里引德起伯的原弱子光中孤非子厄偏米折電及磁其誘操導(dǎo)控光*柵

高潔 杭超2)3)?

1) (華東師范大學(xué)，精密光譜科學(xué)與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200241)

2) (紐約大學(xué)-華東師范大學(xué)聯(lián)合物理研究所，上海 200122)

3) (山西大學(xué)，極端光學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心，太原 030006)

1 引言

宇稱-時(shí)間(parity-time，PT) 對(duì)稱的概念最初是在量子力學(xué)的框架下提出的.1998 年，Boettcher和Bender[1]發(fā)現(xiàn)滿足PT 對(duì)稱的一系列非厄米哈密頓算符，也能支持全實(shí)的能量本征譜，開辟了研究開放量子系統(tǒng)的新途徑.事實(shí)上，PT 對(duì)稱對(duì)于具有全實(shí)本征譜的非厄米哈密頓算符來說是一個(gè)充分而非必要條件，因此當(dāng)哈密頓算符的非厄米程度增加時(shí) (通常增加算符中的增益/損耗項(xiàng)來實(shí)現(xiàn))，一部分實(shí)的本征譜會(huì)成為復(fù)的，這種現(xiàn)象被稱為自發(fā)PT 對(duì)稱性破缺[2].注意到Maxwell 方程在傍軸近似下導(dǎo)出的光場(chǎng)傳輸方程與量子力學(xué)中的薛定諤方程在數(shù)學(xué)形式上非常相似，PT 對(duì)稱的概念很快被人們引入光學(xué)領(lǐng)域中[3，4].通過類比，光學(xué)PT 對(duì)稱系統(tǒng)可以通過構(gòu)造一個(gè)依賴于空間坐標(biāo)的光學(xué)勢(shì)V(r)，且使該光學(xué)勢(shì)滿足PT 對(duì)稱條件:V(r)=V(-r)*來實(shí)現(xiàn).由于光學(xué)勢(shì)的實(shí)部對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的折射率，虛部對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的增益或損耗，因而條件V(r)=V(-r)*等價(jià)于系統(tǒng)的折射率分布為偶對(duì)稱，增益/損耗分布為奇對(duì)稱.近年來，隨著光學(xué)實(shí)驗(yàn)技術(shù)的不斷發(fā)展以及光學(xué)新材料的不斷涌現(xiàn)，人們?cè)诓煌墓鈱W(xué)PT 對(duì)稱系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了許多新奇的物理現(xiàn)象并且實(shí)現(xiàn)了很多重要的應(yīng)用，包括光學(xué)放大[5]、非互易光傳播[6，7]、完美吸收與無閾值激光[8-13]、增強(qiáng)靈敏度[14-16]及量子信息處理[17，18]等.此外，人們還研究了PT 對(duì)稱條件下非線性光學(xué)系統(tǒng)中光孤子的形成、傳播及操控特性[19-29]，為利用光孤子實(shí)現(xiàn)信息傳輸與處理打下了理論基礎(chǔ).

另一方面，近年來大量關(guān)于里德伯原子系統(tǒng)的研究工作涌現(xiàn)出來.里德伯原子是指主量子數(shù)非常大的高激發(fā)態(tài)原子[30]，里德伯原子的軌道半徑、碰撞截面、原子壽命、電偶極矩、電極化率等都與主量子數(shù)的冪次成正比，較普通原子大得多.通過調(diào)節(jié)原子密度等參數(shù)，里德伯原子之間的偶極-偶極相互作用不僅可以很強(qiáng)，而且可以改變12 個(gè)數(shù)量級(jí)，從而呈現(xiàn)出許多十分有趣的物理現(xiàn)象.特別地，由于激光冷卻與囚禁技術(shù)的發(fā)展，使得里德伯原子的研究進(jìn)入了一個(gè)嶄新的發(fā)展階段.超冷里德伯原子不僅為實(shí)現(xiàn)高分辨、高靈敏、高精度量子調(diào)控與精密測(cè)量提供了新的有力手段[31]，而且為探索各種重要的量子多體效應(yīng)以及量子信息與計(jì)算提供了十分有效的研究平臺(tái)[32].尤其值得注意的是，通過和電磁感應(yīng)透明(electromagnetically induced transparency，EIT)[33]相結(jié)合，里德伯-EIT 系統(tǒng)中的非線性光學(xué)效應(yīng)不僅能比傳統(tǒng)EIT 系統(tǒng)大4—5 個(gè)數(shù)量級(jí)，還具有可調(diào)非局域特性，為非局域非線性光學(xué)[34，35]、非線性量子光學(xué)[36，37]等研究開辟了新的研究方向.

