探索兩個一次函數(shù)組合后的延伸問題思路

賀艷

【摘要】函數(shù)是數(shù)學(xué)發(fā)展史上經(jīng)久不衰、變化無窮的一個版塊，從初中數(shù)學(xué)到高中數(shù)學(xué)，函數(shù)一直占有舉足輕重的地位.我們知道，函數(shù)的研究是以基本初等函數(shù)為基礎(chǔ)的，在高中數(shù)學(xué)中，會較為系統(tǒng)地學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等，而在初中數(shù)學(xué)里，由于學(xué)生的認(rèn)知水平有限，一下子接受一個龐大的、系統(tǒng)性的知識版塊有難度，所以教材采用了“從個別到一般”的方式，即先學(xué)習(xí)幾個典型的函數(shù)模型，讓學(xué)生慢慢了解函數(shù)世界.

【關(guān)鍵詞】一次函數(shù);函數(shù)性質(zhì);解題思路

初中數(shù)學(xué)主要研究的函數(shù)模型有一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，其中，一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的入門模型，無論是函數(shù)的概念、作圖，還是對函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)知，都是從一次函數(shù)開始的.前文說了，函數(shù)是一個變化無窮的版塊，其研究的一個重要思路，就是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算得到無限可能的初等函數(shù).所以初中數(shù)學(xué)的很多考題都會以兩個一次函數(shù)為基礎(chǔ)，進(jìn)行四則運(yùn)算和復(fù)合的改變.

我們知道，對于函數(shù)f （x）與g（x），四則運(yùn)算指的是加、減、乘、除，即f （x）+g（x），f （x）-g（x），f （x）·g（x），f（x）g（x）.而復(fù)合運(yùn)算是高中時才學(xué)習(xí)的一種函數(shù)變化方式，指的是把f （x）看作一個整體，代入到g（x）的表達(dá)式中作為其“x”，即f [ g（x） ].假設(shè)兩個一次函數(shù)y1 = k1 x+b1 （k1，b1是常數(shù)，k1≠0），y2 = k2 x+b2 （k2，b2是常數(shù)，k2≠0），下面就上述的五種組合形式進(jìn)行常見問題的分析.

1 兩個一次函數(shù)相加：y = y1+y2 = （k1+k2） x+（b1+b2）

我們發(fā)現(xiàn)，兩個一次函數(shù)相加后，依然是一次函數(shù)，判斷方法就是整理后的表達(dá)式是否滿足一次函數(shù)的定義——形如y = k x+b （k，b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，稱為一次函數(shù).

相加后的新一次函數(shù)的k = k1+k2，在判斷k>0還是k<0時，需要對原來兩個一次函數(shù)k1和k2的正負(fù)情況做判斷，判斷方法就是根據(jù)題目條件，例如給出圖象，根據(jù)圖象經(jīng)過的象限（經(jīng)過一、三象限則k>0，經(jīng)過二、四象限則k<0）可以進(jìn)行確定.如果k1和k2同號，那么k的符號就隨之確定了;如果k1和k2是異號，k無法確定，就必須進(jìn)一步根據(jù)別的題目條件 （例如圖象的傾斜程度）進(jìn)行判斷.同理，相加后的一次函數(shù)的b = b1+b2，與y軸的交點(diǎn)就會由b1和b2的正負(fù)情況決定，即b1和b2同號時，b>0，圖象必交于y軸正半軸;b1和b2異號時，要根據(jù)兩者的絕對值大小進(jìn)行確定 （如根據(jù)y1和y2的圖象與y軸的交點(diǎn)位置判斷）.

2 兩個一次函數(shù)相減：y = y1-y2 = （k1-k2） x+（b1-b2）

兩個函數(shù)相減時，我們依然需要對其整理后的形式進(jìn)行判斷，即能否“形如”一次函數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)，這取決于k1-k2與b1-b2是否取0，故而分為四種情況：

（1）k1-k2 =0，b1-b2 =0，即k1 =k2，b1=b2時，這表示原本兩個一次函數(shù)就是同一個函數(shù).此時相減后表達(dá)式y(tǒng)=0，即相減后的函數(shù)圖象就是x軸.

（2）k1-k2=0，b1-b2 ≠0，即k1=k2，b1≠b2時，這表示原本兩個一次函數(shù)圖象相互平行.此時相減后表達(dá)式y(tǒng) = b1-b2，這是一個常值函數(shù)，圖象是一條垂直于y軸的直線，且與y軸交點(diǎn)為 （0， b1-b2）.

