數(shù)形結(jié)合，讓數(shù)學(xué)運算更有深度

江蘇常州市金壇西城實驗小學(xué)（213200）王 瑾

數(shù)學(xué)是一門專門研究空間形式與數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，它的表達方式有兩種，就是“數(shù)”與“形”。而數(shù)形結(jié)合就是指根據(jù)“數(shù)”和“形”之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用“形”來表示“數(shù)”以使“數(shù)”更加直觀、具象，利用“數(shù)”來研究“形”，以使“形”更加精準、明確。能否熟練地在代數(shù)問題和幾何問題中不斷切換是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵。

在計算教學(xué)中，教師要懂得合理運用數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在循序漸進中更具抽象性、靈活性與創(chuàng)造性，更好地協(xié)調(diào)學(xué)生的抽象思維與形象思維，還要提供優(yōu)化的方法，使學(xué)生更加直觀、輕松地解決數(shù)學(xué)問題，加深對相關(guān)算理的理解，啟發(fā)他們準確掌握數(shù)學(xué)規(guī)律，提升運算能力，提高數(shù)學(xué)思維水平與綜合素養(yǎng)。

一、以形助數(shù)，自主探究領(lǐng)悟算理

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，計算教學(xué)占了非常大的比重，要想讓學(xué)生真正掌握算法的內(nèi)涵，先讓學(xué)生理解算理，但很多計算題的算理是隱藏的，對小學(xué)生來說是很難自主發(fā)現(xiàn)的。而實際教學(xué)中，教師往往重視反復(fù)練習(xí)算法，忽視學(xué)生對算理的理解，更別提讓學(xué)生在充分理解和掌握算法和算理的基礎(chǔ)上，將機械化的計算內(nèi)容變?yōu)樽灾魈骄炕顒?。這種重復(fù)式的練習(xí)及不明算理的計算帶來的后果就是學(xué)生只會機械地模仿，難以達到數(shù)學(xué)教學(xué)的目的。因此，要想解決以上問題，教師不僅要加強學(xué)生對算理的理解，還要運用數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生在直觀的圖形中進一步領(lǐng)悟算理，并于抽象中掌握算法，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的深入發(fā)展和計算能力的有效提升。

例如，在教學(xué)“兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位不能整除）”這一課的內(nèi)容時，有一個算式72÷3，學(xué)生在計算時發(fā)現(xiàn)被除數(shù)的十位數(shù)除以3后還余1。這時，教師為了促進學(xué)生對算理的理解，可以組織學(xué)生利用小棒進行擺一擺和分一分的探究活動，讓學(xué)生通過實物來逐漸找到簡便的擺法，從而更好地理解算理。學(xué)生在操作活動中很快就發(fā)現(xiàn)：要先將7捆小棒平均分成3份，這樣一來每份就是2捆，而多余的1捆小棒則可以將其拆開與剩下的2根小棒合并在一起，再繼續(xù)平均分成3份，這樣一來每份就有4根小棒，最后將兩次平均分的結(jié)果加起來，20+4=24，所以商就是24。這時，教師可以進一步引導(dǎo)學(xué)生使用豎式來進行計算，并啟發(fā)學(xué)生認真思考：當十位除以3后余下的這1個十應(yīng)該如何處理呢？學(xué)生在前面案例的啟發(fā)下就自然得出“要將這1個十與個位數(shù)上的2合并起來再繼續(xù)除以3”的結(jié)論，輕松解決了算理上的難點。教師根據(jù)學(xué)生的探究結(jié)果，在黑板上將豎式計算的整個過程寫出來（如圖1），并配合講解與教具演示，將“數(shù)”與“形”完整地對應(yīng)起來，進一步加深學(xué)生對算理的理解。

圖1

數(shù)形結(jié)合思想就像是算理與算法之間的一條紐帶，這條紐帶連通了學(xué)生的思維，讓學(xué)生充分理解算理的本質(zhì)。學(xué)生利用學(xué)具或圖片等直觀物品，從形的方向進行思考，以形助數(shù)，通過操作、聯(lián)想、對比、概括等思維發(fā)展的過程，逐漸在腦海中建立起清晰的表象，在深入理解算理，掌握算法的同時，獲得了思維的進階發(fā)展，有效提高了計算教學(xué)的效果。

