兩量子比特系統(tǒng)中相互作用對高階奇異點的影響*

施婷婷 張露丹 張帥寧2)? 張威2)

1) (中國人民大學(xué)物理系，北京 100872)

2) (北京量子科學(xué)研究院，北京 100193)

1 引言

在具有增益或耗散的開放系統(tǒng)中的簡并點，即奇異點(exceptional point，EP)[1]，與厄米體系中的簡并點(diabolic point，DP)[2]具有截然不同的性質(zhì)[3-5]，會產(chǎn)生一系列新奇的現(xiàn)象，如靈敏度增強測量[6-10]、耗散誘導(dǎo)透明或激光[11，12]等，并在量子信息與量子通信、精密測量、光學(xué)等多個領(lǐng)域引起了廣泛關(guān)注.在EP 點處，通常會有兩個或者更多的本征值發(fā)生簡并，同時伴隨著本征態(tài)的聚合[5，13，14]，使得希爾伯特空間維度降低.而在DP 點，只存在能量的簡并，本征態(tài)依然可以通過選取合適的幺正變換變成相互正交的，不存在空間維度的損失.當(dāng)一個量子體系處于簡并點時，通常可以通過施加微擾ε破除簡并.在DP 點附近，原本簡并的本征值發(fā)生劈裂，本征值的改變量 Δε正比于微擾的強度，即 與ε呈線性依賴.而 在EP 點附近，Δε正比于ε1/n，其中n是EP 點的階數(shù)，代表有n個本征態(tài)聚合于該點.隨著階數(shù)n的增大，能量的改變量越顯著，即微擾誘導(dǎo)的n階響應(yīng)[7，15].因此，在非厄米體系中，EP 點可以實現(xiàn)對微擾更高階、更靈敏的測量，可用于制作高靈敏度的傳感器.高階EP 點的這一性質(zhì)可以通過三個相互耦合的光學(xué)微腔中的經(jīng)典光場模式進行模擬演示[7]，而在量子體系中尚未實現(xiàn).

具有宇稱-時間反演(parity-time reversal，PT)對稱性的非厄米系統(tǒng)在參數(shù)空間中可以實現(xiàn)從全部為實數(shù)的本征值到具有互為復(fù)共軛的復(fù)數(shù)本征值的連續(xù)調(diào)節(jié)[16]，即PT 對稱性保持相到破缺相的相變，相變點即為體系EP 點.因此，PT 對稱的非厄米系統(tǒng)天然具有研究EP 點性質(zhì)的優(yōu)勢[17].此外，具有PT 對稱性的系統(tǒng)已在很多經(jīng)典體系，如微腔[18，19]、波導(dǎo)[20，21]、電子電路[22，23]等，以及部分量子體系，如超導(dǎo)電路[24]、耗散單光子[25]、冷原子[26]、離子阱[10，27]等體系中得到實現(xiàn).為了測量EP 點的增強響應(yīng)，需要精確測量出體系的本征值.在經(jīng)典體系中，EP 點對微擾響應(yīng)的強度可以直接通過測量吸收譜的共振峰得到.但在量子體系中，本征值一般無法被直接測量，使得EP 點增強響應(yīng)的測量具有挑戰(zhàn)性.近期，Ding 等[10]在離子阱體系中提出并實現(xiàn)了一種無需擬合任何參數(shù)就能直接測定體系的本征值和EP 點位置的方法，且這種方法不依賴于所在的相.這一方案為在量子體系中實現(xiàn)高階EP 點，并驗證其高階響應(yīng)提供了新的思路.本文研究了一個具有PT 對稱性的全同兩量子比特系統(tǒng)，證明了其中存在三階EP點.通過觀測體系的本征值，演示了兩量子比特之間的伊辛相互作用可以誘導(dǎo)體系在三階EP 點出現(xiàn)高階響應(yīng).通過研究體系的本征態(tài)，展示了EP 點處態(tài)聚合的性質(zhì).其次，探究了該體系在PT 對稱性破缺相的密度矩陣的性質(zhì)，并提出利用長時間演化后穩(wěn)態(tài)的密度矩陣驗證EP 點處態(tài)聚合的方法.此外，根據(jù)該體系的三階EP 點對微擾的響應(yīng)，基于171Yb+囚禁離子系統(tǒng)中設(shè)計了實現(xiàn)和調(diào)控EP 點，進而驗證三階響應(yīng)的實驗方案.

