帶殘余頻偏的LSC-DS-CDMA 信號偽碼估計*

潘微宇，趙知勁 ，2

（1.杭州電子科技大學(xué) 通信工程學(xué)院，浙江 杭州 310018；2.中國電子科技集團(tuán)第36 研究所 通信系統(tǒng)信息控制技術(shù)國家級重點實驗室，浙江 嘉興 314001）

0 引言

直接擴(kuò)頻序列碼分多址（Direct Sequence Code Division Multiple Access，DS-CDMA）采用高速率的偽碼對信息碼進(jìn)行擴(kuò)頻調(diào)制，具有較強(qiáng)的隱蔽性和抗干擾能力[1]。DS-CDMA 信號可根據(jù)擴(kuò)頻方式分為短碼（Short Code，SC）DS-CDMA 和長碼（Long Code，LC）DS-CDMA 兩種信號，為了進(jìn)一步提高保密性，利用長碼對短碼擴(kuò)頻信號做加擾處理，得到長短碼（Long and Short Code，LSC）DS-CDMA 信號。SC-DS-CDMA 信號用一周期擴(kuò)頻碼調(diào)制一個信息碼，文獻(xiàn)[2]-[3]分別采用多重信號分類法[2]和平行因子法[3]實現(xiàn)了各用戶偽碼盲估計；文獻(xiàn)[4]利用特征值分解法和Givens 矩陣旋轉(zhuǎn)法來估計SC-DS-CDMA 信號各用戶的偽碼，但在尋找Givens 矩陣旋轉(zhuǎn)角度時采用極值法，難以得到最佳旋轉(zhuǎn)角度，估計性能不佳；LC-DS-CDMA 信號用一周期擴(kuò)頻碼調(diào)制多個信息碼，文獻(xiàn)[5-6]通過構(gòu)建張量模型，分別利用TUCKER 分解[5]和CP 分解[6]估計LCDS-CDMA 信號的偽碼；文獻(xiàn)[7]采用迭代最小二乘投影算法和庫搜索估計異步LC-DS-CDMA 信號各用戶的偽碼；文獻(xiàn)[8]采用矩陣填充理論、奇異值分解和FastICA 算法估計LSC-DS-CDMA 信號各用戶復(fù)合碼，并利用m 序列三階相關(guān)特性估計出各用戶長短碼；文獻(xiàn)[9]利用FastICA 算法分離LSC-DS-CDMA 信號各用戶復(fù)合碼，并基于分圓陪集理論和三階相關(guān)特性估計長短碼。上述研究都只針對理想信號，實際接收信號總會帶有小的殘余頻偏[10]，使得上述方法無法直接使用。文獻(xiàn)[11]-[12]分別利用線性調(diào)頻Z 變換法和無跡卡爾曼濾波法估計殘余頻偏，但無法完全消除頻偏；文獻(xiàn)[13]利用特征值分解法得到帶殘余頻偏的偽碼，并通過全數(shù)字鎖相環(huán)（Digital Phase Locked Loop，DPLL）對頻偏進(jìn)行跟蹤消除，實現(xiàn)了長碼直擴(kuò)信號的偽碼估計，但并未對LSC-DS-CDMA 信號進(jìn)行研究。

針對帶殘余頻偏的LSC-DS-CDMA 信號，本文按長碼周期和短碼周期進(jìn)行二次分段構(gòu)成信號矩陣，利用特征值分解、全數(shù)字鎖相環(huán)和Givens 旋轉(zhuǎn)消除殘余頻偏和估計得到各用戶復(fù)合碼，提出了結(jié)合隨機(jī)差分和模擬退火思想的鯨魚優(yōu)化算法來求解總方差最小值的Givens矩陣的最佳旋轉(zhuǎn)角，最后根據(jù)梅西算法和相關(guān)運算估計各用戶的長碼和短碼。

