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-a，a2），

于是AC2=（c-a）2+（c2-a2）2，①

BC2=（c+a）2+（c2-a2）2，②

AB2=4a2，③

由勾股定理，得

AC2+BC2=AB2，

將①②③代入并整理，得

（a2-c2）2=a2-c2.

由于a2>c2，

所以a2-c2=1，

故斜邊AB上高h(yuǎn)=a2-c2=1.

又Rt△ABC的面積為2，

所以12AB·h=2，

即12·|2a|·（a2-c2）=|a|=2，

所以c2=a2-1=3，

即點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是3.

14.答案：24-123.

解易知圓M的半徑R=6.

設(shè)圓N的半徑為r，則由題設(shè)條件，得

（r+R）2=（R-r）2+（DC-R-r）2，

即（6+r）2=（6-r）2+（18-6-r）2，

r2-48r+144=0，

則Δr=（-48）2-4×144

=16×122-4×122

=12×122

=3×242.

得r=48±2432=24±123，

因?yàn)閞<R，

只取r=24-123.

15.答案：1.

解根據(jù)能被3整除的數(shù)的特點(diǎn)，知

若M=123456789101112…47484950是3的倍數(shù)，則M的數(shù)字和也是3的倍數(shù)，

因?yàn)镸的數(shù)字的和是5×（1+2+3+…+9）+（1+2+3+4）×10+5=330，

又330=2×3×5×11，

所以M是3的倍數(shù).

同理，若M是9的倍數(shù)，則M的數(shù)字和也是9的倍數(shù)，已證M的數(shù)字的和是

2×3×5×11，

所以M不是9的倍數(shù)，綜上知，k的值是1.

16.答案：1535.

2

解作AD平分∠BAC，交BC于D，如圖32.

由題設(shè)及作圖，可知

∠BDA=∠DAC+∠C

=2∠C

=∠BAC，

因?yàn)椤螦BD=∠ABC，

所以△ABD∽△CBA，

于是ABBC=BDAB=ADAC，（*）

得BD=AB2BC=10216=254.

所以CD=BC-BD=16-254=394，

由（*）式，得

AC=AB·ADBD=10×394254=1535.