本文在里德伯-EIT 系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)了具有PT 對(duì)稱的電磁感應(yīng)誘導(dǎo)光柵 (electromagnetically induced grating，EIG)[38-42]，即實(shí)現(xiàn)了光柵的折射率分布是偶函數(shù)，增益/損耗分布是奇函數(shù)，并研究了系統(tǒng)中探測(cè)光場(chǎng)在到達(dá)EIG 前形成孤子的過程以及經(jīng)e 過EIG 時(shí)引起的偏折現(xiàn)象.我們發(fā)現(xiàn)，由于里德伯-EIT 系統(tǒng)具有很強(qiáng)的非線性光學(xué)效應(yīng)(可比通常的非線性光學(xué)介質(zhì)大10 個(gè)數(shù)量級(jí)以上)，因此只需要很少的輸入探測(cè)光能量(幾個(gè)納瓦的輸入能量)就能形成穩(wěn)定的光孤子.另外還發(fā)現(xiàn)，通過改變EIG 的增益/損耗系數(shù)、EIG 周期、以及原子的克爾非線性非局域度都可以有效地改變探測(cè)光孤子的偏折程度和狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)對(duì)弱光孤子偏折的主動(dòng)操控.本文的研究結(jié)果可為未來利用PT 對(duì)稱EIG實(shí)現(xiàn)全光控制和光信息處理等相關(guān)應(yīng)用提供一定的理論依據(jù).

2 物理模型

考慮超冷倒Y 型四能級(jí)原子氣體與激光場(chǎng)相互作用的系統(tǒng)，如圖1(a)所示.在該系統(tǒng)中，與原子相互作用的激光場(chǎng)可以寫為E=Ep+Ec+Ea，其 中Ej=ejEjexp[i(kj ·r-ωjt)]+c.c. (j=p，c，a ;p 表示探測(cè)場(chǎng)，c 表示控制場(chǎng)，以及a 表示輔助場(chǎng)).這里，ej為光場(chǎng)的極化方向單位矢量;Ej為光場(chǎng)的振幅;ωp為弱探測(cè)場(chǎng)的角頻率(對(duì)應(yīng)波矢為kp，半拉比頻率為Ωp)，耦合能級(jí)|1〉 與|3〉 之間的躍遷;ωc為強(qiáng)控制場(chǎng)的角頻率(對(duì)應(yīng)波矢為kc，半拉比頻率為Ωc)，耦合能級(jí)|2〉 與|3〉 之間的躍遷;ωa為較強(qiáng)輔助場(chǎng)的角頻率(對(duì)應(yīng)波矢為ka，半拉比頻率為Ωa)，耦合能級(jí)|3〉 與|4〉 之間的躍遷.此外，探測(cè)光與控制光沿z軸的正方向傳播，輔助光沿z軸的負(fù)方向傳播.為了實(shí)現(xiàn)PT 對(duì)稱的光學(xué)勢(shì)，引入了非相干泵浦(泵浦率為Γ21)，將原子布居數(shù)從能級(jí)|1〉 泵浦到能級(jí)|2〉 上，使探測(cè)光可以工作在受激輻射模式，從而獲得光學(xué)增益.在具體的實(shí)驗(yàn)中，非相干泵浦可以通過入射一束中心頻率與相關(guān)能級(jí)躍遷共振但是線寬很寬的激光來實(shí)現(xiàn)[43].考慮到能級(jí)|1〉 和|2〉 是基態(tài)的精細(xì)分裂，可采用入射線寬很寬的微波場(chǎng)來實(shí)現(xiàn).

圖1 里德伯-EIT 系統(tǒng)的能級(jí)圖、裝置示意圖、以及非線性響應(yīng)函數(shù)的空間分布 (a) 里德伯-EIT 系統(tǒng)的能級(jí)圖.能級(jí)|1〉 ，|2〉，和|3〉 構(gòu)成經(jīng)典的 Λ 型EIT，其中探測(cè)場(chǎng) Ep 耦合能 級(jí)躍遷|1〉?|2〉，控制場(chǎng) 耦合能 級(jí)躍遷|2〉?|3〉 ，Δ j 為失諧 量，Γ jl 為能級(jí) |l〉到能級(jí)|j〉 的自發(fā)輻射衰減率.里德伯能級(jí)|4〉 通 過輔助光場(chǎng) Ea 與能級(jí)|3〉 遠(yuǎn)共振耦合.引入非相干泵浦(泵浦率 Γ21)將原子從能級(jí)|1〉 泵浦到能級(jí)|2〉 .里德伯原子之間的相互作用(即里德伯-里德伯相互作用)由范德瓦耳斯相互作用勢(shì) Vvdw 描述 (Vvdw 的表達(dá)式在文中給出).(b) 里德伯-EIT 系統(tǒng)的裝置示意圖.(c) 非線性響應(yīng)函數(shù)實(shí)部和虛部的空間分布，Re(W (ξ))(紅色實(shí)線表示)和Im(W (ξ))(藍(lán)色虛線表示);橫坐標(biāo)為 ξ=x/w0 .圖中所用的系統(tǒng)參數(shù)在正 文中給出Fig.1.Level diagram and excitation scheme of the Rydberg-EIT，possible setting，and spatial distributions of the nonlinear response function.Energy levels|1〉 ，|2〉，and|3〉 constitute a Λ -type EIT configuration，where the probe laser field Ep couples the transition|1〉?|2〉 and the control laser field Ec couples the transition|2〉?|3〉 .Δ j are detunings and Γ jl are the spontaneous-emission decay rate from |l〉 to|j〉 .The Λ -type EIT is dressed by a high-lying Rydberg state|4〉，which is far-off-resonantly coupled to state|3〉 through an assistant laser field Ea .An incoherent pumping (with the pumping rate Γ21) is introduced to pump the atoms from |l〉 to|2〉 .The interaction between two Rydberg atoms is described by the van der Waals potential Vvdw(given in the text).(b) Possible setting of the Rydberg-EIT system.(c) Spatial distributions of the real and imaginary parts of the nonlinear response function，Re (W) (the red solid line) and Im (W) (the blue dashed line)，as functions of ξ=x/w0 .

