“數(shù)”“形”交錯促理解

江蘇連云港市灌云經(jīng)濟開發(fā)區(qū)實驗學校（222299）張樹偉

在小學數(shù)學中，數(shù)與形永遠是并駕齊驅(qū)的，一直貫穿整個教學的始末，這與初中階段的代數(shù)與幾何不謀而合。代數(shù)的前身就是小學階段的算術(shù)，幾何的前身就是小學階段的平面圖形。到了高中、大學階段，它們就會巧妙融合，衍生出一門新學科——解析幾何，用代數(shù)知識解決幾何問題，可以用函數(shù)圖像反映數(shù)量關(guān)系，數(shù)與形合二為一，辯證統(tǒng)一，不分彼此。數(shù)形結(jié)合思想的萌芽就是建立在這樣的背景下的，它可以看成是解析幾何的萌芽階段，在小學數(shù)學階段起著至關(guān)重要的作用，既是一種重要的數(shù)學思想，又是一種解決數(shù)學問題的捷徑和王牌武器。筆者結(jié)合自己的教學實踐，談談教學中數(shù)形結(jié)合思想的滲透策略。

一、在數(shù)的概念中起步

萬事開頭難，數(shù)形結(jié)合思想的滲透最好從識數(shù)階段開始，數(shù)域是小學學段的一個重頭戲，既是基礎，又是貫通全套教材的線索，更是全部數(shù)學知識賴以生存的土壤。但對于小學生而言數(shù)字的定義是朦朧的，因此，教師不妨借助圖形，將可視化的圖形與抽象的數(shù)字勾連起來，用清晰的圖形線條來揭示算術(shù)概念中的本質(zhì)，將抽象的運算轉(zhuǎn)化成直觀的圖形，從而為學生構(gòu)筑數(shù)學概念的樓宇，夯實地基。

在數(shù)學教學中，通過數(shù)字與圖形的和諧統(tǒng)一和高度對應，引領學生經(jīng)歷構(gòu)建概念、理解概念及應用概念的全套過程，以感性的圖形來證明和詮釋理性的概念，學生慢慢從感性材料中脫離表象，在思維深處建立抽象概念，這樣的理性概念可謂根基渾厚。

如在教學“分數(shù)的初步認識”一課時，教師可借助各種各樣的感性材料來揭示分數(shù)的內(nèi)涵，從而讓學生直觀感知分數(shù)的存在與用途。

教師在設計情境時，用符號來深入刻畫“一半”的意義?？梢赃x用圖形符號，也可以選用文字符號，還可以選用特殊字符，如等，在比較與商議中凸顯符號的長處：簡明 扼 要 、 形象直觀，勝過千言萬語。與此同時，也要讓學生學會使用圖形語言去表達分數(shù)。

在詮釋分數(shù)概念之后，講述符號背后的分數(shù)發(fā)展史，讓學生接受數(shù)學歷史文化的熏陶，充分感受分數(shù)的發(fā)展脈絡?？梢詫⒏鱾€歷史階段分數(shù)的表示法陳列出來，比如中國、埃及的先民們，都各自有獨特的分數(shù)表示法（如圖1），可惜這些表示法最終沒有流傳下來，直到人們發(fā)明了分隔符號“—”，這種表示法才算正式“落地”，并保留至今。最后，人們統(tǒng)一國際標準、創(chuàng)立數(shù)軸模型，在數(shù)軸上的整數(shù)坐標之間安插分數(shù)坐標。

圖1

除了借用這種半數(shù)半圖的形式深刻揭示分數(shù)的含義，教師還可以為學生的理解途徑和渠道提供形形色色的材料，將分數(shù)與整數(shù)統(tǒng)合到一條數(shù)軸上，幫助學生在完備的數(shù)域中捉摸分數(shù)的地位。

在整個小學階段，許多數(shù)域（如小數(shù)、百分數(shù)等）的概念教學，教師都要精心設計，謀篇布局、通盤考慮，利用圖形的直觀優(yōu)勢，讓“形”成為最佳的佐證材料，將“數(shù)”的來源和本質(zhì)闡釋清楚，打通圖形與數(shù)字之間的壁壘，也讓“形”成為學生思維向更高處攀升的跳板，學生對數(shù)字概念的認知自然會從淺薄走向深邃。

二、在數(shù)的運算中加速

在算術(shù)教學中，將算法背后的算理推向前臺，直接呈現(xiàn)在學生面前，讓學生在學習算法時不得不重視算理，應該成為教師教學的一大風向。教師應該用心在算術(shù)教學中滲透數(shù)形結(jié)合思想，用一些形象直觀的圖形，清楚地演繹出算理，幫助學生借助圖形促進思維快速發(fā)展，以圖形促進數(shù)字運算的可感可觸，從而實現(xiàn)由算理到算法的“反哺”。

