修形人字齒輪副時(shí)變嚙合剛度的解析算法

鄒浩然, 王三民, 何前進(jìn), 李義之, 陳鵬

(西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院, 陜西 西安 710072)

齒輪傳動(dòng)是機(jī)械系統(tǒng)中應(yīng)用最廣泛的運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力傳遞形式,對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性有很大影響[1]。如今,大功率、高轉(zhuǎn)速是齒輪傳動(dòng)的主流發(fā)展趨勢(shì),在這種嚴(yán)苛的工況環(huán)境下,振動(dòng)和噪聲必定會(huì)對(duì)系統(tǒng)造成很大影響。時(shí)變嚙合剛度作為齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的一種主要內(nèi)激勵(lì),其是振動(dòng)和噪聲的主要源頭,能夠準(zhǔn)確和快速地計(jì)算時(shí)變嚙合剛度,這是齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析的重要基礎(chǔ)。

對(duì)于齒輪時(shí)變嚙合剛度的計(jì)算,國(guó)內(nèi)外已經(jīng)進(jìn)行了很多研究,主要的計(jì)算方法包括材料力學(xué)法、彈性力學(xué)法、石川公式法和有限元法。文獻(xiàn)[2]將有限元法與彈性接觸理論相結(jié)合進(jìn)行齒輪嚙合剛度計(jì)算。文獻(xiàn)[3]基于勢(shì)能法提出了一種考慮齒根圓與基圓不重合時(shí)的斜齒輪時(shí)變嚙合剛度修正計(jì)算方法。文獻(xiàn)[4]基于切片法建立了一種考慮修形的變齒厚齒輪時(shí)變嚙合剛度求解模型,并對(duì)傳統(tǒng)Weber法進(jìn)行了改進(jìn)。文獻(xiàn)[5]對(duì)比分析了直齒輪不同接觸模型的嚙合剛度。文獻(xiàn)[6]提出了一種考慮非線(xiàn)性接觸剛度和齒廓修形的一種嚙合剛度計(jì)算改進(jìn)模型。文獻(xiàn)[7]針對(duì)裂紋直齒圓柱齒輪時(shí)變嚙合剛度的計(jì)算提出了一種改進(jìn)的分析模型。文獻(xiàn)[8]根據(jù)力、變形分解原理和剛度、誤差耦合關(guān)系,提出了一種考慮軸向變形以及齒廓修緣的斜齒輪嚙合剛度解析計(jì)算模型。文獻(xiàn)[9]提出基于輪齒承載接觸分析、考慮齒輪軸扭轉(zhuǎn)變形的輪齒嚙合剛度計(jì)算方法。文獻(xiàn)[10]基于Weber能量法推導(dǎo)了直齒輪時(shí)變嚙合剛度的數(shù)值積分公式,并采用變?cè)隽?、無(wú)限逼近的方法對(duì)齒輪嚙合點(diǎn)進(jìn)行確定。文獻(xiàn)[11]將輪齒簡(jiǎn)化為懸臂梁,采用勢(shì)能法計(jì)算了考慮齒輪基體變形的齒輪時(shí)變嚙合剛度。文獻(xiàn)[12]綜合考慮基圓與齒根圓不重合因素及裂紋區(qū)的變形能,提出了一種含裂紋故障斜齒輪副時(shí)變嚙合剛度的改進(jìn)算法。文獻(xiàn)[13-15]中建立了有限元模型,使用有限元法計(jì)算了齒輪的時(shí)變嚙合剛度。文獻(xiàn)[16]建立了基于加載輪齒接觸分析的穩(wěn)健模型來(lái)計(jì)算直齒輪和斜齒輪的嚙合剛度。文獻(xiàn)[17] 提出了一種改進(jìn)的含有齒廓修形的直齒輪時(shí)變嚙合剛度解析算法。文獻(xiàn)[18]提出了一種含有齒根裂紋的直齒輪時(shí)變嚙合剛度計(jì)算模型,可以計(jì)算含有不同尺寸裂紋輪齒的時(shí)變嚙合剛度。文獻(xiàn)[19]建立提出了一種改進(jìn)的齒尖剝落模型,推導(dǎo)了輪齒含有齒尖剝落時(shí)的時(shí)變嚙合剛度的解析方程。文獻(xiàn)[20]基于齒面LTCA方法計(jì)算人字齒輪時(shí)變嚙合剛度,并以嚙合剛度波動(dòng)幅值為目標(biāo),對(duì)人字齒輪進(jìn)行了齒面修形優(yōu)化。文獻(xiàn)[21]基于勢(shì)能法和數(shù)值積分公式,提出了涉及齒廓修形參數(shù)和退刀槽寬度的人字齒輪嚙合剛度精確計(jì)算方法。文獻(xiàn)[23]重點(diǎn)研究了考慮軸向嚙合力的斜齒輪副時(shí)變嚙合剛度計(jì)算方法。文獻(xiàn)[24]建立了軸向輪齒剛度和軸向基體剛度的斜齒輪副時(shí)變嚙合剛度模型,并研究了摩擦力對(duì)嚙合剛度的影響。

