輔助線的由來

張玉清

【摘要】 幾何競賽題中已知兩個角的相等關(guān)系，常隱含另外兩個角的相等關(guān)系，通過作輔助線，對角進行相等轉(zhuǎn)化，從而構(gòu)造特殊的三角形（如等腰直角三角形、等邊三角形等），再利用相似三角形的知識可輕松解題.

【關(guān)鍵詞】 輔助線;隱含條件;構(gòu)造

初中數(shù)學(xué)競賽題中的平面幾何題，大多都要作輔助線，下面舉兩例說明輔助線的由來，幫大家掌握其中作輔助線的方法.

例1 如圖1，已知D為銳角△ABC內(nèi)一點，若∠ADB=∠ACB+90°，且AC·BD=AD·BC，求AB·CDAC·BD的值.

解 由∠ADB=∠ACB+90°，

易知∠CAD+∠CBD=90°，

過點B作EB⊥BD，且BE=BD，則∠CAD=∠CBE，連接CE，DE，有DE=2BD，

因為AC·BD=AD·BC，

所以ADAC=BDBC=BEBC，

所以△CAD∽△CBE.

所以CDCE=ACBC，

∠ACD=∠BCE，

所以∠ACB=∠ACD+∠DCB

=∠DCB+∠BCE

=∠DCE，

所以△ACB∽△DCE，

所以ABDE=ACCD，

所以AB·CDAC·BD=AC·DEAC·BD=DEBD=2.

注 由∠CAD+∠DBC=90°，作等腰直角△BDE，將∠CAD轉(zhuǎn)移位置，等量代換充分利用條件得到兩組三角形相似達到目的.

例2 如圖2，在凸四邊形ABCD中，已知∠ABC+∠CDA=300°，AB·CD=BC·AD，證明：AB·CD=AC·BD.

解 條件AB·CD=BC·AD中的線段不是兩相似三角形的對應(yīng)邊，難到達結(jié)論，是否可通過等量代換來達到目的呢？

由∠ABC+∠CDA=300°，

易知∠DAB+∠BCD=60°，

過點C作∠ECD=∠DAB，且CE=CB，

連接BE，DE，此時△BCE為等邊三角形，可進行等量代換，

因為ADAB=CDBC，

所以ADAB=CDCE，

所以△DAB∽△DCE，

所以ADCD=BDDE，

∠ADB=∠CDE，

所以∠ADC=∠CDB+∠ADB

=∠CDB+∠CDE

=∠BDE，

所以△BDE∽△ADC，

易知AB·CD=BC·AD=AC·BD.

注 挖掘隱含條件∠DAB+∠BCD=60°，由60°聯(lián)想到構(gòu)造等邊三角形，將線段、角等量代換后充分利用條件，得到兩組三角形相似證明其結(jié)論.

方法歸納：例1中兩角和為90°，可構(gòu)造等腰直角三角形;例2中兩角和為60°，可構(gòu)造等邊三角形.