二、以形思數(shù)，巧借模型優(yōu)化算法

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“人之可貴在于能創(chuàng)造性地思維?！敝挥芯邆淞顺錆M主動性與創(chuàng)造性的思維，才能真正窺探到事物的本質(zhì)和發(fā)展規(guī)律，更好地創(chuàng)造出具有個性化、創(chuàng)新性的思維成果。小學(xué)生在計算學(xué)習(xí)的過程中，運用數(shù)形結(jié)合思想，能更好地激發(fā)創(chuàng)造性思維，想出多種算法，無形之中培養(yǎng)出發(fā)散性思維。通過對比、聯(lián)想和推理來探究出最優(yōu)化的算法，能促進學(xué)生計算能力的提升。

例如，在教學(xué)“解決問題的策略（轉(zhuǎn)化）”這一課的內(nèi)容時，教師引導(dǎo)學(xué)生探究“”的簡便算法。有的學(xué)生是先通分，將異分母分數(shù)轉(zhuǎn)化成同分母分數(shù)來進行簡便計算；也有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)了其中蘊含的規(guī)律，即最終結(jié)果的分母與算式中最后那個分數(shù)的分母相同，而分子則比分母小1。上述兩種方法運用了代數(shù)知識，且涉及分數(shù)的計算，學(xué)生容易算錯，所以不是最優(yōu)解。還有的學(xué)生利用畫圖的方法，比如，畫線段圖、圓形圖、正方形圖等來獲得算式結(jié)果（如圖2）。最終，學(xué)生在經(jīng)過對比之后，一致認為通過數(shù)形結(jié)合畫出正方形圖來計算是最簡便、最直觀形象的方法。

圖2

隨后，教師又依據(jù)教材內(nèi)容讓學(xué)生探索由1起始的連續(xù)奇數(shù)列的和“1+3+5+7+……”，讓學(xué)生先自己嘗試畫一畫，再進行求和，學(xué)生在邊畫圖邊思考中自主建構(gòu)起連續(xù)奇數(shù)列之和的數(shù)學(xué)模型。有一部分學(xué)生利用了畫正方形圖的方式建構(gòu)了相應(yīng)的奇數(shù)列模型（如圖3）。

圖3

在第一個圖形中，學(xué)生畫了1個小正方形來表示1；第二個圖形是在第一個圖形的基礎(chǔ)上增加了3個小正方形，組合成了邊長為2的正方形，表示4；第三個圖形又比第二個圖形多了5個小正方形，組合成了邊長為3的正方形，表示9；第四個圖形比第三個圖形多了7個小正方形，組合成了邊長為4的正方形，表示16。以此類推，第五個圖形、第六個圖形……的正方形的邊長分別應(yīng)為5、6……，正方形分別表示25、36……，通過觀察探究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律，明白了要想快速得出“1+3+5+7+……”的結(jié)果，重點在于這個算式中加數(shù)的個數(shù)，它們的和等于加數(shù)個數(shù)的平方。正是通過畫圖的方式啟發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維，讓學(xué)生逐漸建構(gòu)起直觀的數(shù)學(xué)模型，更容易找到最優(yōu)算法，快速解決數(shù)學(xué)問題，有效提高了計算的速度和正確率，也促進了學(xué)生計算能力的發(fā)展。

三、以形悟數(shù)，呈現(xiàn)場景感悟定律

運算定律貫穿整個小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，所以熟練掌握各種運算定律是能否準確運算的關(guān)鍵。在解決實際應(yīng)用題時，加法和乘法的交換律是最簡單也是最常用的運算定律，涉及一些復(fù)雜的計算題時，往往離不開加法和乘法的結(jié)合律及乘法分配律。交換律對于學(xué)生來講一般不難掌握，但是他們常常會對乘法分配律和乘法結(jié)合律的概念產(chǎn)生混淆。比如，在計算“（5×3）×4”時，有部分學(xué)生會把算式變形成“5×4+3×4”或者“5×4×3×4”，這就是混淆乘法結(jié)合律和乘法分配律之后出現(xiàn)的錯誤。產(chǎn)生這種錯誤的根本原因就是他們并沒有明白運算定律的實際意義，也沒有從根本上去理解運算定律。而數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢在于可以將復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)問題通過一定的場景或者圖形直觀地表達出來。因此，教師可以充分利用數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢，幫助學(xué)生理解運算定律的本質(zhì)，從而更好地掌握和運用各種運算定律。