1 信號模型

假設(shè)LSC-DS-CDMA 信號中各用戶擴(kuò)頻短碼和長擾碼的碼片速率相等，且已完成盲同步[8]，以擴(kuò)頻短碼碼片速率對接收到的信號進(jìn)行采樣，則包含R 個用戶的帶殘余載波的LSC-DS-CDMA 信號模型為：

其中，f△為殘余頻偏；φ ∈（0，2π）表示均勻分布的隨機(jī)相位；Ar、dr（n）、sr（n）分別表示第r 個用戶的信號幅度、信息碼和復(fù)合碼，sr（n）=br（n）cr（n），br（n）表示周期為Nb的擴(kuò)頻短碼，選用Walsh碼，cr（n）表示周期為Nc的長擾碼，選用m 序列；各個用戶的信息碼、短碼和長擾碼均相互獨立；Nh=PNc為接收信號長度，P 表示信號周期個數(shù)，M=「Nc/Nb表示一周期復(fù)合碼所調(diào)制的信息碼個數(shù)，“「”為向上取整；w（n）表示均值為零、方差為σ2的復(fù)高斯白噪聲。

先以長擾碼周期Nc對接收信號進(jìn)行分段，yp=[y（（p-1）Nc+1）y（（p-1）Nc+2）…y（pNc）]H，p=1，2，…，P。由于一周期的長擾碼包含M 個擴(kuò)頻短碼，因此可利用短碼周期Nb對yp再進(jìn)行分段，ypm=[y（（p-1）Nc+（m-1）Nb+1）y（（p-1）Nc+（m-1）Nb+2）…y（（p-1）Nc+mNb）]H，將不同接收信號周期p中的第m 段信號依次進(jìn)行排列，可得共M 個信號矩陣，表示為：

由式（2）可知，每個信號矩陣中均包含了各用戶的復(fù)合碼片段信息和載波頻偏，因此首先需要消除載波頻偏影響，依次估計出各用戶完整的復(fù)合碼，最后可由復(fù)合碼估計得到各用戶的長短碼。

2 基于DPLL 和Givens 旋轉(zhuǎn)的復(fù)合碼估計

令z（n）=ej（2πf△n+φ），矩陣ypm的向量形式可表示為：

其中，wpm表示第周期p 中的第m 段信號的噪聲，srm=[sr（（m-1）Nb+1）…sr（mNb）]H，dr[（p-1）M+m]表示srm對應(yīng)的信息 碼。Zpm=diag{z[（p-1）Nc+（m-1）Nb+1]，z[（p-1）Nc+（m-1）Nb+2]，…，z[（p-1）Nc+mNb]}，還可表示為：

其中，Z11=diag{ej（2πf△nb）}，由于各用戶間擴(kuò)頻短碼和長擾碼相互獨立，且不同用戶的信息碼與噪聲統(tǒng)計獨立[14]，結(jié)合式（4），可得ypm的自相關(guān)矩陣為：

2.1 殘余頻偏消除

記Gm=Z11Hm=Z11[h1m，h2m，…，hRm]，hrm=[hrm（1），hrm（2），…，hrm（Nb）]H表示Hm中第r個特征向量。由于Z11=diag{ej（2πf△nb）}，則Grm=Z11hrm可以展開為：

利用DPLL 消除殘余載波[13]，得到第r 個特征向量的估計值rm。將Gm中R 個特征向量依次送入DPLL 進(jìn)行殘余載波的跟蹤消除，得到Hm的估計值

2.2 復(fù)合碼估計

信號子空間Hm中的R 個特征向量無法保證與R個用戶的復(fù)合碼一致，從空間幾何的角度看，Hm和真正的復(fù)合碼序列子空間Sm=[s1m，s2m，…，sRm]存在一定的夾角[4]，利用Givens 旋轉(zhuǎn)可實現(xiàn)信號子空間對應(yīng)的角度旋轉(zhuǎn)，以得到真正的復(fù)合碼序列子空間估計。Givens 旋轉(zhuǎn)矩陣表示為：

其中，θr1，r2∈（0，2π），0＜r1，r2≤R。將視為荷載矩陣，利用（R-1）個Givens 旋轉(zhuǎn)矩陣T1，2，T2，3，…，TR-1，R對其進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，即：