2 高階EP 點處本征值和本征態(tài)的特征

考慮一個由兩個全同量子比特構(gòu)成的非厄米體系.每一個量子比特(標(biāo)記為s=1，2)均由一個具有PT 對稱性的二能級哈密頓量描述.其中，J和Γ分別為自旋上下態(tài)之間的耦合強度和耗散帶來的非厄米項.因此，體系的總哈密頓量同樣具有PT 對稱性，可寫為

這里為2 × 2 的單位矩陣.該哈密頓量滿足，其中T=K為復(fù)共軛算符，P=σx，1?σx，2為宇稱算符[10，27].在不考慮擾動的情況下，上述兩量子比特體系的PT 哈密頓量的4 個本征值可以通過直接求解久期方程得到，分別為，對應(yīng)的本征態(tài)記為|φ1，2，3，4〉 (見附錄A1).當(dāng)調(diào)節(jié)參數(shù)J和Γ，可以實現(xiàn)前兩個本征值從純實數(shù)到互為復(fù)共軛的連續(xù)變化，即實現(xiàn)了從PT 對稱性保持相到破缺相的連續(xù)調(diào)節(jié).特別地，當(dāng)J=Γ時，體系對應(yīng)出現(xiàn)三階EP 點.此時，所有的本征值聚合到0.其中前三個本征態(tài)聚合在一起，如果選擇兩個量子比特的直積態(tài) {|↑1↑2〉，|↑1↓2〉，|↓1↑2〉，|↓1↓2〉}作為基矢，可以表示 為|φ1〉=|φ2〉=|φ3〉=(-1，-i，-i，1)T.另 外一個與之正交的態(tài)為|φ4〉=(0，-1，1，0)T.需要說明的是，這里并未對態(tài)進行歸一化.在EP 點處，原本為四維的希爾伯特空間塌縮為二維，體系哈密頓量無法被對角化.且在EP 點附近，能量具有更高階的響應(yīng)[6，7].

為了研究高階EP 點處微擾引起的體系能量響應(yīng)，在體系中引入伊辛型相互作用.其中，Jx為兩個量子比特之間的相互作用強度，且滿足 0 ≤Jx ?J.此時，體系的哈密頓量為

圖1 微擾作用下高階EP 點處本征值和本征態(tài)的特征 (a)，(b)在高階EP 點處存在微擾時，體系本征值的實部((a))和虛部((b))隨微擾 J x/J 的變化曲線.其中，實線對應(yīng)本征值的數(shù)值結(jié)果，虛線代表對 J x/J 做微擾處理后，僅保留最低階的結(jié)果.同一種顏色的曲線對應(yīng)同一個本征值.(c)本征態(tài)|ψ1〉 分別和|ψ2〉 (紅色)，|ψ3〉 (黃色)，|ψ4〉 (紫色)的區(qū)分度 D1，nFig.1.Eigenvalues and eigenstates near a high-order exceptional point:(a) The real part and (b) imaginary part of the eigenvalues of Hamiltonian H? versus the perturbation J x/J .Here，solid lines are numerical results obtained by direct diagonalization，and dashed lines are those from perturbation.(c) Trace distance between|ψ1〉 and|ψ2〉 (red)，|ψ3〉 (yellow)，|ψ4〉 (purple).

接下來討論該體系的本征態(tài)特征.在量子系統(tǒng)中，跡距離是用來衡量兩個量子態(tài)距離的物理量，定義為[28]

3 高階EP 點附近微擾誘導(dǎo)的高階響應(yīng)及態(tài)聚合的驗證

為了展示高階EP 點對微擾的高階響應(yīng)，需要刻畫體系的本征值隨微擾Jx的變化規(guī)律.在由少數(shù)量子比特組成的量子體系中，直接測量體系的本征值(本征能量)通常比較困難.此外，在具有相互作用的兩比特系統(tǒng)中，對任意初態(tài)的演化將和多個本征值有關(guān)，其結(jié)果將是不同本征值和時間的非線性組合，因此很難像單比特體系中一樣通過恰當(dāng)?shù)剡x擇初態(tài)直接測量本征值和EP 點.因此在實驗中，一般通過測量某個特定態(tài)上占據(jù)數(shù)的時間演化來間接擬合和本征值相關(guān)的參數(shù).為了使實驗數(shù)據(jù)的擬合具有更高的可信度，我們希望盡量準(zhǔn)確地確定體系本征值和本征態(tài)表達式.但是對于一般的具有相互作用的兩量子比特體系，通常無法解析求解本征值，只能通過微擾理論對其進行處理.

