基于對(duì)稱交替方向乘子法的單列車(chē)最優(yōu)運(yùn)行控制

馬 山，湯超宇，馬駿峰，彭 濤

（中南大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410083）

列車(chē)運(yùn)行控制策略在列車(chē)行駛過(guò)程中發(fā)揮著重要作用[1]。現(xiàn)有列車(chē)運(yùn)行控制研究根據(jù)列車(chē)運(yùn)行動(dòng)靜態(tài)參數(shù)建立列車(chē)運(yùn)行模型，求解得到列車(chē)運(yùn)行控制策略[2-4]。按求解方法的不同，可以分為傳統(tǒng)控制方法和優(yōu)化方法。傳統(tǒng)控制方法側(cè)重于給出問(wèn)題的解析解，例如設(shè)計(jì)列車(chē)運(yùn)行反饋控制器跟蹤列車(chē)運(yùn)行曲線[5-7]。Khmelnitsky等[8]研究在運(yùn)行條件不確定及速度受限情況下的列車(chē)運(yùn)行控制問(wèn)題，利用極大值原理給出了牽引制動(dòng)策略。Zhuan等[9]設(shè)計(jì)了輸出反饋控制器，根據(jù)列車(chē)預(yù)設(shè)速度曲線調(diào)整列車(chē)運(yùn)行速度。Li等[10]設(shè)計(jì)了魯棒高速列車(chē)巡航控制器，實(shí)現(xiàn)列車(chē)速度跟蹤。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和計(jì)算效率的提升，優(yōu)化方法得到了學(xué)者們的關(guān)注。優(yōu)化方法通過(guò)構(gòu)建列車(chē)運(yùn)行模型，以運(yùn)行能耗、準(zhǔn)點(diǎn)到站等為目標(biāo)求解得到列車(chē)運(yùn)行控制策略[11-13]。Wang等[14]研究了速度、牽引力受約束下列車(chē)最優(yōu)運(yùn)行控制問(wèn)題，并將其轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解。Lin等[15]采用凸優(yōu)化方法求解列車(chē)運(yùn)行最優(yōu)控制輸入。隨著高鐵里程不斷增加，列車(chē)運(yùn)行控制問(wèn)題的規(guī)模不斷增大，有必要引入合適的算法提升此類(lèi)優(yōu)化問(wèn)題的求解效率。

交替方向乘子法(Alternating Direction Multiplier Method，ADMM)在1976 年由Gabay等提出，是一種適用于可分離凸優(yōu)化問(wèn)題的簡(jiǎn)單有效方法[16]。該方法將對(duì)偶上升法的可分解性與乘子法的優(yōu)越收斂性結(jié)合起來(lái)，可以看作是在增廣拉格朗日算法基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的算法。Boyd等[17]將交替方向乘子法引入分布式優(yōu)化和統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)中，在此之后，ADMM受到了越來(lái)越多研究者的關(guān)注。Fu等[18]通過(guò)ADMM設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的最優(yōu)反饋增益。Li等[19]將ADMM應(yīng)用于多列車(chē)分布式最優(yōu)控制，目的是使每輛列車(chē)在干擾作用下跟蹤預(yù)設(shè)運(yùn)行曲線。作為ADMM的拓展，He等[20]進(jìn)一步研究了對(duì)稱交替方向乘子法(Symmetric Alternating Direction Multiplier Method，SADMM)。對(duì)稱交替方向乘子法相比于交替方向乘子法在一次迭代過(guò)程中多更新一次對(duì)偶變量，可以在較短時(shí)間內(nèi)給出高精度解。與ADMM相比，該方法具有更快的收斂速率[21-23]，適用于求解大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題，包括列車(chē)運(yùn)行控制問(wèn)題。

本文考慮單列車(chē)在多站點(diǎn)間的運(yùn)行優(yōu)化問(wèn)題，以旅客乘坐舒適度、列車(chē)運(yùn)行能耗以及列車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)到站為優(yōu)化目標(biāo)，將列車(chē)運(yùn)行動(dòng)力學(xué)方程、站點(diǎn)發(fā)車(chē)時(shí)間、運(yùn)行速度和牽引力限制等作為約束條件，構(gòu)建列車(chē)最優(yōu)運(yùn)行控制模型。采用對(duì)稱交替方向乘子法進(jìn)行求解，利用目標(biāo)函數(shù)決策變量的可分性將優(yōu)化問(wèn)題分為2個(gè)獨(dú)立的子問(wèn)題：包含等式與不等式約束的二次型規(guī)劃問(wèn)題和無(wú)約束混合L2/L1范數(shù)最小化問(wèn)題，分別采用內(nèi)點(diǎn)法和軟閾值法求解，并更新對(duì)偶變量，重復(fù)此過(guò)程直到初始可行性殘差和對(duì)偶可行性殘差小于給定閾值，得到原問(wèn)題的最優(yōu)解。該方法能夠快速獲得列車(chē)最優(yōu)控制策略，保證列車(chē)的節(jié)能、安全運(yùn)行。不同于文獻(xiàn)[19] 研究多列車(chē)在兩相鄰站點(diǎn)間的分布式最優(yōu)控制問(wèn)題，目的是跟蹤列車(chē)預(yù)設(shè)運(yùn)行曲線，本文研究單列車(chē)在多站點(diǎn)間的運(yùn)行優(yōu)化問(wèn)題，將列車(chē)運(yùn)行能耗、旅客乘坐舒適度、列車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)到站作為目標(biāo)函數(shù)懲罰項(xiàng)，并將列車(chē)在各站的發(fā)車(chē)時(shí)間約束考慮在內(nèi)，目的是生成列車(chē)最優(yōu)運(yùn)行曲線。從方法層面看，文獻(xiàn)[19]采用交替方向乘子法求解列車(chē)最優(yōu)控制問(wèn)題，本文采用對(duì)稱交替方向乘子法求解最優(yōu)控制問(wèn)題，并且在求解涉及混合L2/L1范數(shù)最小化子問(wèn)題時(shí)，采用軟閾值法得到解析解。對(duì)于大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題，對(duì)稱交替方向乘子法的求解性能通常優(yōu)于交替方向乘子法。