3 鯨魚優(yōu)化算法的改進(jìn)及偽碼估計

3.1 鯨魚優(yōu)化算法（WOA）

WOA 算法具體分為包圍獵物、螺旋泡沫網(wǎng)狩獵和搜索獵物三部分。利用適應(yīng)度函數(shù)f（X（t+1））來衡量鯨魚，令包圍獵物和螺旋泡沫網(wǎng)狩獵兩種方式的概率p 相同[17]，當(dāng)p＜0.5 時采取包圍獵物方式，p≥0.5 時采取螺旋泡沫網(wǎng)狩獵方式，更新公式為：

其中，t 為當(dāng)前迭代次數(shù)；X（t）為當(dāng)前鯨魚個體位置，X*（t）為當(dāng)前最優(yōu)個體位置；b為常數(shù)，ε 為[-1，1]間的隨機(jī)數(shù)，p 為[0，1]間的隨機(jī)數(shù)；I1和I2為系數(shù)變量，分別表示為：

式中，i1和i2為 [0，1]間的隨機(jī) 向量，tmax為最大迭代次數(shù)，α 為由2 線性遞減至0的收斂因子。

鯨魚除了圍捕獵物外，還可以隨機(jī)尋找新的獵物，當(dāng)|I1|＜1 時利用式（10）進(jìn)行位置更新，當(dāng)|I1|≥1時隨機(jī)選擇一個鯨魚個體作為當(dāng)前最優(yōu)個體，其他個體向其靠攏，表達(dá)式為：

其中，Xr（t）為隨機(jī)選擇的鯨魚個體位置。

3.2 結(jié)合模擬退火思想的隨機(jī)差分變異鯨魚優(yōu)化算法（SA-IWOA）

為了提升鯨魚算法的全局搜索能力，首先對收斂因子α 改進(jìn)如下：

改進(jìn)后的α 在算法初期數(shù)值較大且緩慢減小，可以擴(kuò)大搜索范圍，加強(qiáng)全局搜索能力；在后期α 減小快，加強(qiáng)局部搜索能力。

然后利用隨機(jī)差分變異策略對位置更新后的鯨魚種群進(jìn)行如式（16）所示的擾動更新：

其中，“·”為點乘運算，I3為[0，1]間的隨機(jī)向量，Xp（·）表示擾動位置，（t）為隨機(jī)選擇的鯨魚個體位置。增強(qiáng)種群個體的多樣性，防止算法早熟而陷入局部最優(yōu)。

最后利用模擬退火的思想，在每次擾動更新后，如果新個體的適應(yīng)度函數(shù)f（Xp（t+1））比更新前的f（X（t））小，則接受更新；否則通過接受概率判斷是否更新，這樣使種群個體往最優(yōu)解靠近的同時，使算法具有跳出局部最優(yōu)的能力。接受概率γ 為：

其中，β表示溫度。

3.3 基于SA-IWOA 的最優(yōu)角度求解

令X=[θ1，2，θ2，3，…，θR-1，R]為鯨魚個體，將矩陣的總方差值視作適應(yīng)度函數(shù)，即，根據(jù)式（7）～式（9），可由X 計算得到。利用SA-IWOA 求解的具體步驟如下：

（1）初始化算法參數(shù)：種群數(shù)目J、最大迭代次數(shù)tmax、初始溫度β、i1和i2；

（3）根據(jù)式（10）和式（14）更新鯨魚位置，利用式（7）計算Givens 旋轉(zhuǎn)矩陣?yán)檬剑?）計算m，計算各鯨魚個體的f（X（t））；

（4）根據(jù)式（16）對位置更新后的鯨魚個體進(jìn)行擾動更新，利用式（7）計算Givens 旋轉(zhuǎn)矩陣?yán)檬剑?）計算m，計算每個鯨魚個體的f（Xp（t+1））；