盡管許多學(xué)者已經(jīng)對(duì)齒輪的嚙合剛度進(jìn)行了大量研究,但是目前在對(duì)人字齒輪嚙合剛度進(jìn)行計(jì)算時(shí)大多忽略了軸向力的影響,導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不夠準(zhǔn)確,另外對(duì)于含修形,尤其是齒向修形的人字齒輪嚙合剛度的計(jì)算研究也較少,因此,本文結(jié)合切片法與勢(shì)能法,提出了一種考慮軸向力和修形的人字齒輪副時(shí)變嚙合剛度的解析算法,并將計(jì)算結(jié)果與有限元和ISO標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較,驗(yàn)證該算法的準(zhǔn)確性, 最后分析了齒廓修形量、齒廓修形長(zhǎng)度及齒向修形量對(duì)人字齒輪副嚙合剛度的影響。

1 含修形的人字齒輪副時(shí)變嚙合剛度算法

1.1 考慮軸向力的輪齒剛度計(jì)算

直齒輪的單個(gè)輪齒可以直接簡(jiǎn)化為變截面懸臂梁,載荷作用于齒面發(fā)生彈性變形。圖1為直齒輪單個(gè)輪齒的懸臂梁模型。

根據(jù)材料力學(xué)與彈性力學(xué)相關(guān)知識(shí)可知,輪齒變形導(dǎo)致輪齒內(nèi)產(chǎn)生剪切勢(shì)能Us、彎曲勢(shì)能Ub、軸向壓縮勢(shì)能Ua以及齒輪赫茲勢(shì)能Uh,根據(jù)勢(shì)能與剛度關(guān)系可以求解剛度。輪齒變形后的勢(shì)能可表示為[3]

式中:F為嚙合力;Fa為徑向力;Fb為圓周力;ks為剪切剛度;kb為彎曲剛度;ka為徑向壓縮剛度;kh為赫茲接觸剛度;G為剪切模量;E為彈性模量;d為齒根到接觸點(diǎn)的距離;h為接觸點(diǎn)與輪齒中心線(xiàn)的距離;x為基圓到嚙合點(diǎn)之間任意一點(diǎn)到基圓的距離。

對(duì)于人字齒輪而言,其由左右兩側(cè)斜齒輪和退刀槽構(gòu)成[21]。不考慮退刀槽的剛度,人字齒輪兩側(cè)的斜齒輪由于螺旋角大小相同,旋向相反,使得兩側(cè)的斜齒輪處于相同的嚙合狀態(tài),因此,人字齒輪的時(shí)變嚙合剛度可以簡(jiǎn)化為2個(gè)斜齒輪的時(shí)變嚙合剛度的并聯(lián)。

從人字齒輪的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)分析,假設(shè)兩側(cè)斜齒輪之間的退刀槽為剛性,且兩側(cè)完全對(duì)稱(chēng),要求解人字齒輪副的時(shí)變嚙合剛度,首先需求解一側(cè)斜齒輪副的時(shí)變嚙合剛度。斜齒輪由于螺旋角的存在,并不能像直齒輪一樣將單個(gè)輪齒直接簡(jiǎn)化為懸臂梁,而應(yīng)該由二維平面問(wèn)題變成三維空間問(wèn)題。

