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    一元二次方程根的分布問題

    2022-07-24 12:19:02朱德云
    數(shù)理天地(初中版) 2022年7期
    關(guān)鍵詞:判別式草圖對(duì)稱軸

    朱德云

    一元二次方程根的分布問題,是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn),有些同學(xué)總感到難以下手.究其原因,主要是沒有掌握解決此類問題的方法.以下就從題目“若關(guān)于x的方程x2-2mx+m2-1=0的兩根都比1小,求m的取值范圍”來談?wù)勥@類題的幾種解法.

    1 求根法

    解法1 原方程可化為

    (x-m+1)(x-m-1)=0,

    解得x1=m-1,x2=m+1.

    因?yàn)樵匠痰膬筛急?小,

    所以m-1<1,m+1<1.

    解得m<0.

    2 根的代換法

    解法2 設(shè)y=x-1,則x=y+1.

    將其代入已知方程中,得

    (y+1)2-2m(y+1)+m2-1=0,

    化簡(jiǎn)為y2+2(1-m)y+m2-2m=0.

    因?yàn)樵匠痰膬筛急?小,

    所以關(guān)于y的方程有兩個(gè)負(fù)根.

    所以Δ=[2(1-m)]2-4(m2-2m)≥0,y1+y2=-2(1-m)<0,y1y2=m2-2m>0,

    解得m<0.

    3 圖象法

    解法3 設(shè)y=f(x)=x2-2mx+m2-1.根據(jù)題意可畫出如圖1所示的二次函數(shù)圖象的草圖.

    根據(jù)函數(shù)的圖象,有

    Δ=(-2m)2-4(m2-1)≥0,--2m2×1<1,f(1)=1-2m+m2-1>0,

    解得m<0.

    在以上三種解法中,以圖象法最為常用.

    下面再看幾個(gè)圖象法解一元二次方程根的分布問題的例子.

    例1 若方程x2+(m-1)x+4-m=0的兩根都比2大,則m的取值范圍是().

    (A)m≤-6. (B)-6

    (C)m<-3.(D)m<-6或-6

    解 設(shè)y=f(x)=x2+(m-1)x+4-m.

    根據(jù)題意可畫出如圖2所示的二次函數(shù)圖象的草圖.

    根據(jù)函數(shù)的圖象,有

    Δ=(m-1)2-4(4-m)≥0,-m-12×1>2,f(2)=4+2(m-1)+4-m>0,

    解得-6

    故應(yīng)選(B).

    例2 已知b,c為整數(shù),方程5x2+bx+c=0的兩根都大于-1且小于0,求b和c的值.

    解 設(shè)y=f(x)=5x2+bx+c.

    根據(jù)題意可畫出如圖3所示的二次函數(shù)圖象的草圖.

    根據(jù)二次函數(shù)的圖象,有

    Δ=b2-20c≥0,-1<-b2×5<0,f(-1)=5-b+c>0,f(0)=c>0,

    即b2≥20c,0<b<10,b<5+c,c>0,①②③④

    因?yàn)閎,c 都是正整數(shù),

    所以由(1)得b≥25c,⑤

    由②,⑤得25c<10,

    所以c<5,

    所以正整數(shù)c只能取1,2.

    當(dāng)c=1時(shí),滿足條件①,②,③的正整數(shù)b=5.

    當(dāng)c=2時(shí),不存在滿足條件①,②,③的正整數(shù)b.

    故b=5,c=1.

    例3 設(shè)關(guān)于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,且x1<1

    (A)-27<a<25.(B)a>25.

    (C)a<-27.(D)-211<a<0.

    解 因?yàn)閍≠0,

    所以可將原方程化為x2+a+2ax+9=0.圖4

    設(shè)y=f(x)

    =x2+a+2ax+9.

    根據(jù)題意可畫出如圖4所示的二次函數(shù)圖象的草圖.

    根據(jù)函數(shù)的圖象,有

    f(1)=12+a+2a·1+9<0.

    解得-211

    故應(yīng)選(D).

    例4 方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0(k是常數(shù))有兩實(shí)根α,β,且0<α<1,1<β<2.那么,k的取值范圍是()

    (A)-2

    (B)3

    (C)-2

    (D)無解.

    解 設(shè)y=f(x)

    =7x2-(k+13)x+

    k2-k-2.

    根據(jù)題意可畫出如圖5所示的二次函數(shù)圖象的草圖.

    根據(jù)函數(shù)的圖象,有

    f(0)=k2-k-2>0,f(1)=7-(k+13)+k2-k-2<0,f(2)=28-2(k+13)+k2-k-2>0.

    解得-2

    故應(yīng)選(A).

    例5 方程x2+(2m-1)x+(m-6)=0,有一根不大于-1,另一根不小于1.求m的取值范圍.

    解 設(shè)y=f(x)=x2+(2m-1)x+(m-6).

    根據(jù)題意可畫出如圖6所示的二次函數(shù)圖象的草圖.

    根據(jù)二次函數(shù)的圖象,有

    f(-1)=1-(2m-1)+(m-6)≤0,f(1)=1+(2m-1)+(m-6)≤0.

    解得-4≤m≤2.

    利用二次函數(shù)圖象,解決一些二次方程的根的分布問題時(shí),一定要考慮根所在范圍的端點(diǎn)的函數(shù)值,有些題還要考慮判別式和對(duì)稱軸(如兩根在同一范圍內(nèi)的情形:引例、例1、例2),有些題則不要考慮判別式和對(duì)稱軸(如兩根分別在兩個(gè)給定的不同范圍的情形:例3、例4、例5).

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