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    坐標(biāo)系中的幾何問題

    2022-07-24 12:19:02徐開富
    數(shù)理天地(初中版) 2022年7期
    關(guān)鍵詞:數(shù)形結(jié)合

    徐開富

    【摘要】 平面直角坐標(biāo)系把前面所學(xué)的代數(shù)知識與幾何知識巧妙地聯(lián)系到了一起,這為我們利用代數(shù)方法解決幾何問題提供了有效的解決途徑.而且在近年許多中考數(shù)學(xué)壓軸題中,有一類綜合題:在平面直角坐標(biāo)系中,含有平面圖形,我們把這類綜合題簡稱為坐標(biāo)幾何題.這類試題是在平面直角坐標(biāo)系的背景下去研究幾何,重在考查同學(xué)們數(shù)形結(jié)合思想,要求學(xué)生具備用平面直角坐標(biāo)系和幾何知識綜合解決問題的能力.

    【關(guān)鍵詞】 坐標(biāo)幾何;數(shù)形結(jié)合;函數(shù)的方法

    坐標(biāo)幾何題已成為中考成熟題型,通常是與三角形、特殊四邊形結(jié)合,融豐富的幾何圖形于一題,用函數(shù)的方法來研究幾何問題.這類問題包含的知識點較多,代數(shù)變換(包括數(shù)式變換、方程變換、不等式變換)與幾何推理巧妙融合,交相輝映,數(shù)形結(jié)合思想和方法得到充分運用,大多數(shù)有一定的難度.

    例1 如圖1,OABC的頂點O(0,0),A(1,2),點C在x軸的正半軸上,延長BA交y軸于點D.將△ODA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△OD′A′,當(dāng)點D的對應(yīng)點D落在OA上時,D′A′的延長線恰好經(jīng)過點C,則點C的坐標(biāo)為()

    (A)(23,0). (B)(25,0).

    (C)(23+1,0)(D)(25+1,0).

    分析 連接A′C,由題意可證明△ADO∽△OD′C,利用相似三角形線段成比例即可求得OC的長,進而得點C的坐標(biāo).

    解 如圖,連接A′C,因為AD⊥y軸,△ODA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△OD′A′,

    所以∠CD′O=90°,OD′=OD,

    因為∠DOA+∠D′OC=∠D′CO+∠D′OC,

    所以∠DOA=∠D′CO,

    所以△ADO∽△OD′C,

    所以ADAO=OD′OC,

    因為A(1,2),,

    所以AD=1,OD=2,

    所以AO=12+22=5,

    OD′=OD=2,

    所以O(shè)C=25,

    故選(B).

    例2 如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中,點A的坐標(biāo)為(0,3),點B的坐標(biāo)為(4,0),連接AB,若將△ABO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A′BO′,則點A′的坐標(biāo)為.

    分析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求得O′A′和O′B的長度,進而可求得點A′的坐標(biāo).

    解 作A′C⊥x軸于點C,

    由旋轉(zhuǎn)可得∠O′=90°,O′B⊥x軸,

    所以四邊形O′BCA′為矩形,

    所以BC=A′O′=OA=3,

    A′C=O′B=OB=4,

    所以點A′坐標(biāo)為(7,4).

    例3 如圖3,△OAB的頂點坐標(biāo)分別為O(0,0),A(3,4),B(6,0),動點P,Q同時從點O出發(fā),分別沿x軸正方向和y軸正方向運動,速度分別為每秒3個單位和每秒2個單位,點P到達點B時點P,Q同時停止運動.過點Q作MN∥OB分別交AO,AB于點M,N,連接PM,PN.設(shè)運動時間為t(秒).

    (1)求點M的坐標(biāo)(用含t的式子表示);

    (2)求四邊形MNBP面積的最大值或最小值;

    (3)是否存在這樣的直線l,總能平分四邊形MNBP的面積?如果存在,請求出直線l的解析式;如果不存在,請說明理由;

    (4)連接AP,當(dāng)∠OAP=∠BPN時,求點N到OA的距離.