在三階EP 點附近，體系的一個已知本征值為ε4=-Jx，對應(yīng)的本征態(tài)為|ψ4〉=(0，-1，1，0)T.另外3 個本征值滿足特征方程

上述本征值的近似結(jié)果如圖1(a)和圖1(b)中虛線所示.可以看出，在Jx很小的情況下，近似結(jié)果和數(shù)值對角化的結(jié)果符合得很好，可以看作是微擾情況下對體系真實能量的較好描述.

同樣地，將體系的本征態(tài)展開到Jx1/3的二階，得到本征態(tài)的近似表達式為

在這里，下標(biāo)m的取值范圍為m=1，2，3 .由此得到t時刻|↓1↓2〉 上的占據(jù)數(shù)為

非常重要的是，我們注意到P(|↓1↓2〉，t) 的近似表達式只與J以及前3 個本征值ε1，2，3有關(guān).因此，可以通過占據(jù)數(shù)的時間演化測量提取出體系的本征值.首先，可以將系統(tǒng)制備在初態(tài)|↓1↓2〉 上，在具有伊辛型相互作用的兩量子比特哈密頓量的作用下進行演化，并通過熒光探測t時刻該態(tài)上占據(jù)數(shù).最后通過在|↓1↓2〉 上粒子數(shù)隨時間變化的表達式擬合出J和本征值ε1，2，3.考慮到3 個本征值之間的關(guān)系，在實際處理中可以把本征值的實部和虛部作為獨立的參數(shù)分開擬合，則只需要擬合4 個實數(shù)參數(shù) {J，a，b，c}.通過這一方法，可以測定本征值的實部和虛部對Jx的依賴關(guān)系，從而驗證EP 點的三階響應(yīng).

此外，EP 的態(tài)聚合現(xiàn)象也可以通過測量系統(tǒng)的長時間演化來驗證.在非厄米體系中，態(tài)的演化通常用密度矩陣來描述[33]，密度矩陣定義為

作為例子，圖2(b)—(d)給出了當(dāng)Jx/J=0.1時，系統(tǒng)從初態(tài)|↓1↓2〉 出發(fā)演化的結(jié)果.圖2(b)的子圖 分別展示了4 個直積 態(tài)|σ1σ2〉 的占據(jù)數(shù)P(|σ1σ2〉，t) 隨時間的變化.其中藍色點劃線和紫色點線分別是|↑1↑2〉和|↓1↓2〉 的占據(jù)數(shù)演化，紅色實線和黃色虛線分別對應(yīng)|↑1↓2〉和|↓1↑2〉 .這4 個態(tài)上的占據(jù)數(shù)均隨時間指數(shù)增長，從tJ～5 開始，4 個態(tài)上的占據(jù)數(shù)曲線在對數(shù)坐標(biāo)下斜率相同，但高度不同，說明不同直積態(tài)上的占據(jù)數(shù)比例固定，系統(tǒng)演化到了一個長時間的穩(wěn)態(tài).圖2(b)主圖為每個態(tài)上歸一化的粒子數(shù)(|σ1σ2〉，t)=P(|σ1σ2〉，t)/P(t)，其中粒子數(shù).可以清 晰地看出，(|σ1σ2〉，t) 在時間，t) 為t時刻體系的總tJ～5 之后趨于一個常數(shù)，說明態(tài)演化到了一個不隨時間變化的態(tài)，即哈密頓量的一個本征態(tài).這是由于在非厄米體系中，系統(tǒng)和環(huán)境耦合必然帶來信息的交換.在PT 破缺的相中，信息不停地從系統(tǒng)流向環(huán)境，因此長時間演化過后，體系會丟失關(guān)于初態(tài)的全部信息，最終演化到體系的一個本征態(tài)上[34].圖2(c)和圖2(d)給出了演化時間為tJ=10 時密度矩陣的實部和虛部.密度矩陣中的對角項即為4 個直積態(tài)上的歸一化占據(jù)數(shù)，與圖2(b)主圖對應(yīng).同時，密度矩陣在演化一段時間后，各矩陣元的大小不再發(fā)生變化，也說明了體系處在PT 對稱性破缺的相，信息會從體系流向環(huán)境，直至喪失初態(tài)的全部信息.