（5）若f（Xp（t+1））＜f（X（t）），則X（t+1）=Xp（t+1）；否則，產(chǎn)生一個隨機(jī)數(shù)I4∈[0，1]，利用式（17）計算γ，當(dāng)I4落在區(qū)間[γ，1]內(nèi)時，X（t+1）=Xp（t+1），反之X（t+1）=X（t+1），然后進(jìn)行退溫操作：β′=0.95β；

（6）記錄此時總方差值最小的鯨魚個體即最優(yōu)個體Xg，判斷迭代次數(shù)是否為最大值，若是，則輸出最優(yōu)個體，否則分別根據(jù)式（11）、式（12）和式（15）更新參數(shù)I1、I2和α；返回步驟（3）繼續(xù)執(zhí)行。

3.4 長擾碼和擴(kuò)頻短碼的估計

由式（2）可知，依次估計出M 個信號矩陣Ym中的各用戶復(fù)合碼片段，然后按順序進(jìn)行拼接，即可得到共RM個長度為Nc的模糊序列其 中。R 個用戶的復(fù)合碼就包含在這RM個模糊序列中，將其記為。但由于每段復(fù)合碼都可以獨立取正負(fù)號，導(dǎo)致存在幅度模糊的問題，且還存在短碼的影響，無法估計各用戶的長擾碼，通過兩次延遲相乘的方式消除幅度模糊和短碼影響：

其中，1≤n≤Nb，1≤λ1≤R。

所以可得本文提出的帶殘余載波的LSC-DS-CDMA信號偽碼估計算法（簡記為LSC-SA-IWOA）主要步驟如下：

（1）利用長碼和短碼周期對接收信號進(jìn)行2 次分段，構(gòu)成帶殘余載波的接收信號矩陣Ym；

（2）對信號矩陣進(jìn)行特征值分解，得到帶殘余載波的信號子空間Gm；

（4）利用SA-IWOA 算法求解最優(yōu)旋轉(zhuǎn)角，并利用Givens旋轉(zhuǎn)矩陣對信號子空間進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，得到各用戶的復(fù)合碼估計m；

（5）通過兩次延遲相乘的方式消除幅度模糊和短碼影響，并根據(jù)梅西算法和相關(guān)運算分別獲得長碼和短碼估計。

4 算法仿真與性能分析

在仿真實驗中，各用戶的信號幅度相同，即Ar=A；信息碼是隨機(jī)生成的序列{+1，-1}；定義信噪比（Signal Noise Ratio，SNR）為表示接收信號方差；長擾碼使用8 階m 序列，擴(kuò)頻短碼使用周期長度為Nb=64 的OVSF 碼；種群數(shù)目J=50，最大迭代次數(shù)tmax=400，初始溫度β=1。長碼和短碼的誤碼率的平均值稱為長短碼誤碼率，用其衡量算法的偽碼估計性能。以下仿真結(jié)果均為400 次蒙特卡洛實驗的平均。

4.1 實驗1：不同頻偏對長短碼估計性能的影響

接收信號周期數(shù)P=100，用戶數(shù)R=2，當(dāng)頻偏分別為f△=0、f△=±0.02、f△=±0.03、f△=±0.04時，本文算法對長短碼估計的長短碼誤碼率曲線如圖1 所示。

圖1 不同頻偏對長短碼估計性能的影響

由圖1 可知，當(dāng)|f△|相同時，誤碼率基本相同；當(dāng)|f△|逐漸增大時，誤碼率也逐漸升高，當(dāng)頻偏分別為f△=0、f△=0.02、f△=0.03 和f△=0.04時，誤碼率低于1%時本文算法所需的信噪比分別為-7.1 dB、-5.5 dB、-4.8 dB、-3.9 dB，說明DPLL 能有效去除殘余頻偏。

4.2 實驗2：不同周期數(shù)對長短碼估計性能的影響

殘余頻偏f△=0.02，用戶數(shù)R=2，當(dāng)接收信號周期數(shù)P 分別為50、100 和150時，本文算法的長短碼誤碼率曲線如圖2 所示。