如在教學“兩位數(shù)加兩位數(shù)的進位加法”時，教師應該先指導學生擺小棒，嘗試計算19+18，再如圖2所示，結(jié)合小棒合并的直觀圖，一邊對照小棒數(shù)量一邊抽象出數(shù)字，利用小棒的捆數(shù)和豎式的對應性（1捆對應十位數(shù)字1，1根對應個位數(shù)字1），推演豎式計算的過程和原理，用擺小棒與列豎式“雙線并行”的方法演繹“滿十進1”的深刻道理。在這里，直觀操作是為了攻克計算時的思維障礙和理解難點。

圖2

在操作后，學生慢慢就會不依靠小棒，抽象出純數(shù)字計算的整個流程。而在后續(xù)的教學中，直觀圖并沒有失去利用價值，仍可以發(fā)揮余熱，學生可以回顧學習經(jīng)歷，利用直觀圖來反思整個數(shù)字計算過程，為豎式計算的每一步追根溯源，看看每一步計算的來源，為每一步的運算找到原型和“母體”，為數(shù)字豎式計算找到與直觀圖形這一“母體”維系關(guān)系的“基因”。

因為豎式計算中的每一步都能找到它在直觀圖形中的“基因片段”，所以學生能輕易地理解并接受“滿十進1”的合理性和必要性，實現(xiàn)算理與算法的高度統(tǒng)一。

又如在教學“分數(shù)乘、除法”的知識時，教師可以使用矩形塑料片作為直觀材料，讓學生通過分塊、涂畫的手工操作，將“數(shù)”的運算變換為對“形”的裁剪取舍，從而借助圖形語言來認識并掌握分數(shù)乘、除法的算理。將數(shù)形結(jié)合的思想融入數(shù)學運算中，為圖形和數(shù)字找到新的契合點，將算法的本質(zhì)揭露無遺，為算理和算法齊頭并進、水乳交融增添新料。

三、在解題中起飛

1.用數(shù)形結(jié)合化復雜為簡單，厘清數(shù)量關(guān)系

數(shù)量關(guān)系是一切算式的存在基礎，沒有數(shù)量關(guān)系的數(shù)字就不可能存在于同一個算式中。課程標準指出，要從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系。數(shù)量關(guān)系不是憑空產(chǎn)生的，而是源于生活實際，缺少了現(xiàn)實生活情境支撐的數(shù)量關(guān)系就是空中樓閣，對一些應用題，分析其中數(shù)量關(guān)系反而成了重點和難點，列式計算倒是其次，因其數(shù)量關(guān)系繁多龐雜，學生很難全面掌握，想一個個記憶，更是難如登天。

如果充分運用數(shù)形結(jié)合思想，就會事半功倍，特別是巧妙運用線段圖等直觀地呈現(xiàn)各種復雜、不同類別的數(shù)量關(guān)系，更是起到快刀斬亂麻的作用，線段圖就像是一把破解數(shù)量關(guān)系的萬能鑰匙。

如解決“快餐店、電玩城和數(shù)碼城在香港路的同一邊。快餐店距數(shù)碼城280米，電玩城距數(shù)碼城350米?？觳偷昃嚯娡娉嵌嗌倜?？”這一問題時，大部分學生只會一根筋地認為快餐店與電玩城分別在數(shù)碼城兩側(cè)，列式為280+350=630（米）。教師如果能引導學生用線段圖來表示三者的位置關(guān)系，就會引起學生警覺：快餐店、電玩城和數(shù)碼城各在什么位置呢？用線段圖就能清楚、直觀地展示兩種可能，如圖3。

圖3

直觀的線段圖不但可以激發(fā)學生的濃厚興趣，還可以讓復雜的關(guān)系變明朗，讓抽象的問題變得形象具體，幫助學生從對比強烈、涇渭分明的線段圖中提煉數(shù)量關(guān)系，建立基本的數(shù)學模型，提高解決問題的效率。

2.用數(shù)形結(jié)合化抽象為直觀，巧解經(jīng)典

如雞兔同籠問題“已知雞和兔一共有10只，一共有32條腿，求雞和兔各有幾只？”這類問題，傳統(tǒng)解法林林總總，列方程解答、枚舉法、假設法。方法雖多，但對于小學生來說卻感覺處處受限、處處掣肘。比如中低學段的學生，對方程一無所知，用列舉法容易掛一漏萬、丟三落四，假設法的數(shù)量關(guān)系十分抽象，而且存在多種變化，虛實交錯，真假難辨，弄得學生暈頭轉(zhuǎn)向，不知哪個條件是真實的，哪個條件是假設的。