利用切片的思想[4],將人齒輪中每一側(cè)斜齒輪的輪齒沿著齒寬方向分割成很多薄片,斜齒輪被離散成依次旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度的N片直齒輪的組合。對(duì)于具有較大重合度的斜齒輪,其沿著接觸線(xiàn)的載荷不會(huì)出現(xiàn)較大的變化,因此假設(shè)相鄰的齒輪薄片上的載荷相等,且薄片與薄片之間不考慮耦合的影響。經(jīng)過(guò)切片離散之后,每一片均可以看作一個(gè)直齒輪,對(duì)其建立懸臂梁模型求其剛度,再將薄片的剛度疊加起來(lái)就可以得到單個(gè)輪齒的嚙合剛度。

盡管人字齒輪的軸向力相互抵消,但是兩側(cè)軸向力抵消后,只是避免人字齒輪發(fā)生軸向竄動(dòng),而軸向力依然作用于兩側(cè)斜齒輪的輪齒上,如圖2所示,左側(cè)斜齒輪的軸向力FaL和右側(cè)斜齒輪的軸向力FaR分別作用在兩側(cè)的輪齒上。如果不考慮軸向力的影響,就會(huì)導(dǎo)致計(jì)算后人字齒輪副時(shí)變嚙合剛度與實(shí)際存在偏差。

計(jì)算人字齒輪副時(shí)變嚙合剛度時(shí),對(duì)一側(cè)斜齒輪時(shí)變嚙合剛度的求解是基礎(chǔ),下文中以人字齒輪一側(cè)的斜齒輪作為對(duì)象進(jìn)行求解。由于斜齒輪螺旋角的存在,斜齒輪在分度圓上的3個(gè)分力為

(5)

式中：Ft為圓周力；Fr為徑向力；Fa為軸向力；Fn為名義法向力；αn為法向壓力角；β為分度圓螺旋角。

(5)式為分度圓處嚙合時(shí)的名義法向力、軸向力、徑向力和圓周力的計(jì)算公式,然而各力隨著壓力角和螺旋角的改變而改變,因此要求任意嚙合點(diǎn)處的名義法向力、軸向力、徑向力和圓周力,就要對(duì)任意嚙合點(diǎn)處的壓力角和螺旋角進(jìn)行計(jì)算,任意嚙合點(diǎn)處的端面壓力角為αti=arccos(rb/ri),任意嚙合點(diǎn)處的螺旋角為βi=arctan(ritanβ/r),代入(5)式中可以得到任意嚙合點(diǎn)處的圓周力、徑向力和軸向力,表達(dá)式為

(6)

將(6)式代入(1)～(3)式中,然后進(jìn)行簡(jiǎn)化,可以消除Fni,得到與名義嚙合力無(wú)關(guān)的剛度計(jì)算公式,假設(shè)一個(gè)沿著齒寬方向N等分的輪齒,某一時(shí)刻有m片接觸(其中m≤N),則此時(shí)單個(gè)輪齒的剪切剛度ks、彎曲剛度kb、軸向壓縮剛度ka,可表示為

(7)

(8)

(9)

式中：αti為端面齒廓上第i片輪齒嚙合點(diǎn)處的壓力角；βi為第i片輪齒嚙合點(diǎn)處的螺旋角；hx為接觸點(diǎn)x到輪齒中心線(xiàn)的距離。

由于(7)～(9)式中僅考慮到了圓周力和徑向力,而忽略了軸向力的影響,為了更加真實(shí)地反映斜齒輪的剛度,還應(yīng)該考慮斜齒輪的軸向力所引起的輪齒的彎曲勢(shì)能、剪切勢(shì)能和軸向壓縮勢(shì)能。由于切片法切分后,每一片輪齒的厚度非常小,壓縮勢(shì)能可以忽略,因此,根據(jù)軸向力所引起的輪齒的彎曲勢(shì)能、剪切勢(shì)能計(jì)算軸向彎曲剛度和剪切剛度,其表達(dá)式為

式中，Ix和Ax分別為距離齒根圓處的輪齒截面慣性矩和截面面積,計(jì)算公式如下所示：

式中,L為沿齒寬方向切分后每一片輪齒的厚度,若齒寬被N等分,則L=B/N,其中B為齒寬,hx為接觸點(diǎn)x到輪齒中心線(xiàn)的距離。

1.2 修形輪齒截面慣性矩和面積計(jì)算

常用的修形方法為齒廓修形和齒向修形,每種修形方法下包含幾種不同的修形方式。本文采用的修形方式為:齒廓修形為齒頂修薄,修形曲線(xiàn)為直線(xiàn);齒向修形為鼓形修形,修形曲線(xiàn)為拋物線(xiàn),如圖3所示。