圖2 不同周期數(shù)對長短碼估計性能的影響

由圖2 可知，接收信號周期數(shù)越多，誤碼率越低。當(dāng)接收信號周期數(shù)P 分別為50、100 和150，誤碼率低于1%時本文算法所需的信噪比分別為-2.5 dB、-5.5 dB、-6.9 dB。因為接收信號周期數(shù)越多，其包含的有用信息更多，特征值分解法的結(jié)果越準(zhǔn)確，利用Givens 矩陣旋轉(zhuǎn)和SA-IWOA 算法估計的復(fù)合碼也就越準(zhǔn)確，最終利用梅西算法和相關(guān)運算估計長短碼的誤碼率就越低。

4.3 實驗3：不同用戶數(shù)對長短碼估計性能的影響

接收信號周期數(shù)P=100，殘余頻偏f△=0.02，當(dāng)用戶數(shù)R 分別為2、3 和4時，本文算法的長短碼誤碼率曲線如圖3 所示。

圖3 不同用戶數(shù)對長短碼估計性能的影響

由圖3 可知，用戶數(shù)越多，長短碼估計性能越差。因為用戶數(shù)越多，用戶間信號干擾越大，導(dǎo)致特征值分解法的結(jié)果誤差越大，使得Givens 矩陣旋轉(zhuǎn)的誤差越大，導(dǎo)致最終的長短碼估計性能越差。

4.4 實驗4：鯨魚算法對比

接收信號周期數(shù)P=100，殘余頻偏f△=0.02，用戶數(shù)R=2，當(dāng)信噪比為-9 dB時，應(yīng)用本文所提出的SA-IWOA算法、混沌鯨魚算法（COWA）[17]和隨機(jī)差分鯨魚算法（IWOA）[20]得到的適應(yīng)度函數(shù)即總方差值隨迭代次數(shù)的變化如圖4 所示。

圖4 總方差值隨迭代次數(shù)的變化圖

由圖4 可知，本文所提的SA-IWOA 算法收斂速度最快，求得的總方差值最小，即估計的旋轉(zhuǎn)角度優(yōu)于IWOA和COWA 算法的。

4.5 實驗5：偽碼估計算法對比

實驗條件同實驗4，將CWOA 和IWOA 用于本文算法中分別簡記為LSC-CWOA 和LSC-IWOA，本文算法LSC-SA-IWOA 和LSC-CWOA、LSC-IWOA、文獻(xiàn)[4]算法的長短碼誤碼率如圖5 所示。

圖5 長短碼誤碼率對比

由圖5 可知，本文算法的誤碼率最低，其次是LSCIWOA 算法，然后是LSC-CWOA 算法，最后是文獻(xiàn)[4]的極值法。極值法在估計總方差的最小值時，極易得到局部最優(yōu)解，缺乏全局搜索的能力；CWOA 利用混沌序列增加了全局搜索的能力，但局部搜索的能力不強(qiáng)；IWOA 利用隨機(jī)差分變異的方式增加全局搜索的能力，但變異的結(jié)果隨機(jī)，差的變異結(jié)果在一定程度上影響了最優(yōu)角度的求解。

5 結(jié)論

針對帶殘余載波的LSC-DS-CDMA 信號的偽碼估計，先根據(jù)長碼周期和短碼周期對接收信號進(jìn)行分段并構(gòu)建矩陣；接著利用特征值分解和DPLL 得到消除殘余頻偏的用戶特征向量子空間；再根據(jù)Givens 矩陣旋轉(zhuǎn)，利用結(jié)合SA-IWOA 算法求出最佳旋轉(zhuǎn)角，估計出各用戶的復(fù)合碼序列并依次拼接；最后利用梅西算法和相關(guān)運算估計各用戶的長碼和短碼。仿真實驗表明，本文算法能有效估計帶殘余頻偏的LSC-DS-CDMA 信號偽碼，估計性能優(yōu)于文獻(xiàn)[4]的極值法，所提出的SA-IWOA 算法的尋優(yōu)性能優(yōu)于IWOA 和CWOA。