那么，采用什么辦法能夠讓低年級學生也能參透這個經(jīng)典難題呢？答案就在眼前，非數(shù)形結(jié)合莫屬。

如圖4，先用圓圈表示10只動物。假設這10只動物全是雞，那么每只雞有2條腿，把腿補齊，只有20條腿，和總腿數(shù)相比，顯然還有32-20=12（條）腿沒著落。如果每只雞再增加2條腿，這樣一來就有12÷2=6（只）雞需要“多長”2條腿，顯然這是不可能的，那么只有6只雞變成兔子，才能多出12條腿，于是得出兔子有6只，雞有4只。

圖4

在類似的教學中，都可以讓學生按照題意畫圖，通過直觀圖將抽象的算術(shù)問題直觀化，這種做法看似小兒科，其實迎合了兒童心理，因為小學生此時正處于動作運算階段向邏輯運算階段躍升的發(fā)育期，采用這種途徑不但讓問題變得簡單，而且保護了學生的自信心。

四、在創(chuàng)新思索中發(fā)展

數(shù)形結(jié)合思想是小學數(shù)學中最常見的思想方法之一，也是學生最喜愛的數(shù)學思想方法之一。因為它符合兒童的思維特點，以形象、具體為主，以直觀為核心。因此，在小學數(shù)學教學中教師要在數(shù)的概念建立、數(shù)的運算學習、問題的解決研究中等靈活使用數(shù)形結(jié)合思想，還要在學習創(chuàng)新、創(chuàng)新思考等層面做出必要的努力，以期通過數(shù)形結(jié)合思想方法的應用，讓學生的數(shù)學學習變得更具智慧、更有深度。

以數(shù)學問題“林虹水果超市近期購進蘋果120箱，比購進的橘子的3倍少15箱。問購進橘子多少箱？”的教學為例。

1.放手一試，發(fā)現(xiàn)端倪

首先采取放手策略，讓學生在自主思考的前提下進行嘗試。教學中教師切忌急躁，要給學生一個讀懂問題信息、分析思考問題的機會，更要給他們一個自我體驗的機會。

學生紛紛投入問題的研讀和分析之中，并按照自己的思考進行解讀。有學生提出：因為蘋果的箱數(shù)與橘子箱數(shù)的3倍有關(guān)，所以就有120÷3=40（箱），再用40+15，得結(jié)果是55箱。也有學生提出新的思路：應該是120×3-15，結(jié)果是345箱，這樣的思考才符合題意。

其次，引導學生對不同思考進行必要的甄別。隨著不同結(jié)論的出現(xiàn)，學生也會驚訝無比。此時，就有學生提出疑問：同樣的一個問題，為什么不同的思考會出現(xiàn)不一樣的結(jié)果呢？這是沒有道理的。疑問給學生以震撼，也誘使學生深思問題研究中的滋味。

2.運用方法，助力思考

有學生提出：可以用結(jié)論去驗證，看看是不是有正確的結(jié)果。隨著這個思路，學生便開始驗算。在驗算中學生發(fā)現(xiàn)，對于答案55箱，結(jié)合習題的關(guān)鍵點“比購進的橘子的3倍少15箱”，驗算發(fā)現(xiàn)，55×3-15=150（箱），不符合習題中的信息“120箱”，它是錯誤的。再驗算345箱，345×3-15，無須計算下去，一眼就能看出這個答案多么滑稽。

面對此情景，教師就得引導學生開動腦筋，尋找記憶中的方法策略。此時，畫圖策略就會被提出。緊接著，學生就積極參與到畫線段圖來研究問題的學習之中。經(jīng)過一段時間的畫圖，以及對圖例的解讀，學生發(fā)現(xiàn)：120箱比橘子箱數(shù)的3倍少15箱，因此補上15箱后的數(shù)量正好是橘子箱數(shù)的3倍，得120+15=135（箱），135÷3=45（箱）。隨著驗算的開展，他們發(fā)現(xiàn)這個思考是可靠的。

就在此時，也有學生提出：看線段圖，可以把120箱平均分成3份，每份40箱，還要把少的那15箱也平均分成3份，每份5箱，把它們合起來也是45箱。話音一落，課堂就掀起一片爭論聲，隨著思考和爭辯的推進，學生終于發(fā)現(xiàn)這一思考也是有道理的。由此，創(chuàng)新思考的“種子”就會在學生的腦海中埋下。

總之，在小學數(shù)學教學中，教師應有意識地滲透數(shù)形結(jié)合思想，以“形”的直觀彌補“數(shù)”的抽象，以“數(shù)”的準確反哺“形”的粗略，變抽象為具體，化無形為有形，實現(xiàn)代數(shù)與幾何兩大數(shù)學分支的早期融合。