在電偶極近似和旋轉(zhuǎn)波近似下，包含原子間相互作用(里德伯∫-里德伯相互作用)的體系哈密頓量寫作:Na，其中 是原子氣體密度，H(r，t) 是哈密頓量密度，在相互作用表象下可進(jìn)一步寫成:

其中與能級(jí)|α〉，|β〉相關(guān)的 躍遷算 符定義為，該算符滿足對(duì)易關(guān)系 [Sαβ(r，t)，Sμν(r′，t)]=(1/Na)δ(r-r′);Δα為失諧量，定義為Δ2=ωp-ωc-(ω2-ω1) ，Δ3=ωp-(ω3-ω1)，以及Δ4=(ω4-ω1)-ωp-ωa，其中ωα是能級(jí)|α〉的 本征頻率;控制場(chǎng)、探測(cè)場(chǎng)和輔助場(chǎng)的半拉比頻率分別定義為Ωp=(ep·p31)Ep/?，Ωc=(ec·p32)Ec/?，和Ωa=(ea·p43)Ea/?，其中pαβ是能級(jí)|α〉與|β〉之間的電偶極矩陣元.哈密頓量表達(dá)式中的最后一項(xiàng)表示兩個(gè)激發(fā)到里德伯態(tài)的原子分別在位置r和r′之間的遠(yuǎn)程相互作用，由范德瓦耳斯相互作用勢(shì)?Vvdw(r′-r) 表示，其中Vvdw(r′-r)=C6/|r′-r|6，C6為色散系數(shù).

相干原子的演化動(dòng)力學(xué)由密度矩陣方程(Bloch 方程)來描述，具體形式如下:

探測(cè)光場(chǎng)的傳播動(dòng)力學(xué)由Maxwell 方程來描述，在慢變包絡(luò)近似下可寫為

其中耦合系數(shù)κ13≡Naωp|p13|2/(2ε0c?)，Na表示原子密度.方程中關(guān)于橫向坐標(biāo)x和y的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)表示探測(cè)場(chǎng)在傳播過程具有衍射效應(yīng).

如果探測(cè)場(chǎng)隨時(shí)間變化很慢，可以令Maxwell-Bloch 方程(2)和(3)中的時(shí)間求導(dǎo)項(xiàng)為零 (即求穩(wěn)態(tài)解)，此時(shí)方程將簡化為代數(shù)方程.此外，輔助場(chǎng)與能級(jí)|3〉，|4〉 之間的躍遷為遠(yuǎn)共振耦合，即滿足條件|Δ3-Δ4|?Ωa，因此只有很小一部分原子能被激發(fā)到里德伯態(tài).由于探測(cè)場(chǎng)的強(qiáng)度比控制場(chǎng)和輔助場(chǎng)都小得多，可使用漸進(jìn)展開:Ωp=來求解方程，其中ε是一個(gè)正比于Ωp/Ωc的小量.將漸進(jìn)展開式代入Maxwell-Bloch 方程(2)和(3)，可對(duì)方程逐級(jí)求解[44，45].注意到在首級(jí)(O(1))近似下，探測(cè)場(chǎng)約為零，且處于里德伯態(tài)|4〉 上的原子布居數(shù)也近似為零，方程(2)和(3)的零級(jí)解為

描述探測(cè)場(chǎng)傳播的非線性方程可以在三級(jí)(O(ε3))近似下得到.為了方便后面的討論，將探測(cè)場(chǎng)傳播方程寫成無量綱的形式:

其中，探測(cè)場(chǎng)的無量綱振幅U=Ωp/Ωp0(Ωp0是探測(cè)場(chǎng)的特征半拉比頻率)，無量綱坐標(biāo)ζ=z/Ldiff是特征衍射長度;w0是探測(cè)光束的束腰半徑)，以及 (ξ，ξ′)=(x，x′)/w0.無量綱的光學(xué)勢(shì)V(ξ) 可表達(dá)為

(系數(shù)Aj，Bj可由具體的系統(tǒng)參數(shù)確定[44，45]，η=y/w0.在方程(5)的推導(dǎo)中，為了進(jìn)一步簡化問題，假設(shè)輸入探測(cè)場(chǎng)在y和z方向上的空間分布遠(yuǎn)大于原子的里德伯-里德伯相互作用范圍(該范圍可用里德伯阻塞半徑來刻畫，見下面方程(9)中的定義).因此，非局域非線性響應(yīng)函數(shù)在y，z方向上可近似為局域響應(yīng)函數(shù)，僅保留x方向上的非局域性.其次，方程(5)中忽略了由于光子-原子相互作用引起的克爾非線性，這是因?yàn)樵谕ǔ５脑用芏认?，光?原子相互作用引起的克爾非線性比里德伯-里德伯相互作用引起的克爾非線性要小好幾個(gè)數(shù)量級(jí)(前者與原子密度成正比;后者與原子密度的平方成正比).