（3）k1-k2 ≠0，b1-b2 ≠0，即k1≠k2，b1≠b2時，這與兩個函數(shù)相加情況類似，兩個一次函數(shù)相減后，依然是一次函數(shù).但不同的是，這個一次函數(shù)的k = k1-k2，b = b1-b2，在k1與k2、b1與b2異號時可以很快確定k和b的正負(fù)，反而是同號時不好確定了，需要根據(jù)題目中的其他條件做進(jìn)一步判斷.

（4）k1-k2 ≠0，b1-b2 =0，即k1≠k2，b1=b2時，這表示原本兩個一次函數(shù)圖象彼此不平行，但是與y軸的交點(diǎn)相同，也相交于點(diǎn)（0，b）.此時相減后表達(dá)式y(tǒng) = （k1-k2） x，這表示相減后成為一個正比例函數(shù)，k = k1-k2，情形與（3）類似，只不過圖象必過原點(diǎn).

3 兩個一次函數(shù)相乘：y = y1·y2 = （k1 x+b1）· （k2 x+b2）

兩個一次函數(shù)相乘，發(fā)生了非常有趣的變化，它成為了初中數(shù)學(xué)中另一個非常重要的函數(shù)模型——二次函數(shù)！不難發(fā)現(xiàn)，y = （k1 x+b1）·（k2 x+b2）就是二次函數(shù)表達(dá)形式中的兩點(diǎn)式，展開后，我們就可以得到這個二次函數(shù)表達(dá)式的一般式：

y =k1k2x2+ （k1b2+k2b1）x+b1b2

類比于二次函數(shù)一般式的標(biāo)準(zhǔn)形式：Y=Ax2+Bx+C（A≠0），我們得到A =k1k2，b=k1b2+k2b1，c=b1b2.我們由二次函數(shù)的相關(guān)知識可以作出一系列判斷：

（1）由一般式中二次項(xiàng)系數(shù)k1 k2的正負(fù)確定函數(shù)圖象的開口方向;

（2）由一般式中的常數(shù)項(xiàng)可知，圖象必經(jīng)過點(diǎn) （0， b1b2），即與y軸的交點(diǎn)位置;

（3）由兩點(diǎn)式可知，求二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，即令k1 x+b1 =0和k2x+b2=0，也就是說，原來兩個一次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)位置，就是相乘后的二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)位置.這是非常奇妙的一個相通之處，也就是說，通過一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)位置，就可以迅速知道二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點(diǎn)在哪里，正負(fù)情況如何，那么根據(jù)兩個交點(diǎn)的對稱關(guān)系，就能夠判斷出對稱軸所在位置;也可以根據(jù)韋達(dá)定理，知道二次函數(shù)的a、b、c的正負(fù)關(guān)系.

此外，關(guān)于二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、最值等性質(zhì)，因涉及到k1、k2、b1、b2的表達(dá)式非常復(fù)雜，難以判斷，這里就不作詳述了.

因?yàn)槎魏瘮?shù)也是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考察內(nèi)容，所以這種奇妙而有趣的變化，常常作為考題出現(xiàn)，例如：

例1 已知一次函數(shù)y1 = k1 x+b1（k1，b1是常數(shù)，k1≠0），y2 = k2 x+b2（k2，b2是常數(shù)，k2≠0）的圖象如圖所示，則函數(shù)y = y1·y2的圖象可能是（）

解析 由一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限可知，k1<0，k2>0，所以k1 k2<0，二次函數(shù)圖象開口應(yīng)向下，排除A選項(xiàng);再由一次函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的位置可知，b1>b2>1，所以b1 b2>1，二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)應(yīng)在（0，1）的上方，排除D選項(xiàng);最后由兩個一次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)分別是（1， 0）和（-2， 0），確定二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)也是這兩個位置，從而鎖定正確答案C選項(xiàng).

