利用幾何直觀探析計算教學(xué)的本質(zhì)
——以“異分母分?jǐn)?shù)加減法”教學(xué)為例

安徽碭山縣師范附屬小學(xué)（235399）李曉寧

幾何直觀，主要是指利用圖形描述和分析問題，可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著重要作用。特級教師吳正憲說過這樣的一句話：“幾何直觀憑借圖形的直觀性特點(diǎn)，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言有機(jī)地結(jié)合起來，充分展現(xiàn)問題的本質(zhì)，能夠幫助學(xué)生打開思維的大門，突破數(shù)學(xué)理解上的難點(diǎn)?！痹谟嬎憬虒W(xué)中如何充分發(fā)揮幾何直觀的作用，促理明法，探析計算教學(xué)的本質(zhì)呢？筆者在教學(xué)北師大版教材五年級下冊“異分母分?jǐn)?shù)加減法”時，進(jìn)行了如下嘗試。

一、數(shù)線引入，拓展分?jǐn)?shù)認(rèn)識

師（出示圖1）：在數(shù)線上你看到了哪個分?jǐn)?shù)，表示什么意思？還能想到哪些分?jǐn)?shù)？

圖1

生1：

（結(jié)合學(xué)生思考，課件出示等數(shù)的圖例）

師：在數(shù)線上，還可以找到許多分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)是一個大家庭，每個分?jǐn)?shù)都有許多的形式。剛才找到的這些分?jǐn)?shù)中誰當(dāng)家？

生2（指圖2）2個加3個是5個也就是58。

圖2

……

（通過交流，學(xué)生懂得了“分?jǐn)?shù)單位相同，分子直接相加減，分母不變”的算理）

師：看來，整數(shù)、小數(shù)、同分母分?jǐn)?shù)加減法的算理是一樣的，都是把相同的計數(shù)單位相加減。

【思考】小學(xué)數(shù)學(xué)的計算教學(xué)都是建立在學(xué)生對數(shù)本身意義的認(rèn)識基礎(chǔ)上的。學(xué)生對于分?jǐn)?shù)的認(rèn)識更體現(xiàn)在對其個體意義的理解上。在復(fù)習(xí)引入環(huán)節(jié)，先借助學(xué)生熟知的數(shù)線直觀圖表示，讓學(xué)生找出和大小相等的分?jǐn)?shù)；然后讓學(xué)生觀察這些分?jǐn)?shù)，找出異同點(diǎn)；最后結(jié)合分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)對一類等值分?jǐn)?shù)進(jìn)行比較，“以形促數(shù)”深化學(xué)生對“分?jǐn)?shù)大家庭”的理解。重點(diǎn)是讓學(xué)生通過直觀圖形解釋同分母分?jǐn)?shù)相加減的算法，喚醒學(xué)生“分?jǐn)?shù)單位相同的分?jǐn)?shù)，分子能直接相加減”的計算經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生的認(rèn)知從具體到抽象，為后繼的計算學(xué)習(xí)奠定扎實(shí)的認(rèn)知基礎(chǔ)。

二、借助直觀圖式，表達(dá)數(shù)量關(guān)系

（學(xué)生想象后，教師出示圖3）

圖3

師：請?zhí)岢鲇眉臃ń鉀Q的一步問題，并列出算式。

生1：種黃瓜和西紅柿一共用了這塊田的幾分之幾？算式是

生2：種豆角和辣椒一共用了這塊田的幾分之幾？算式是。

……

【思考】教師出示信息后并沒有馬上讓學(xué)生提出問題，而是讓學(xué)生想象怎樣用圖來表示這些信息。借助幾何直觀圖表示題目中各個量之間的關(guān)系，變“看不見”為“看得見”，使數(shù)量關(guān)系變得簡潔明了，達(dá)到化繁為簡的目的。學(xué)生在體會圖形簡潔美的同時能感悟數(shù)形結(jié)合的思想，在此基礎(chǔ)上提出問題，可使學(xué)生的思維更靈活、開放。