2種修形方式因?yàn)槠茐牧她X廓和齒向的曲線(xiàn),都會(huì)對(duì)重合度造成影響,使得原本應(yīng)該發(fā)生接觸的地方不再接觸,導(dǎo)致某一時(shí)刻接觸片數(shù)量m減小。本文先根據(jù)GB 3480-1983漸開(kāi)線(xiàn)圓柱齒輪承載能力計(jì)算方法,計(jì)算人字齒輪的平均剛度,計(jì)算公式為

(14)

式中：b為半齒寬；εα為端面重合度；q為單位齒寬柔度。

根據(jù)平均嚙合剛度,可以求得輪齒在載荷下的變形量,使用變形量與每片輪齒理論嚙合點(diǎn)處的修形量比較,若修形量大于變形量,說(shuō)明該片輪齒不會(huì)發(fā)生接觸。

修形還會(huì)改變接觸點(diǎn)到輪齒中心線(xiàn)的距離hx,從而使輪齒截面慣性矩Ix和截面面積Ax發(fā)生改變,最終影響剪切剛度ks、彎曲剛度kb、軸向壓縮剛度ka以及由軸向力引起的彎曲剛度kab和剪切剛度kas。下面對(duì)含有修形的接觸點(diǎn)x到輪齒中心線(xiàn)的距離進(jìn)行計(jì)算,齒頂修薄將齒頂部分的齒廓修成一條直線(xiàn),帶有齒廓修形的接觸點(diǎn)x到輪齒中心線(xiàn)的距離公式為

(15)

式中：sx為任意圓齒厚；H為修形高度；Δc為齒廓修形量；ra為齒頂圓半徑；rb為基圓半徑。

(15)式中,任意圓齒厚sx可以由任意圓半徑rx求出,如果將輪齒沿著齒高的方向等分成M份,可以用(15)式求出M個(gè)接觸點(diǎn)x在對(duì)應(yīng)半徑處到輪齒中心線(xiàn)的距離。

在(15)式基礎(chǔ)上,計(jì)算得到含有齒向修形的接觸點(diǎn)x到輪齒中心線(xiàn)的距離,其公式為

(16)

式中：Δl為齒向修形量；B為齒寬。

將公式(16)計(jì)算得到的半齒厚代入公式(12)～(13)就可以計(jì)算出修形之后的截面慣性矩Ix和截面面積Ax。

1.3 綜合剛度及時(shí)變嚙合剛度計(jì)算

將修形之后的截面慣性矩Ix和截面面積Ax代入公式(7)～(11)即可得到修形后的剪切剛度ks、彎曲剛度kb和軸向壓縮剛度ka以及由軸向力引起的彎曲剛度kab和剪切剛度kas。此處所求的各個(gè)剛度是其中一個(gè)齒輪上輪齒的各個(gè)剛度,如果要求單個(gè)輪齒的綜合剛度,計(jì)算公式如下所示

(17)

式中,i=1,2,代表齒輪1或齒輪2。

要計(jì)算相互嚙合的一對(duì)輪齒的綜合剛度,還要考慮赫茲接觸剛度和齒輪基體剛度的影響,但是由于人字齒輪的基體剛度比較大,假設(shè)齒輪基體為剛性,僅在綜合剛度計(jì)算時(shí)考慮赫茲接觸剛度,計(jì)算公式如下

(18)

式中：k為相互嚙合的一對(duì)輪齒的綜合剛度；k1和k2是由公式(17)計(jì)算出的2個(gè)齒輪上單個(gè)輪齒的綜合剛度；kh為赫茲接觸剛度。

通過(guò)(18)式算出的是單側(cè)斜齒輪副一對(duì)輪齒的綜合剛度,根據(jù)嚙合周期和重合度的關(guān)系,將一對(duì)輪齒的綜合剛度進(jìn)行疊加,得到單側(cè)斜齒輪副的時(shí)變嚙合剛度k(t)。假設(shè)人字齒輪為理想齒輪,人字齒輪副時(shí)變嚙合剛度應(yīng)該為單側(cè)斜齒輪副時(shí)變嚙合剛度的2倍,即kr(t)=2k(t),kr(t)為人字齒輪副時(shí)變嚙合剛度。

