以一道經(jīng)典例題談初中數(shù)學(xué)渡河問(wèn)題

徐峰

【摘要】數(shù)學(xué)知識(shí)與生活聯(lián)系十分緊密，在現(xiàn)實(shí)生活中很多知識(shí)也運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)求解，尤其是初中數(shù)學(xué)，與生活更貼近，求解河流的寬度問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)中十分經(jīng)典的問(wèn)題，本篇文章接下來(lái)將通過(guò)一道例題幫助同學(xué)們掌握求解的不同方法，拓展同學(xué)們的思維，培養(yǎng)同學(xué)們的知識(shí)遷移能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);拓展思維;渡河問(wèn)題

例1 如圖1所示，一條河流兩端有A，B兩人欲渡河，試如何通過(guò)A，B兩人位置求河床的距離？

很明顯，當(dāng)河面的寬度較大時(shí)，不能直接測(cè)量，此時(shí)可以結(jié)合圖象利用三角形的知識(shí)求解.

1 利用全等三角形

用此方法解題的主要思路為：

①構(gòu)造三角形，以河面寬度作為三角形的一邊，并以該三角形的一頂點(diǎn)為起點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)新的三角形;

②證明兩三角形全等，結(jié)合題意，利用證明三角形全等的條件證明兩個(gè)三角形全等，繼而解得河面的寬度.

解法1 如圖2所示，在B點(diǎn)所在的河岸選兩點(diǎn)O、C，使得C、O、B為同一直線上的三點(diǎn)，且OC=OB，

在C點(diǎn)處作線段CM∥AB，然后在邊CM上找出一個(gè)點(diǎn)D，使得D、O、A三點(diǎn)在同一條直線上，

即滿足判定定理“角角邊”，

所以△ABO≌△DCO，

因此，只需要測(cè)量出CD的距離即可求得河面寬度AB的值.

2 利用相似三角形

用此方法解題的主要思路為：

①構(gòu)造相似三角形，根據(jù)題意，以河面寬度作為兩個(gè)相似三角形的一條邊，其中河面寬度恰好為一個(gè)三角形的一整條邊;

②求解河面寬度，利用相似三角形原理，根據(jù)相似三角形之間存在的比例關(guān)系求解河面寬度.

解法2 如圖3所示，在AB所在的直線上取一點(diǎn)D，要求DB的距離適宜，不能太長(zhǎng)或者太短，

以A為頂點(diǎn)，找C、E兩點(diǎn)，令A(yù)、C、E三個(gè)點(diǎn)在同一條直線上，且滿足BC∥DE，

所以△ABC∽△ADE，

所以ABAD=BCDE，

所以ABAB+BD=BCDE，

因此，只需要分別測(cè)量出BC、DE、BD的長(zhǎng)度，即可求解出河面的寬度.

3 利用三角函數(shù)

用此方法解題的主要思路為：

①構(gòu)造直角三角形，根據(jù)題意，以河面的一點(diǎn)構(gòu)成直角，以河面寬度作為三角形的直角邊構(gòu)造直角三角形;

②計(jì)算求解，通過(guò)測(cè)量另一直角邊的長(zhǎng)度和對(duì)應(yīng)的角的度數(shù)，利用該角的正切值等于對(duì)應(yīng)的直角邊長(zhǎng)度除以另一直角邊的長(zhǎng)度，計(jì)算求得河面寬度.

解法3 如圖4所示，假定線段AB為三角形的一條直角邊，以點(diǎn)B作為直角頂點(diǎn)，作Rt△ABC，

由圖象可知，測(cè)量出線段BC的長(zhǎng)度和∠ACB的度數(shù)，進(jìn)而確定∠ACB的正切值，

因?yàn)閠anC=ABBC

所以AB=BC·tanC，

因此，只需測(cè)量BC的長(zhǎng)度和∠ACB的度數(shù)即可求解河面的寬度.

4 利用函數(shù)圖象

用此方法解題的主要思路為：

①建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)題設(shè)條件建立直角坐標(biāo)系，并將涉及到的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)相連，得到其橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)值;

②確定點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合題意表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo);

③求解河面寬度，結(jié)合題意，利用直線y=kx解得所求線段的兩端點(diǎn)坐標(biāo)，其縱坐標(biāo)或橫坐標(biāo)之差即為所求的河面寬度.

解法4 如圖5所示，過(guò)點(diǎn)A、B、O分別作直線OA、OB，

以O(shè)點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于AB的直線作y軸，垂直與AB的直線做x軸.

此時(shí)，直線AB與x軸相較于D點(diǎn)，

此時(shí)可得A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

在直線OA、OB上各取一個(gè)點(diǎn)M、N，并表示出此兩點(diǎn)的坐標(biāo)，

利用直線方程y=kx解得分別直線OA、OB的解析式，

因?yàn)橐阎狝、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將其代入上述直線方程，

所以解得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)

xA、yA、xB、yB，

所以d=yA-yB，

d=yA-yB即為所求的河面的寬度.

求解河面的寬度問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)中一個(gè)經(jīng)久不衰的問(wèn)題，當(dāng)河面的寬度較大不能直接測(cè)量時(shí)，就需要同學(xué)們轉(zhuǎn)換思維，利用所學(xué)的相似三角形，全等三角形，以及三角函數(shù)等知識(shí)靈活求解，利用函數(shù)圖象也是初中解題的常用方法之一，同學(xué)們要靈活選擇，拓展自己的思維.