為了更好地比較各種不同效應(yīng)的重要性，下面以處于低溫的鍶87 (87Sr) 原子氣體為例，原子能級(jí)選為|1〉=|5s21S0，F(xiàn)=9/2，mF=-1/2〉，|2〉=|5s21S0，F(xiàn)=9/2，mF=3/2〉，|3〉=|5s5p1P1〉，以及|4〉=|5sns1S0〉 .主量子數(shù)選為n=60，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)色散系數(shù)C6≈2π×10.9 GHz·μ m6;非相干泵浦率取為Γ21≈2π×0.1 MHz;自發(fā)輻射衰減率分別 為Γ2=Γ12≈2π×0.1 MHz，Γ3=Γ13+Γ23≈2π×16 MHz (Γ13≈Γ23)，以 及Γ4=Γ34≈2π×16.7 kHz;原子氣體密度取為Na=1.0×1012cm-3;失諧量分別為Δ2=-1.186 MHz，Δ3=50 MHz，以及Δ4=-100 MHz;控制場(chǎng)以及輔助場(chǎng)的半拉比頻率 分別取 為Ωc=Ωc0=15 MHz 以 及Ωa=Ωa0=10 MHz.從以上參數(shù)的取值可以看到遠(yuǎn)共振耦合條件可以得到滿足，即|Δ3-Δ4|/Ωa=15?1 .選取探測(cè)光在x方向上的束腰半徑為w0=10 μ m(光在y方向上的束腰半徑大于w0，即探測(cè)光的橫截面是橢圓形的，短軸在x方向上，長軸在y方向上)，可以得到系統(tǒng)的衍射特征長度為Ldiff=1.4 mm.

使用以上參數(shù)并進(jìn)一步選取Ωp0≈0.1 MHz，可 以得到非線性響應(yīng)函數(shù)的近似表達(dá)式:

其中里德堡阻塞半徑Rb為

δEIT=|Ωa|2/|Δ3-Δ4|表示EIT 透明窗口的頻率寬度.注意，方程(8)所給出的非線性響應(yīng)函數(shù)是歸一化的，即∫dξW(ξ)≈1，這與局域極限情況下W(ξ′-ξ)→δ(ξ′-ξ) 保持一致.由于鍶87 原子具有相互吸引的里德伯-里德伯相互作用 (C6＞0)，因此可以得到 R e(W)＞0，即方程(5) 中的克爾非線性是自聚焦的，這對(duì)于亮孤子的形成至關(guān)重要.圖1(c)給出了非線性響應(yīng)函數(shù)的實(shí)部和虛部在x方向上的分布，即Re(W(ξ))和Im(W(ξ)).從圖中可以看到，雖然W是個(gè)復(fù)數(shù)，但是其實(shí)部大虛部一個(gè)數(shù)量級(jí)以上，因此W可近似地視為實(shí)數(shù).此外，為了更好地顯示克爾非線性的非局域程度，定義非局域度σ=Rb/w0.由上面的參數(shù)可得非局域度σ≈0.56，值得注意的是σ的控制可以通過改變里德伯阻塞半徑Rb或探測(cè)光束腰半徑w0來實(shí)現(xiàn).

到目前為止，方程(5)中的光學(xué)勢(shì)并不依賴于空間位置，為了使光學(xué)勢(shì)依賴于空間坐標(biāo)并滿足周期性和PT 對(duì)稱，令控制場(chǎng)和輔助場(chǎng)都具有空間分布.事實(shí)上，本文所要實(shí)現(xiàn)的光學(xué)勢(shì)(目標(biāo)勢(shì))具有如下形式:

其中V0是常數(shù)，V1(V2)是光學(xué)勢(shì)空間調(diào)制部分實(shí)部(虛部)的深度，K是空間調(diào)制的頻率(周期為Λ=2πw0/K);分布函數(shù)f(ζ) 寫為

表示光學(xué)勢(shì)空間調(diào)制部分在z方向上的范圍，其中ζon，ζoff和ζs分別表示勢(shì)的調(diào)制部分打開和關(guān)閉的位置以及打開和關(guān)閉所需要的距離.光學(xué)勢(shì)的空間調(diào)制部分所起的作用相當(dāng)于EIG，而且滿足條件V(ξ，ζ)=V(-ξ，ζ)*，即V(ξ，ζ) 在x方向具 有PT 對(duì)稱.特別地，在線性情況下(即不考慮克爾非線性項(xiàng)時(shí))，當(dāng)V2＞V1時(shí)，EIG 發(fā)生自發(fā)PT 對(duì)稱破缺.

有了上面給出的系統(tǒng)參數(shù)，目標(biāo)光學(xué)勢(shì)(10)式可以通過設(shè)計(jì)控制場(chǎng)和輔助場(chǎng)的空間分布來實(shí)現(xiàn).通過使用文獻(xiàn)[46，47]中提出的方法，能夠得到控制場(chǎng)和輔助場(chǎng)的具體形式取為從(12)式可以看到，當(dāng)ζon≤ζ≤ζoff時(shí)(即在光學(xué)勢(shì)的空間調(diào)制部分或EIG 區(qū)域內(nèi))，控制場(chǎng)和輔助場(chǎng)的半拉比頻率分別在Ωc0和Ωa0附近變化.在具體的實(shí)驗(yàn)中，控制場(chǎng)和輔助場(chǎng)的空間分布可以通過在EIG 區(qū)域內(nèi)采用具有駐波形式的額外的控制場(chǎng)和輔助場(chǎng)來實(shí)現(xiàn)，即需要在EIG 區(qū)域內(nèi)沿x方向額外入射一對(duì)相向傳播的控制場(chǎng)和一對(duì)相向傳播的輔助場(chǎng)(見圖1(b) 中的以及).