圖2 系統(tǒng)從初態(tài)|↓1↓2〉 演化的量子態(tài)布據(jù)數(shù)結(jié)果 (a)從上到下紅色和黑色的實線分別代表 J x/J=0.1 和 J x/J=0.01 時，初態(tài)|↓1↓2〉 的占據(jù)數(shù)隨時間演化的結(jié)果.兩條幾乎重合的灰色虛線為相應(yīng)參數(shù)下的微擾近似值.(b)主圖和子圖分別展示了4 個直積態(tài)|σ1σ2〉 的歸一化占據(jù)數(shù)和未歸一化的占據(jù)數(shù)隨時間的變化.藍色點劃線和紫色點線分別代表|↑1↑2〉 和|↓1↓2〉 的演化，紅色實線和 黃色虛線分別對應(yīng)|↑1↓2〉 和|↓1↑2〉 .(c)，(d)演化時間為 t J=10 時密度 矩陣的實部((c))和虛部((d)).這里選取Jx/J=0.1Fig.2.(a) The evolution of|↓1↓2〉 state population with J x/J=0.1 (red，top) and J x/J=0.01 (black，bottom).The gray lines on the top are the approximate results up to the second order.(b) The evolution of normalized spin product state population|σ1σ2〉 and the corresponding unnormalized populations (inset) with initial state|↓1↓2〉 .From top to bottom，the four lines represent results for states|↓1↓2〉 (purple dotted)，|↑1↓2〉 (red solid)，|↓1↑2〉 (yellow dashed)，and|↑1↑2〉 (blue dot-dashed)，respectively.(c) The real part and (d) the imaginary part of all density matrix elements at t J=10 .For panels (a)—(d)，the coupling strength of Ising interaction is J x/J=0.1 .

4 實驗方案設(shè)計

實驗中利用囚禁在保羅型阱中的171Yb+離子的超精細結(jié)構(gòu)能級來編碼量子比特.如圖3(a)所示，對于每一個比特，其自旋上下態(tài)分別對應(yīng)171Yb+的2S1/2中的兩個超精細態(tài)，即|↑〉=|F=1，mF=0〉，|↓〉=|F=0，mF=0〉，它們之間的超精細劈裂能量為ω0=12.6 GHz .此自旋比特系統(tǒng)可以通過多普勒冷卻和光泵浦過程實現(xiàn)態(tài)的初始化，利用依賴自旋狀態(tài)的熒光收集來進行量子態(tài)的探測和區(qū)分.可以將PT 對稱的哈密頓量映射到一個純耗散的兩離子系統(tǒng):首先使用諧振的微波操作耦合每個比特的能級來實現(xiàn)哈密頓量中的自旋翻轉(zhuǎn)部分，其耦合強度J可通過擬合拉比頻率測定，并可由通過施加的微波功率來調(diào)節(jié)大小;然后利用一束370 nm的耗散光實現(xiàn)哈密頓量中的耗散部分，該激光將處于|↑〉 的離子激發(fā)到2P1/2態(tài)上，處于2P1/2的離子可以自發(fā)輻射到2S1/2的3 個塞曼態(tài)，并分別放出σ±或π 偏振的光子(圖3(a)中的3 個自發(fā)躍遷曲線)，最終導(dǎo)致|↑〉態(tài)的耗散[34]，其耗散率?？梢酝ㄟ^耗散光的功率調(diào)節(jié).實驗系統(tǒng)等效的哈密頓量和(1)式中的兩比特PT 對稱哈密頓量只相差了一個單位矩陣，即，因此實驗上占據(jù)數(shù)的測量只需乘上一個指數(shù)因子 e4Γt即可映射到的結(jié)果.

圖3 實驗方案設(shè)計 (a) 171Yb+ 的能級結(jié)構(gòu)及耗散過程;(b) 伊辛相互作用的實現(xiàn)過程;(c)兩離子系統(tǒng)中PT 對稱的哈密頓量與伊辛相互作用的實現(xiàn).可以利用微波(黃色)實現(xiàn)自旋態(tài)的翻轉(zhuǎn);利用370 nm 激光(藍色)實現(xiàn)自旋上態(tài)的耗散;利用基于拉曼激光(紫色)操作的MS 門實現(xiàn)伊辛相互作用Fig.3.Experimental scheme:(a) The energy level of 171Yb+ and dissipation process;(b) realization of Ising interaction;(c) realization of P T symmetric Hamiltonian and Ising interaction in a two-ion system:we can use microwave (yellow color) to achieve spin state inversion，shine a 370 nm laser (blue color) to realize dissipation of the spin-up state，and apply Raman laser (purple color)operation for MS gates to implement Ising interaction.