以學(xué)習(xí)乘法分配律為例，探究如何運用數(shù)形結(jié)合思想來讓學(xué)生準確掌握運算定律。乘法分配律的標準書寫方式是“（a+b）×c=a×c+b×c”，這種帶有字母的等式對于小學(xué)生來講實在過于抽象，如果單單告訴他們“a，b，c可以代表不同的數(shù)字”，那么他們往往只會把不同的數(shù)字帶進去而得到不同的等式，壓根不知道運算定律的本質(zhì)，也做不到掌握和運用的程度。教師可以設(shè)置一個“小方格種農(nóng)作物”的情境來幫助學(xué)生理解。如圖4，設(shè)定在淺色區(qū)域種植土豆，在深色區(qū)域種植白菜，問“一共種了多少塊地”。學(xué)生從圖中能直觀看出如何列式子來解決問題，學(xué)生最容易想到的方法就是分別將土豆的種植塊數(shù)和白菜的種植塊數(shù)相加，列出算式“4×6+6×6”，并求出答案。

圖4

在此基礎(chǔ)上，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，得出不同的式子，他們很快便能觀察到其實兩種農(nóng)作物種植的列數(shù)是一致的，唯一不同的是行數(shù)，那么在求解過程中并不需要把兩種農(nóng)作物分開計算，只需要計算出它們的總行數(shù)然后再乘以列數(shù)即可，得到“（4+6）×6”，最后的答案和第一個式子是一致的。教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考“4×6+6×6是否等于（4+6）×6”，進而在形式上和乘法分配律靠攏，使得學(xué)生對于這種運算定律有了初步的認識。當然，僅憑這一個等式并不能得出乘法分配律的公式，還需要教師挖掘更多的事例。通過演練大量的數(shù)形結(jié)合的事例，學(xué)生才能掌握乘法分配律的本質(zhì)，最終熟練運用運算定律，提升運算能力。

四、以數(shù)解形，精準計算解決問題

布魯納認為，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，深入掌握一些基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)思想方法，更便于對知識的理解和記憶。而數(shù)形結(jié)合思想就是其中之一，在教學(xué)中，大部分時候教師都是用“形”來詮釋“數(shù)”的，雖然“形”有著很好的直觀形象性，但也有不容易準確表達的缺點，這時就需要用“數(shù)”來準確翻譯出“形”所表達的意思。而“數(shù)”具有抽象性的特征，能充分表達出問題的本質(zhì)。因此，在解決某些問題時，我們也可以用“數(shù)”來輔助“形”。比如，利用一些數(shù)據(jù)來表示圖形的大小，并通過對數(shù)進行運算得出更為準確的結(jié)果，加強學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的認識和掌握，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

例如，在學(xué)習(xí)完“長方形和正方形的周長與面積”這一內(nèi)容后，教師可以在練習(xí)課上圍繞“周長和面積”這兩個概念設(shè)計一道練習(xí)題：桌子上有1根1cm長的小棒，如果用12根這樣的小棒圍出長方形或正方形，可以圍出多少個，最大的面積應(yīng)是多少？這道題是對“形”的研究，但如果只是這樣，學(xué)生只能大約感受到周長一樣的情況下，如圖5的圖形面積似乎要大于如圖6的圖形面積。

圖5

圖6

那么，如何才能讓學(xué)生得出“當周長一樣時，長和寬之間的差越小，圍出的圖形面積就越大”這個結(jié)論呢？很明顯要想更加精確地進行說明，單靠“形”是無法做到的。因此，教師便進一步引導(dǎo)學(xué)生利用填表的方式（如表1），根據(jù)數(shù)的運算來解決問題。

表1 圍成的圖形的情況

學(xué)生在經(jīng)過探究后發(fā)現(xiàn)：在滿足要求的三類圖形中，面積最大的是正方形。正是通過用“數(shù)”來輔助“形”的方式，讓學(xué)生更加深刻地掌握了周長和面積這兩者之間存在的關(guān)系，使問題獲得了更加準確的解答，這也是數(shù)形結(jié)合思想的價值所在。

總之，數(shù)形結(jié)合是計算教學(xué)中不可或缺的一種思想方法和有效手段。它不僅能促進計算教學(xué)的實效性，還能發(fā)展和深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。通過以形演數(shù)、以形助數(shù)、以形悟數(shù)、以形思數(shù)、以數(shù)解形等方式來挖掘計算中蘊含的原理和規(guī)律。理解各種運算定律的本質(zhì)，讓學(xué)生學(xué)會思考，尋找解決問題的更優(yōu)思路，讓思維向更高處邁進，讓計算水平與數(shù)學(xué)素養(yǎng)獲得有效的提升。