事實(shí)上，控制場(chǎng)和輔助場(chǎng)的空間分布也會(huì)使方程(5)中的克爾非線性項(xiàng)產(chǎn)生空間調(diào)制.然而，考慮到克爾非線性與線性折射率和增益/損耗相比是高階效應(yīng)，并且克爾非線性的空間調(diào)制部分遠(yuǎn)小于空間不變的部分，因此可以忽略其空間調(diào)制部分，將其視為一個(gè)空間不變的量.

圖2(a)給出了EIG 實(shí)部和虛部在x方向上的分布，即Re(V(ξ))和Im(V(ξ))，調(diào)制系數(shù)取為V1=V2=0.01 .可以看到EIG 的實(shí)部在x方向上是偶對(duì)稱的，虛部在x方向上是奇對(duì)稱的，符合PT 對(duì)稱的要求.圖2(b)給出了控制場(chǎng)和輔助場(chǎng)在x方向上的分布，即Ωc(ξ) 和Ωa(ξ) .

圖2 EIG 以及控制場(chǎng)和輔助場(chǎng)的空間分布 (a) EIG 的實(shí)部和虛部在 x 方向上的分布，Re(V (ξ))(紅色實(shí)線表示)和Im(V (ξ))(藍(lán)色虛線表示);(b) 控制場(chǎng)和輔助場(chǎng)在 x 方向上的分布，Ωc(ξ)/Ωc0 (紅色實(shí)線表示)和 Ω a(ξ)/Ωa0 (藍(lán)色虛線表示).圖中，橫坐標(biāo)為 ξ=x/w0，調(diào)制系數(shù)取值為 V1=V2=0.01，其他系統(tǒng)參數(shù)在 文中給出Fig.2.Spatial distributions of the optical potential and the control and assistant fields:(a) Real and imaginary parts of the optical potential，Re (V) (solid red line) and Im (V) (blue dashed line)，as functions of ξ=x/w0 ;(b) half Rabi frequencies of the control and assistant fields，Ωc (red solid line) and Ωa (blue dashed line)，as functions of ξ=x/w0 .In all panels，V1=V2=0.01 .Other system parameters are given in the text.

3 光孤子偏折與導(dǎo)引

討論完探測(cè)場(chǎng)傳播方程(5)并得到目標(biāo)光學(xué)勢(shì)(10)式后，本節(jié)繼續(xù)研究探測(cè)場(chǎng)如何形成弱光孤子以及如何在滿足PT 對(duì)稱的EIG 作用下發(fā)生孤子的偏折.本文研究的物理模型可分成三個(gè)部分:第一部分(0＜ζ ＜ζon)和第三部分(ζoff＜ζ ＜L;L表示介質(zhì)的總長度)都是由光學(xué)勢(shì)為常數(shù)的原子氣體組成的，中間部分 (ζon≤ζ≤ζon) 原子氣體的折射率和增益/吸收特性同時(shí)滿足周期性和PT 對(duì)稱性，構(gòu)成PT 對(duì)稱的EIG.當(dāng)探測(cè)場(chǎng)未到達(dá)光柵區(qū)域，即 0＜ζ ＜ζon時(shí)，方程(5)具有亮孤子解.特別地，當(dāng)克爾非線性的非局域度趨向于零(σ→0)，即原子的克爾非線性為局域克爾非線性時(shí)，方程(5)退化為標(biāo)準(zhǔn)的非線性薛定諤方程，亮孤子解的形式為

其中A是孤子的振幅，ξ0表示孤子的中心位置.當(dāng)克爾非線性的非局域度趨向于無窮大(σ→∞)，即原子的克爾非線性為強(qiáng)非局域時(shí)，方程(5)中的非線性項(xiàng)可近似為簡諧勢(shì)[48]:

在這種情況下，方程退化為變系數(shù)線性方程，孤子解可寫為

一般情況下，克爾非線性的非局域度大于零(σ＞0)但不是很大，這種情況下無法找到方程的嚴(yán)格解析解，只能使用數(shù)值方法來進(jìn)行研究.

為了進(jìn)一步簡化問題，假設(shè)輸入探測(cè)場(chǎng)的形式為U(∫ξ，0)=Asech(Aξ)eiV0，因此輸入光的功率為.同時(shí)，固定EIG 的折射率 (實(shí)部) 為V1=0.1，EIG 的厚度為ζon-ζoff=1(對(duì)應(yīng)1.4 mm)，以及介質(zhì)的總長度L=10 (對(duì)應(yīng)1.4 cm)，僅僅改變輸入探測(cè)場(chǎng)的振幅A，EIG 的增益/損耗系數(shù) (虛部)V2，EIG 的周期 2 π/K，以及克爾非線性的非局域度σ，以此研究探測(cè)光經(jīng)過光柵后發(fā)生的偏折程度與這些參數(shù)之間的關(guān)系.為了更好地表征探測(cè)光的偏折程度，定義偏折角θ，即探測(cè)光發(fā)生偏折后的傳播方向與原來的傳播方向(z方向) 之間的夾角為

其中 Δξ是探測(cè)光發(fā)生偏折并傳播一段距離后中心位置在x方向上發(fā)生的移動(dòng)，Δζ是偏折后探測(cè)光傳播的距離在z方向上的投影.偏折角θ越大，表示探測(cè)場(chǎng)發(fā)生偏折的程度越大.