為了實驗測量高階EP 點附近微擾誘導(dǎo)的高階響應(yīng)，可以利用離子阱平臺中的M?lmer-S?rensen(MS)方案[35]實現(xiàn)兩比特操作的伊辛相互作用來施加微擾.該方案基于雙光子受激拉曼躍遷過程，利用略微失諧的紅藍邊帶操作耦合兩個離子的自旋比特和聲子系統(tǒng)，整個門操作的最小時間和失諧量成倒數(shù)關(guān)系.同時由于失諧的存在，離子自旋不會向紅藍邊帶的聲子能級躍遷，只會積累一個和自旋初態(tài)相關(guān)的幾何相位.在門操作結(jié)束時，自旋系統(tǒng)和聲子能夠完全解耦，相空間積累的幾何相位會產(chǎn)生自旋比特的糾纏，從而實現(xiàn)伊辛相互作用.如圖3(b)所示，伊辛相互作用可以通過圖中的躍遷路徑實現(xiàn)自旋|↓↓〉與|↑↑〉的糾纏，其中n為離子振動的聲子能級，紅色和藍色箭頭分別為其與相鄰聲子能級(n-1 和n+1)失諧的紅邊帶和藍邊帶躍遷，并且由于失諧的存在，n-1 和n+1 的聲子能級在門操作結(jié)束時并不會有布居，系統(tǒng)仍處于和初態(tài)相同的聲子數(shù)n，即自旋態(tài)和聲子態(tài)實現(xiàn)解耦.此方案理論上不要求聲子初態(tài)處于基態(tài)上(n=0)，對聲子振動能級有很強的魯棒性.而實際實驗過程中，為了對聲子有更好的控制，還是可以通過成熟的邊帶冷卻過程將聲子初態(tài)制備在基態(tài)上.另外，|↓↑〉與|↑↓〉的糾纏實現(xiàn)是一樣的，只需制備相關(guān)的自旋初態(tài)即可.實驗中可以通過皮秒脈沖激光器產(chǎn)生的雙色拉曼光束驅(qū)動橫向x方向的運動模式，將失諧量設(shè)為兩個簡正運動模式頻率的正中間，并實現(xiàn)速度最快的伊辛相互作用操作，其強度Jx可以通過所加紅藍邊帶激光的強度來調(diào)節(jié).

整個實驗過程如下:首先通過多普勒冷卻，光泵浦過程以及邊帶冷卻將兩個離子制備到自旋基態(tài)|↓1↓2〉 和聲子基態(tài)上;然后施加兩離子PT 對稱的哈密頓量和伊辛相互作用的小擾動，如圖3(c)所示，通過調(diào)節(jié)對應(yīng)微波和激光的強度來分別控制自旋耦合強度J，耗散率Γ以及擾動大小Jx，使J=Γ和Jx/J=0.1 ;最后通過電子倍增電荷耦合設(shè)備(EMCCD)來探測每個離子的熒光，進而得到兩個離子的4 個直積態(tài)的概率分布.可以記錄基態(tài)在|↓1↓2〉 隨時間演化的占據(jù)數(shù)，通過在|↓1↓2〉 上粒子數(shù)隨時間變化的表達式擬合出體系本征值來實驗上驗證EP 點的三階響應(yīng).同時也可以將系統(tǒng)演化足夠長的時間，直至系統(tǒng)處于PT 對稱破缺的本征態(tài)時，通過單比特門操作改變測量基，實現(xiàn)對兩個離子比特的態(tài)層析測量，從而得到其對應(yīng)的密度矩陣，驗證本征態(tài)的聚合現(xiàn)象.

5 結(jié)論

理論模擬并驗證了具有PT 對稱性的兩量子比特系統(tǒng)中存在三階EP 點，并且兩個量子比特間的伊辛相互作用可以誘導(dǎo)三階EP 點附近能量的三階響應(yīng).其次，探究了該體系在PT 對稱性破缺相的密度矩陣的相關(guān)性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)體系本征態(tài)在EP 點存在聚合現(xiàn)象.此外，利用微擾理論研究了該體系的三階EP 點處能量對微擾的響應(yīng)，提出了利用基態(tài)占據(jù)數(shù)擬合體系本征值的方法;并利用PT 對稱性破缺相的態(tài)在長時間演化后會演化到體系的一個本征態(tài)上的特性，提出了利用密度矩陣的演化判斷EP 點處態(tài)聚合的方法.最后，將理論的兩量子比特的哈密頓量映射到兩離子實驗系統(tǒng)中，并基于171Yb+囚禁離子系統(tǒng)設(shè)計實現(xiàn)和調(diào)控EP 點，驗證三階響應(yīng)的實驗方案.