4 兩個一次函數(shù)相除：y=y1y2=k1x+b1k2x+b2，y2≠0

我們發(fā)現(xiàn)，y1 = 0時，y = 0，所以相除后的函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)與y1圖象與x軸的交點(diǎn)是相同的.但由于分母不為0，即y2≠0，所以此時嚴(yán)格意義上來說y2已經(jīng)不是一個完整的一次函數(shù)（摳除了x軸上的那個點(diǎn)）.如果進(jìn)一步整理，可以得到y(tǒng)=k2b1-k1b2k2k2x+b2+k1k2，我們發(fā)現(xiàn)表達(dá)式中只有一個分母中出現(xiàn)x，其他都是常數(shù)，所以該函數(shù)是反比例函數(shù)基礎(chǔ)上的一種變化形式，這里涉及到平移變化和伸縮變化，不是初中數(shù)學(xué)討論的重點(diǎn)，這里就不作延伸了.

5 兩個一次函數(shù)復(fù)合：y = k2（k1x+b1）+b2=k1k2·x+ （b1k2+b2）

我們發(fā)現(xiàn)，兩個一次函數(shù)復(fù)合后，依然是一次函數(shù)，這個一次函數(shù)的k = k1k2，那么只要知道k1和k2的正負(fù)情況，無論同號異號，都可以確定k>0還是k<0.而復(fù)合后的函數(shù)b = b1k2+b2，就要根據(jù)幾個字母各自的正負(fù)情況、大小關(guān)系去綜合判斷了.

除了上述的五種常規(guī)組合外，還有一些人為定義的組合形式，即所謂的“新定義”題型，需要學(xué)生分析題目含義，靈活運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行解答.

例2 若兩個一次函數(shù)y= k1x+b1（k1≠0），y=k2x+b2（k2≠0），則稱函數(shù)

y=（k1+k2）x+b1b2為這兩個函數(shù)的組合函數(shù).

（1）一次函數(shù)y=3x+2與y=-4x+3的組合函數(shù)為;若一次函數(shù)y=ax-2，y=-x+b的組合函數(shù)為y=3x+2，則a =，b=;

（2）已知一次函數(shù)y=-x+b與y=kx-3的組合函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，求常數(shù)k、b滿足的條件;

（3）已知一次函數(shù)y=-2x+m與y=3mx-6，它們的組合函數(shù)一定經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)是.

解析 首先明確本題定義的組合函數(shù)形式，發(fā)現(xiàn)組合函數(shù)依然是一次函數(shù)，其k =k1+k2，b=b1b2，確定k和b后就可用一次函數(shù)的相關(guān)知識去解答.

（1）k=3+（-4）=-1，b=2×3=6，

所以組合函數(shù)為y=-x+6;同理，第二組函數(shù)的組合函數(shù)的k=a+（-1）=a-1，b=（-2）×b=-2b，

所以組合函數(shù)應(yīng)為y=（a-1） x-2b，根據(jù)題目給的組合函數(shù)y=3x+2，把常數(shù)值對應(yīng)起來，

就可得到a-1=3，-2b=2，

進(jìn)而求出a=4，b=-1;

（2）同上，可得組合函數(shù)為y=（k-1）x-3b，由于圖象經(jīng)過第一、二、四象限，由一次函數(shù)知識可得，k-1<0，-3b>0，解不等式得k<1，b<0.

這里還有一個小陷阱，就是k≠0，這是一次函數(shù)天生自帶的屬性，學(xué)生很容易遺忘，往往會撿了西瓜，但丟了芝麻.

所以正確答案應(yīng)是：k<1且k≠0，b<0;

（3）同樣先得到組合函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=（3m-2）x-6m，要求不論何值，一定經(jīng)過定點(diǎn).

定點(diǎn)問題一直是初中數(shù)學(xué)的一個難點(diǎn)，在這里關(guān)鍵的一句話是“不論何值”，要先搞清楚不論誰的值.這里是指不論m取何值，x和y都能取到固定的值（即過定點(diǎn)）.

如何讓m取任意值都不影響x和y呢？那就得把m從表達(dá)式中“滅掉”，即讓m的系數(shù)為0！這是求定點(diǎn)、定值問題常用的思路.

所以我們把含有m的項(xiàng)進(jìn)行合并同類項(xiàng)，整理得：

y=（3x-6）m-2x，再令3x-6=0，即x=2，

代入求得y=-4，即過定點(diǎn)（2， -4）.

通過上述分析，我們可以真切地感受到函數(shù)的變化無窮，靈活多樣，而每一種“變”的背后，又有其不變的規(guī)則、規(guī)律、結(jié)論，學(xué)習(xí)函數(shù)版塊就要有這種以不變應(yīng)萬變的思維，打開思路，抓住核心知識，才能輕松駕馭.