圖3 給出了取不同輸入探測(cè)場(chǎng)振幅A時(shí)探測(cè)光的傳播結(jié)果，其他參數(shù)固定為V2=0，K=1，以及σ=0 (對(duì)應(yīng)局 域克爾 非線性).結(jié)果顯示，當(dāng)A=0.1 (P0=0.02) 時(shí)，由于輸入探測(cè)場(chǎng)的振幅太小，無法產(chǎn)生足夠的非線性來平衡衍射效應(yīng)，探測(cè)光在到達(dá)光柵前已經(jīng)發(fā)生顯著的擴(kuò)散，無法形成孤子(見圖3(a)).當(dāng)A=1 (P=2) 時(shí)，輸入探測(cè)場(chǎng)能夠產(chǎn)生足夠的非線性來平衡衍射效應(yīng)，探測(cè)光在到達(dá)光柵前能夠形成孤子并穩(wěn)定地傳播(見圖3(b)).在后面的研究中，將鎖定A=1，即只研究輸入探測(cè)場(chǎng)能形成穩(wěn)定孤子的情況.

值得注意的是，由于里德伯-EIT 系統(tǒng)具有很強(qiáng)的克爾非線性 (較普通EIT 系統(tǒng)的克爾非線性效應(yīng)大4—5 個(gè)數(shù)量級(jí)，參考文獻(xiàn)[44，45]，探測(cè)場(chǎng)僅需極小的輸入能量就能產(chǎn)生光孤子.為了估計(jì)產(chǎn)生圖3(b)所示的孤子所需的輸入能量，計(jì)算了探測(cè)場(chǎng)的能流密度矢量(坡印廷矢量)，得到:

圖3 改變輸入探測(cè)場(chǎng)振幅時(shí)探測(cè)光的傳播結(jié)果 (a) 輸入探測(cè)場(chǎng)振幅 A=0.1 (輸入探測(cè)場(chǎng)能量 P0=0.02);(b) A=1 (P0=2).其他參數(shù)取為 V2=0，K=1，以及 σ=0 (對(duì)應(yīng)于局域克爾非線性).圖(a)和圖(b)中藍(lán)色虛線和紅色實(shí)線分別表示探測(cè)場(chǎng)的輸入(z=0)與輸出(z=10Ldiff=1.4 cm)波形.與圖(a)和圖(b)對(duì)應(yīng)的傳播過程分別在圖(a1)和圖(b1)中顯示，圖(a1)和圖(b1)中的垂直白色虛線表示EIG 所在的區(qū)域Fig.3.Propagation of probe laser field with different input amplitude:(a) A=0.1 (P0=0.02);(b) A=1 (P0=2).Other system parameters are chosen as V2=0，K=1，and σ=0 .Panel (a1) and panel (b1) show propagation results corresponding to panel (a) and panel (b)，respectively.The vertical white dashed lines in panel (a1) and panel (b1) represent the EIG regions.

其中np表示原子氣體對(duì)于探測(cè)場(chǎng)的折射率，約等于1;S0表示探測(cè)光束的橫截面積，約為 1 04μm2.

當(dāng)EIG 的增益/損耗系數(shù)不為零時(shí)，探測(cè)光孤子經(jīng)過該EIG 會(huì)發(fā)生偏折現(xiàn)象.圖4 給出了探測(cè)光孤子隨EIG 增益/損耗系數(shù)V2增大引起的偏折，其他參數(shù)固定為K=1 以及σ=0 .從圖4 給出的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)V2=0 時(shí)，探測(cè)光孤子在經(jīng)過光柵后不發(fā)生偏折(見圖4(a)).隨著V2從零開始慢慢增大，孤子在經(jīng)過光柵后發(fā)生越來越明顯的偏折，且偏折角θ逐漸變大(見圖4(b)和 圖4(c)).此外，當(dāng)EIG 的PT 對(duì)稱性還未破缺(V2＜V1)時(shí)，經(jīng)過光柵后的孤子與到達(dá)光柵前的孤子相比能量有微小的衰減;反之，當(dāng)EIG 的PT 對(duì)稱性發(fā)生破缺(V2＞V1)時(shí)，經(jīng)過光柵后的孤子與到達(dá)光柵前的孤子相比能量有顯著的增強(qiáng)，且PT 對(duì)稱的破缺程度越深，孤子能量增加的程度也越大.值得注意的是，由于系統(tǒng)的克爾非線性較強(qiáng)，光柵的PT 對(duì)稱破缺點(diǎn)較線性情況下發(fā)生了一定的偏移[28，49].當(dāng)V2=V1時(shí)，PT 對(duì)稱已經(jīng)發(fā)生破缺，因此EIG 的增益/損耗不為零，導(dǎo)致孤子經(jīng)過EIG 后光強(qiáng)的峰值發(fā)生了近3 倍的增加(見圖4(b)).從圖4(c1)可以看到，孤子在經(jīng)過光柵后不僅發(fā)生了較大的偏折，還出現(xiàn)了光強(qiáng)的周期性振蕩(呼吸現(xiàn)象)，這是由于經(jīng)過光柵后的孤子獲得了較大的能量增強(qiáng).