1 單列車(chē)運(yùn)行優(yōu)化模型構(gòu)建

本節(jié)關(guān)注列車(chē)運(yùn)行控制模型的構(gòu)建。在列車(chē)運(yùn)行控制的理論研究和工程設(shè)計(jì)中，常常對(duì)列車(chē)運(yùn)行過(guò)程進(jìn)行適當(dāng)近似。為方便模型的構(gòu)建，首先對(duì)單列車(chē)最優(yōu)控制模型作以下假設(shè)。(1) 將包含多個(gè)車(chē)廂的列車(chē)簡(jiǎn)化為具有相同位置及速度信息的單質(zhì)點(diǎn)，而忽略列車(chē)本身的車(chē)長(zhǎng)。列車(chē)運(yùn)動(dòng)過(guò)程符合牛頓第二定律。 (2) 列車(chē)牽引力可在牽引約束上下限范圍內(nèi)任意取值。(3) 本文假設(shè)列車(chē)運(yùn)行中所受阻力為定值。(4) 假設(shè)每個(gè)站點(diǎn)區(qū)間長(zhǎng)度與相鄰站點(diǎn)間的距離相比，站點(diǎn)區(qū)間長(zhǎng)度非常小，因此可以將其視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。

1.1 單列車(chē)運(yùn)行動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)牛頓動(dòng)力學(xué)方程，列車(chē)的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為

1.2 優(yōu)化目標(biāo)

高速列車(chē)運(yùn)行需要滿足安全、準(zhǔn)點(diǎn)、舒適等目標(biāo)，同時(shí)希望盡量節(jié)能運(yùn)行。本節(jié)討論兼顧旅客乘坐舒適度的列車(chē)節(jié)能運(yùn)行控制，給出乘坐舒適度相關(guān)數(shù)學(xué)定義。列車(chē)加速率(加速度的一階導(dǎo)數(shù))、列車(chē)車(chē)廂溫度、座位類(lèi)型、車(chē)廂擁擠度等都會(huì)影響旅客乘坐體驗(yàn)。將列車(chē)運(yùn)行加速度變化率作為乘坐舒適度標(biāo)準(zhǔn)，因此旅客乘坐舒適度函數(shù)可以表示為

1.3 最優(yōu)運(yùn)行控制問(wèn)題

綜上所述，將離散最優(yōu)運(yùn)行控制問(wèn)題(13)表述為

2 對(duì)稱交替方向乘子法求解步驟

在上一節(jié)得到了考慮乘坐舒適度的列車(chē)最優(yōu)運(yùn)行控制模型。本節(jié)給出基于對(duì)稱交替方向乘子法求解該模型的具體步驟。首先最優(yōu)控制問(wèn)題(15)可以轉(zhuǎn)化為

2.1 內(nèi)點(diǎn)法求解w 最小化問(wèn)題

w變量最小化問(wèn)題(18)需要求解一個(gè)包含二次型目標(biāo)和線性約束的二次規(guī)劃問(wèn)題?？杀硎緸?/p>

內(nèi)點(diǎn)法是解決這類(lèi)問(wèn)題的有效方法。詳細(xì)步驟可以參考文獻(xiàn)[24]。

2.2 軟閾值法求解Z最小化問(wèn)題

2.3 迭代終止條件

SADMM迭代的終止準(zhǔn)則是原始可行性殘差和對(duì)偶可行性殘差必須小于給定值εpri和εdual，即

3 數(shù)值仿真

本節(jié)給出2個(gè)算例來(lái)說(shuō)明算法的有效性。算例一采用對(duì)稱交替方向乘子法求解得到列車(chē)運(yùn)行曲線。算例二權(quán)衡旅客乘坐舒適度及列車(chē)運(yùn)行能耗，生成不同γ 取值下的列車(chē)運(yùn)行曲線。

選定的線路包括4個(gè)車(chē)站，路段限速為300 km/h。列車(chē)G1的運(yùn)行時(shí)刻表如表1所示。假設(shè)列車(chē)G1在S1站的出發(fā)時(shí)間為8:30，相鄰兩個(gè)車(chē)站之間的距離為100 km。列車(chē)參數(shù)如表2所示。權(quán)重系數(shù)α, β,θ, γ 分別選為 1 ×10?4, 107, 107, 10。