    分析 (1)作適當(dāng)?shù)妮o助線,過M點作MG⊥x軸于點G.過A點作AD⊥x軸于點D,利用三角形相似的判定定理證明兩個三角形相似,根據(jù)對應(yīng)邊成比例,從而可得答案;

    (2)根據(jù)坐標(biāo)先求解OM,OA,OP,OB長度,證明△MOP∽△AOB,利用相似三角形的性質(zhì)證明MP∥AB,再證明四邊形MNBP為平行四邊形,再列面積函數(shù)關(guān)系式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最大值即可;

    (3)先判斷存在,通過觀察圖形知,當(dāng)直線l過MNBP的對角線交點時,總能平分其面積;再利用平行四邊形的性質(zhì)求解對角線的中點坐標(biāo),從而可得答案;

    (4)當(dāng)0<t<2時,證明△AOP∽△PBN,利用三角形相似,對應(yīng)邊成比例,求解時間t,再利用等面積法求解點N到直線OA的距離即可.當(dāng)t=0,t=2時,MN與OB是重合的,不合題意,舍去.

    解 (1)如圖4,過點M作MG⊥x軸于點G.過點A作AD⊥x軸于點D.

    則∠MGO=90°,

    MG∥AD,

    因為∠QOP=90°,

    MN∥OB,

    所以∠OQM=180°-∠QOB=90°,

    四邊形QOGM為矩形,

    則MG=OQ=2t,

    因為O(0,0),A(3,4),B(6,0),

    AD⊥OB,

    所以D(3,0),

    OD=3,AD=4.

    易證△MOG∽△AOD,

    所以O(shè)GOD=MGAD,

    即OG3=2t4,

    所以O(shè)G=32t,

    所以M32t,2t.

    (2)因為OQ=2t,

    QM=32t=OG,A(3,4),

    所以O(shè)M=OQ2+QM2=52t,

    OA=32+42=5,

    因為OP=3t,B(6,0),

    所以O(shè)B=6,

    所以O(shè)MOA=52t5=12t=3t6=OPOB,

    因為∠MOP=∠AOB,

    所以△MOP∽△AOB,

    所以∠MPO=∠ABO,

    所以MP∥AB,

    因為MN∥OB,

    所以四邊形MNBP為平行四邊形,

    因為SMNBP=BP·OQ=(6-3t)×2t

    =-6(t-1)2+6,

    因為0<t<2

    (當(dāng)t=0或t=2時,四邊形不存在),

    所以當(dāng)t=1時,S取最大值6,

    所以四邊形MNBP面積不存在最小值,存在最大值,最大值為6.

    (3)存在.理由如下:

    如圖4,連接BM,交PN于點H,

    由(2)得四邊形PBNM為平行四邊形,

    所以過H的任意直線都平分MNBP的面積,MH=BH,

    因為M32t,2t,B(6,0),

    由中點坐標(biāo)公式可得H34t+3,t,

    即l過點H,

    所以x=34t+3,y=t,

    所以x=34y+3,

    所以l:y=43x-4.

    (4)如圖5,當(dāng)0

    因為A(3,4),B(6,0),AO=5,

    所以AB=(3-6)2+(4-0)2=5,圖5

    所以AB=AO=5,

    所以∠AOB=∠ABO,

    因為∠OAP=∠BPN,

    所以△AOP∽△PBN,

    所以AOPB=OPBN,

    即56-3t=3tBN,

    因為MN∥OB,

    所以∠AMN=∠AOB,

    ∠ANM=∠ABO,

    所以∠AMN=∠ANM,

    所以AM=AN,

    所以O(shè)M=BN=52t,

    所以56-3t=3t52t,

    所以t1=1118,t2=0,

    經(jīng)檢驗t1=1118是原方程的根,t2=0是增根,舍去,

    此時MN=PB=6-3t=256,

    OQ=2t=119,

    過點N作NK⊥AO于點K,

    因為S△ABO=12×OB×AD

    =12=S△OBN+S△AON,

    所以12×6×119+12×5×NK=12,

    所以NK=103.

    當(dāng)t=0和t=2時,∠OAP=∠BPN=90°,

    即MN與OB是重合的,不符合MN∥OB的前提,

    所以t=0,t=2不合題意.

    綜上,N到OA的距離為103.

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