圖4 探測(cè)光 孤子隨EIG 增 益/吸收系 數(shù)增大 引起的偏折 (a) 增 益/吸收系 數(shù) V2=0.5，偏折角 θ ≈arctan 0.4 ;(b) V2=1，θ ≈arctan 0.7 ;(c) V2=1.5，θ ≈arctan 0.9 .其 他參數(shù)固定為 K=1 以 及 σ=0 .圖(a)—(c)中藍(lán)色虛 線和紅 色實(shí)線分別表 示探測(cè)場(chǎng)的輸入(z=0)與輸出(z=10Ldiff=1.4 cm)波形;與圖(a)—(c)對(duì)應(yīng)的傳播過程分別在圖(a1)—(c1)中顯示，圖(a1)—(c1)中的垂直白色虛線表示EIG 所在的區(qū)域Fig.4.Deflection of the probe soliton due to the increase of gain/loss coefficient of the EIG:(a) V2=0.5，the deflection angle θ ≈arctan 0.4 ;(b) V2=1，the deflection angle θ ≈arctan 0.7 ;(c) V2=1.5，the deflection angle θ ≈arctan 0.9 .Other system parameters are chosen as K=1 and σ=0 .Panels (a1)—(c1) show propagation results corresponding to panel (a)—(c)，respectively.The vertical white dashed lines in panels (a1)—(c1) represent the EIG regions.

與改變EIG 的增益/損耗系數(shù)相比，改變EIG周期所引起的孤子偏折變化更加顯著.圖5 給出了改變EIG 周期 (2 π/K) 引起的探測(cè)光孤子的偏折變化，其他參數(shù)固定為V2=1 以及σ=0 .從圖5 給出的結(jié)果可以看到，當(dāng)EIG 的周期趨于無窮大，即K →0 時(shí)，孤子在經(jīng)過光柵后不發(fā)生偏折.這是因?yàn)楫?dāng)K=0，EIG 的增益/損耗 (虛部) 將為零(見圖5(a)).隨著EIG 周期逐漸減小(K逐漸增大)，孤子在經(jīng)過光柵后開始發(fā)生偏折，且偏折角θ逐漸變大.當(dāng)EIG 周期約為 π (K≈2) 時(shí)，θ達(dá)到最大值(見圖5(b)).此后，偏折角θ隨著EIG 周期的繼續(xù)減小(K的繼續(xù)增大)反而逐漸變小(見圖5(c)).這是由于EIG 的折射率和增益/損耗變化過快時(shí)，可以對(duì)其做平均且平均值為零，此時(shí)EIG 沒有任何貢獻(xiàn).

圖5 改變EIG 周期引起的探測(cè)光孤子的偏折變化 (a) EIG 周期為 4 π (K=0.5)，偏折角 θ ≈arctan 0.2 ;(b) EIG 周期為 π (K ≈2)，θ ≈arctan 1.3 ;(c) EIG 周期為 π/4 (K=8)，θ ≈0 .其他參數(shù)固定為 V2=1 以及 σ=0 .圖(a)—(c)中藍(lán)色虛線 和紅色實(shí)線分別表示探測(cè)場(chǎng)的輸入(z=0)與輸出(z=10Ldiff=1.4 cm)波形.與圖(a)—(c)對(duì)應(yīng)的傳播過程分別在圖(a1)—(c1) 中顯示，圖(a1)—(c1)中的垂直白色虛線表示EIG 所在的區(qū)域Fig.5.Deflection of the probe soliton due to the change of the EIG period:(a) EIG period is 4 π (K=0.5)，the deflection angle θ ≈arctan 0.2 ;(b) EIG period is π (K=2)，the deflection angle θ ≈arctan 1.3 ;(c) EIG period is π/4 (K=8)，the deflection angle θ ≈0 .Other system parameters are chosen as V2=1 and σ=0 .Panels (a1)—(c1) show propagation results corresponding to panels (a)—(c)，respectively.The vertical white dashed lines in panels (a1)—(c1) represent the EIG regions.

改變里德伯原子的克爾非線性非局域度能夠改變探測(cè)光孤子的偏折狀態(tài).圖6 給出了克爾非線性非局域度σ發(fā)生改變時(shí)對(duì)孤子偏折帶來的影響，其他參數(shù)固定為V2=1 以及K=1 .從圖6給出的結(jié)果可以看到，當(dāng)非局域度σ的取值較小時(shí)(如σ=1，對(duì)應(yīng)弱非局域情況，見圖6(a))，孤子發(fā)生偏折的情況和σ=0 時(shí)的結(jié)果類似(如σ=1，見圖6(a)).然而，當(dāng)非局域度σ的取值較大時(shí)(如σ=10，對(duì)應(yīng)強(qiáng)非局域情況，見圖6(b))，孤子在遇到光柵前會(huì)發(fā)生一定程度的擴(kuò)散，這是因?yàn)楫?dāng)σ較大時(shí)方程(5) 中的克爾非線性可近似為簡諧勢(shì)，所以初始解在傳播過程中將從正割雙曲函數(shù)變?yōu)楦咚购瘮?shù)(見方程(15))，從而發(fā)生擴(kuò)散.擴(kuò)散后的孤子寬度將覆蓋幾個(gè)光柵周期，因此會(huì)發(fā)生分裂并出現(xiàn)多光束偏折的現(xiàn)象.同時(shí)，發(fā)生偏折后的每束光能量較小，無法產(chǎn)生足夠的非線性來平衡衍射效應(yīng)，因此在傳播過程中會(huì)進(jìn)一步擴(kuò)散.