表1 G1計(jì)劃時(shí)刻表Table 1 The scheduled timetable of train G1

表2 列車(chē)基本參數(shù)Table 2 Parameters of train G1

圖1 對(duì)稱交替方向乘子法求解列車(chē)運(yùn)行控制問(wèn)題流程圖Fig.1 Train operation control via SADMM

采用對(duì)稱交替方向乘子法求解得到列車(chē)運(yùn)行距離和列車(chē)運(yùn)行速度隨時(shí)間變化的曲線分別如圖2和圖3所示。列車(chē)先加速至300 km/h，保持勻速運(yùn)行一段時(shí)間之后開(kāi)始減速運(yùn)行。該方案能夠保證列車(chē)在預(yù)定時(shí)間內(nèi)到站。圖4和圖5分別是交替方向乘子法和對(duì)稱交替方向乘子法求解列車(chē)運(yùn)行控制問(wèn)題的收斂曲線圖。圖4對(duì)比了使用兩種算法時(shí)目標(biāo)函數(shù)值隨迭代步數(shù)的變化，可以看出對(duì)稱交替方向乘子法收斂速度更快。圖5對(duì)比了使用兩種算法時(shí)初始可行性殘差和對(duì)偶可行性殘差隨迭代步數(shù)的變化，其中黃色虛線代表算法退出閾值。如圖所示兩種算法在迭代約5次后均達(dá)到初始可行性殘差閾值，對(duì)稱交替方向乘子法在迭代約14次達(dá)到對(duì)偶可行性殘差閾值，交替方向乘子法需要迭代約28次。從圖5中可以看出A D M M 較快收斂至初始可行性殘差閾值，但SADMM比ADMM更快收斂至對(duì)偶可行性殘差閾值。綜合初始可行性殘差和對(duì)偶可行性殘差隨迭代次數(shù)的變化，可以看出SADMM先滿足算法退出條件，求解效率更高。

圖2 G1列車(chē)運(yùn)行距離曲線Fig.2 The position trajectory of train G1

圖3 G1列車(chē)運(yùn)行速度曲線Fig.3 The velocity trajectory of train G1

圖4 基于ADMM和SADMM求解的目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)的變化Fig.4 Evolution of the objective function value for ADMM and SADMM

圖5 ADMM和SADMM收斂誤差隨迭代次數(shù)的變化Fig.5 Evolution of the convergence residual for ADMM and SADMM

接下來(lái)討論不同 γ取值下的列車(chē)運(yùn)行速度隨時(shí)間的變化。僅考慮列車(chē)G1從 S1站 運(yùn)行至S 2站的情況。如圖6所示，當(dāng)γ 取值不同時(shí)，列車(chē)運(yùn)行曲線不同。隨 γ取值的變大，列車(chē)加速時(shí)間越短，勻速運(yùn)行時(shí)間越長(zhǎng)。表3給出了4種方案下的牽引、巡航及制動(dòng)距離。當(dāng) γ =0時(shí)巡航距離最短，牽引和制動(dòng)距離最長(zhǎng)。隨著 γ的增大，列車(chē)巡航距離增加，牽引和制動(dòng)距離減小。表4給出了不同 γ情況下的列車(chē)運(yùn)行能耗。當(dāng)γ=0 時(shí) ，列車(chē)運(yùn)行能耗最小，隨著γ 的增大，運(yùn)行能耗增加。在實(shí)際運(yùn)行中，可以權(quán)衡運(yùn)行目標(biāo)，調(diào)整γ 的取值，得到不同的列車(chē)運(yùn)行曲線。

表3 不同γ 情況下列車(chē)牽引、巡航及制動(dòng)距離Table 3 Train traction, cruising and braking distances under differentγ

表4 不同γ 情況下列車(chē)運(yùn)行能耗Table 4 The energy consumption of the train under differentγ

圖6 不同γ 取值情況下列車(chē)運(yùn)行速度曲線Fig.6 The velocity trajectory under differentγ

4 總結(jié)

針對(duì)單列車(chē)在多個(gè)站點(diǎn)間的運(yùn)行控制問(wèn)題，本文提出一種基于對(duì)稱交替方向乘子法的單列車(chē)最優(yōu)運(yùn)行控制方案。該方案有以下特點(diǎn)：(1) 在對(duì)稱交替方向乘子法的求解框架下，分別采用內(nèi)點(diǎn)法和軟閾值法交替更新目標(biāo)函數(shù)的兩個(gè)決策變量。(2) 將當(dāng)前列車(chē)運(yùn)行位置、速度信息作為初始條件，可以快速求解得到列車(chē)運(yùn)行曲線。(3) 通過(guò)調(diào)整懲罰系數(shù)，可以得到滿足不同列車(chē)運(yùn)行能耗和乘客舒適度需求的列車(chē)運(yùn)行曲線。本文提出的方法可以為列車(chē)運(yùn)行控制提供輔助決策，提升列車(chē)運(yùn)行效率。