附錄A1 無相互作用兩量子比特系統(tǒng)本征值的測量

無相互作用的具有PT 對稱性的兩量子比特系統(tǒng)可以由正文中(1)式的哈密頓量描述，其本征值的實部和虛部分別如圖A1(a)和圖A1(b)所示.在該系統(tǒng)中，態(tài)的時間演化由演化算符來描述.引入兩個物理量PJ和PΓ，它們的時間演化分別為

圖A1 無相互作用兩量子比特系統(tǒng)的本征值的(a)實部和(b)虛部隨耦合強度 J/Γ 的變化Fig.A1.(a) The real and (b) imaginary parts of eigenvalues of a non-interacting two-qubit system as functions of coupling strength J/Γ .

這兩個物理量的差值為

當(dāng)體系處于PT 對稱的區(qū)域時，ΔP ＞0 ;處于PT 對稱性破 缺的區(qū)域時，ΔP ＜0 ;在EP點處，ΔP=0 .

附錄A2 具有伊辛型相互作用的兩量子比特系統(tǒng)中EP 點附近的微擾處理

這部分把兩量子比特之間的伊辛相互作用當(dāng)作微擾，在無相互作用的兩量子比特的哈密頓量的三階EP 點上做微擾展開，保留低階項，從而得到有相互作用的兩量子比特體系的本征值和本征態(tài)的近似表達式[7，14].具有伊辛相互作用的兩量子比特體系滿足的定態(tài)本征方程為=ε|ψ〉.哈密頓量H? 本征值所滿足的特征方程為

于是，三階EP 點附近的本征能量的近似表達式為

對于上述提到的本征值滿足的三次方程，也可以通過求根公式得到其解析表達式，再對Jx進行展開，保留低階項.但是對于更高階的EP 點，高次特征方程的解無法解析得到，因此，這里使用了更為普適的近似方法.圖A2(a)和A2(b)分別給出了在對數(shù)坐標(biāo)下本征值的實部和虛部隨微擾強度的變化，這里的顏色和線型均與正文圖1(a)和圖1(b)對應(yīng).其中，ε1和ε2的實部和虛部以及ε3的實部對應(yīng)的曲線的斜率為1/3，說明與Jx呈現(xiàn)三次方根的依賴關(guān)系.同時，在圖A2(c)和圖A2(d)中給出了更大相互作用強度范圍Jx/J ∈[0，5] 內(nèi)，體系本征值的實部和虛部的數(shù)值結(jié)果.可以看到，在Jx/J更大的區(qū)域存在一個二階EP 點，體系發(fā)生從PT 對稱性破缺到對稱性保持的相變.

圖A2 對數(shù)坐標(biāo)系下具有伊辛相互作用的兩量子比特體系本征值的(a)實部和(b)虛部的絕對值隨相互作用強度 J x/J 的變化.以及在更大的相互作用強度范圍內(nèi)，該體系的本征值的(c)實部和(d)虛部隨相互作用強度的變化Fig.A2.The absolute values of (a) the real and (b) imaginary parts of eigenvalues of a two-qubit system with Ising interaction versus the interaction strength J x/J .(c) The real and (d) the imaginary parts of eigenvalues of such a system versus J x/J in an extended range of the interaction strength.

對于該體系的4 個本征態(tài)，可以注意到其中一個本征態(tài)不隨微擾Jx變化，即|ψ4〉=(0，-1，1，0)T.另外3 個本征態(tài)滿足如下形式

附錄A3 PT 對稱性破缺相中密度矩陣的含時演化

考慮處于PT 對稱性破缺區(qū)域的初態(tài)|ψ〉，其可被正文中(2)式的哈密頓量的本征態(tài)線性展開，即|ψ〉=α1|ψ1〉+α2|ψ2〉+α3|ψ3〉+α4|ψ4〉 .其中|ψ1〉 和|ψ2〉對應(yīng)的 本征值互為復(fù)共軛，記為ε1=a+bi 和ε2=a-bi，并假設(shè)b＞0 .另外兩個本征值 均為實 數(shù)，記為ε3=c和ε4=d.則態(tài)|ψ〉的時間演化為

式中后三項均含有隨時間衰減的指數(shù)因子，在t→+∞時均趨向于零，使得

而初態(tài)為ρ(0)=|ψ〉〈ψ|的密度矩陣的長時間演化為

因此，PT 對稱性破缺區(qū)域的態(tài)演化在長時間之后會演化到體系能量虛部為正數(shù)的本征態(tài)上.