三、多種方法表征，明白計算算理

生1（出示圖4）：我先把紙對折，找到其中的畫斜線；再對折，找到畫斜線。從折痕處就可以看出原來的變成這樣的結(jié)果就是

圖4

生2（出示圖5）：我先把圓形平均分成2份，表示黃瓜占然后把剩下的又平均分成2份，表示西紅柿占這樣半個圓和個圓合在一起就是3個也就是所以

圖5

生3（出示圖6）：我畫的圖大家能看明白嗎？

圖6

生4：這里的是什么意思？

生3：我在畫的時候發(fā)現(xiàn)可變成所以。

師：聽明白他的想法了嗎？

生5：聽明白了可以用表示，這樣就變成同分母分?jǐn)?shù)相加了。

生6（出示圖7）：我畫的是線段圖，也能看出

圖7

師：學(xué)會了異分母分?jǐn)?shù)加法，你會減法嗎？種黃瓜比種西紅柿多用了這塊地的幾分之幾？你會算嗎？用手中的學(xué)具畫一畫，也可以用其他的方法來計算。

生1（出示圖8）：請大家看看我畫的圖，能看懂嗎？

圖8

生1：我先把正方形的田平均分成2份，表示黃瓜占然后把的田又平均分成2份，表示西紅柿占，半個田減去的田，還剩下，所以。我說的大家聽明白了嗎？

師：誰還有不一樣的想法？

圖9

【思考】怎樣才能讓學(xué)生真正理解的算理和算法呢？教學(xué)中，通過問題的引領(lǐng)，為學(xué)生探究新知提供多角度的思路，留給學(xué)生足夠的探究空間，彰顯了學(xué)生個性化的思維。通過折一折、畫一畫的直觀操作活動，外顯了學(xué)生的思維過程，培養(yǎng)了學(xué)生用“形”來刻畫和解釋異分母分?jǐn)?shù)加減法算理的意識和能力。在學(xué)生借助折紙和畫圖直觀表示結(jié)果后，教師通過追問“怎么用算式把轉(zhuǎn)化成這個過程表示出來呢”，讓學(xué)生通過觀察、思考、交流等活動，借助豐富的圖形表征把抽象的算理變得直觀可見，有效溝通了直觀運(yùn)算和通分的聯(lián)系，“異分母分?jǐn)?shù)相加要先通分”的道理呼之欲出。在此過程中，學(xué)生積累了畫圖說明計算結(jié)果的經(jīng)驗(yàn)，體會了轉(zhuǎn)化思想在溝通新舊知識以及解決新問題中的作用。這樣教學(xué)避免了直接生硬的給予，有效地實(shí)現(xiàn)了學(xué)生對新知的自主建構(gòu)。

四、看圖說理，助推思維發(fā)展

師（指圖3）：仔細(xì)觀察，你能算出黃瓜、西紅柿、豆角和辣椒一共占了這塊田的幾分之幾嗎？

生1：

師：生1用了什么方法來計算？

生2：他用了通分的方法，即把異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)。

師：還有不同的算法嗎？

生3：

師：這種算法很簡潔，能結(jié)合圖示說說你的想法嗎？

生3：從圖3中可以看出整塊田就是一個整體1，其他的占了只要減去就可以算出黃瓜、西紅柿、豆角和辣椒一共占了這塊田的

師：真棒！借助直觀圖清楚地說明了計算的道理，把這么復(fù)雜的算式轉(zhuǎn)化成簡便的一步計算?？磥韴D形是我們分析問題、解決問題的好幫手。

【思考】在拓展練習(xí)環(huán)節(jié)，教師將繁雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成為可見、可畫、可操作的生活情境，把抽象的數(shù)學(xué)知識合理地運(yùn)用到生活當(dāng)中，從而使學(xué)生能夠結(jié)合情境列出算式。在計算時學(xué)生一般都會用通分的方法進(jìn)行異分母分?jǐn)?shù)加減，因此對于第二種方法，學(xué)生剛開始很難理解。這時，借助直觀圖就可說明只要用單位“1”減去剩下圖形的大小就是所求的結(jié)果。教學(xué)中巧借“形”使本來抽象的算式變得直觀而富有靈性，達(dá)到“一圖抵百語”的效果。

綜上，小學(xué)數(shù)學(xué)計算教學(xué)不能只重算法而輕算理。學(xué)生不僅要掌握算法，更要理解算理。在計算教學(xué)中合理利用幾何直觀進(jìn)行教學(xué)，可讓學(xué)生知其然，更知其所以然。因此，教師應(yīng)增強(qiáng)利用幾何直觀進(jìn)行教學(xué)的意識，特別在計算教學(xué)中要適時發(fā)揮直觀教學(xué)的優(yōu)勢，豐富學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)方式，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生產(chǎn)生最直觀的感受，拓展學(xué)生解決問題的思維，彰顯計算教學(xué)的魅力。