圖6 克爾非線性非局域度發(fā)生改變時(shí)對(duì)孤子偏折帶來的影響 (a) 非局域度 σ=1 (弱非局域情況)，偏折角 θ ≈arctan 0.7 ;(b) σ=10 (強(qiáng)非局域情況)，θ 不變.其他參數(shù)固定為 V2=1 以及 K=1 .圖(a)和圖(b)中藍(lán)色虛線和紅色實(shí)線分別表示探測(cè)場(chǎng)的輸入(z=0)與輸出(z=10Ldiff=1.4 cm) 波形.與圖(a)和圖(b)對(duì)應(yīng)的傳播過程分別在圖(a1)和圖(b1)中顯示，圖(a1)和圖(b1)中的垂直白色虛線表示EIG 所在的區(qū)域Fig.6.Deflection of the probe soliton due to the change of nonlocality degree of the Kerr nonlinearity:(a) σ=1 (weak nonlocality)，the deflection angle θ ≈arctan 0.7 ;(b) σ=10 (strong nonlocality)，the deflection angle is the same.Other system parameters are chosen as V2=1 and K=0 .Panels (a1) and (b1) show propagation results corresponding to panels (a) and (b)，respectively.The vertical white dashed lines in panels (a1) and (b1) represent the EIG regions.

通過以上分析可以發(fā)現(xiàn)，本文提出的里德伯-EIT 系統(tǒng)可用來有效地操控孤子的傳輸方向.與其他系統(tǒng)相比，里德堡-EIT 系統(tǒng)中形成光孤子所需的輸入光能量更低 (大約僅為幾個(gè)納瓦)，且能夠用于操控孤子傳輸方向的參數(shù)也更多 (包括使用EIG 的增益/損耗系數(shù)V2，EIG 的周期 2 π/K，克爾非線性的非局域度σ)，操控更加靈活，因此具有更加廣闊的應(yīng)用前景.最后，圖7 給出了孤子偏折角θ與EIG 增益/損耗系數(shù)V2和周期 2 π/K的依賴關(guān)系.改變非局域度σ所引起的θ變化不大，因此在圖7 中沒有顯示.

圖7 孤子偏折角與EIG 的增益/損耗系數(shù)以及周期的依賴關(guān)系 (a) 偏折角 θ 與EIG 的增益/損耗系數(shù) V2 的依賴關(guān)系，其他參數(shù)固定為 K=1 以 及 σ=0 ;(b) θ 與EIG 周 期 2 π/K 的依賴關(guān)系，其他參數(shù)固 定為 V2=1 以及 σ=0 .圖(a)和 圖(b)中 的紅 色圓點(diǎn)表示數(shù)值結(jié)果，藍(lán)色虛線表示擬合結(jié)果Fig.7.Deflection angle versus the gain/loss coefficient and period of the EIG:(a) The deflection angle θ as a function of the gain/loss coefficient V2 .Other system parameters are chosen as K=1 and σ=0 .(b) θ as a function of the period 2 π/K .Other system parameters are chosen as V2=1 and σ=0 .The solid red circles in panels (a) and (b) represent the numerical result while the blue dashed lines are the fit ones.

4 結(jié)論

本文在里德伯-EIT 系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)了具有PT 對(duì)稱的EIG，并研究了系統(tǒng)中探測(cè)光場(chǎng)在到達(dá)EIG前形成孤子的過程以及經(jīng)過EIG 時(shí)引起的偏折現(xiàn)象.我們發(fā)現(xiàn)，由于里德伯-EIT 系統(tǒng)具有很強(qiáng)的非線性光學(xué)效應(yīng) (可比通常的非線性介質(zhì)大10 個(gè)數(shù)量級(jí)以上)，因此只需要很少的輸入探測(cè)光能量(幾個(gè)納瓦的輸入能量)就能形成穩(wěn)定的光孤子.另外還發(fā)現(xiàn)探測(cè)光孤子的偏折程度會(huì)隨著EIG 增益/損耗系數(shù)的增加而增加，并且會(huì)在某個(gè)特定的EIG 周期達(dá)到峰值.改變里德伯原子的克爾非線性非局域度也可以改變孤子的偏折狀態(tài).特別地，當(dāng)克爾非線性非局域度增大時(shí)會(huì)發(fā)生多光束偏折以及光束的擴(kuò)散.因此，利用文中提出的里德伯-EIT系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)對(duì)弱光孤子偏折的主動(dòng)操控.本文的研究結(jié)果可為未來利用PT 對(duì)稱EIG 實(shí)現(xiàn)全光控制和光信息處理等相關(guān)應(yīng)用提供一定的理論依據(jù).