2 算法驗(yàn)證

本文提出的考慮軸向力的修形人字齒輪副時(shí)變嚙合剛度算法計(jì)算流程如圖4所示。

用于驗(yàn)證該算法的正確性,使用的人字齒輪和材料的基本參數(shù)如表1所示。

為了驗(yàn)證本文提出的解析法計(jì)算結(jié)果的可靠性和準(zhǔn)確性,將本文算法結(jié)果分別與有限元接觸分析法得到的輪齒嚙合剛度值和ISO標(biāo)準(zhǔn)得到的嚙合剛度值進(jìn)行對(duì)比。

使用ANSYS apdl語(yǔ)言對(duì)輪齒進(jìn)行參數(shù)化造型,得到兩側(cè)完全對(duì)稱(chēng)的一對(duì)輪齒的模型,并進(jìn)行網(wǎng)格劃分,得到一對(duì)輪齒的有限元模型如圖5所示。

建立有限元模型后,對(duì)一個(gè)輪齒整個(gè)嚙合過(guò)程中轉(zhuǎn)過(guò)的角度進(jìn)行等分,然后調(diào)整嚙合位置,將調(diào)整后處于不同嚙合位置的有限元模型導(dǎo)入workbench中進(jìn)行邊界條件設(shè)置和加載分析。

本文使用單齒嚙合剛度并聯(lián)方法求解一對(duì)輪齒的綜合嚙合剛度。因此在有限元計(jì)算時(shí),先將一個(gè)輪齒設(shè)置為剛體,一輪齒設(shè)置為柔性體,進(jìn)行剛?cè)狁詈嫌?jì)算,得到一個(gè)輪齒的嚙合剛度,然后再將已經(jīng)計(jì)算的輪齒設(shè)為剛體,原先為剛體的輪齒設(shè)為柔性體,再次進(jìn)行計(jì)算,得到另一個(gè)輪齒的嚙合剛度,2個(gè)輪齒的嚙合剛度進(jìn)行并聯(lián),得到單對(duì)輪齒的綜合嚙合剛度。

在workbench中,首先定義材料屬性,然后進(jìn)入模型中將其中一個(gè)輪齒設(shè)為剛體,另一個(gè)設(shè)為柔性體,齒面接觸為無(wú)摩擦接觸,將柔性輪齒2個(gè)側(cè)面和輪轂處圓弧面進(jìn)行固定約束,剛性輪齒2個(gè)側(cè)面和輪轂處圓弧面設(shè)置遠(yuǎn)端位置,對(duì)這些面x,y,z方向的移動(dòng)自由度和繞著x,y的2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度進(jìn)行約束,最后對(duì)剛性輪齒施加一個(gè)200 N·m的轉(zhuǎn)矩,施加邊界條件后的模型如圖6所示。

分別對(duì)不同嚙合位置的有限元模型進(jìn)行求解后,查看輪齒的總變形量δ,通過(guò)公式

(19)

計(jì)算出不同嚙合位置的嚙合剛度。其中,Fn為名義法向力。將仿真得到的輪齒的變形量帶入公式(19),計(jì)算得到單個(gè)輪齒嚙合剛度,并與本文計(jì)算的嚙合剛度進(jìn)行比較,如圖7所示。

從圖7a)可以看出,小齒輪單齒嚙合剛度的有限元計(jì)算結(jié)果略小于本文計(jì)算結(jié)果,但是趨勢(shì)基本一致,從圖7b)可以看出,大齒輪單齒嚙合剛度的有限元計(jì)算結(jié)果與本文計(jì)算結(jié)果比較接近。

將本文算法得到的人字齒輪副單對(duì)輪齒嚙合剛度與ISO和有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證如圖8所示。

從圖8可以看出,使用表1中的參數(shù),在未修形及兩側(cè)完全對(duì)稱(chēng)的情況下,ISO標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算得到的嚙合剛度的最大值最大,本文未考慮軸向力和考慮軸向力的計(jì)算結(jié)果均大于有限元計(jì)算結(jié)果,這是由于有限元法中各離散單元之間具有耦合作用,而本文解析算法并未考慮薄片之間的耦合作用。同時(shí)本文考慮軸向力的計(jì)算結(jié)果較未考慮軸向力的計(jì)算結(jié)果降低5.42%,說(shuō)明模型中考慮軸向力對(duì)嚙合剛度的影響是有效的,且考慮軸向力之后嚙合剛度更加接近有限元結(jié)果。

3 修形對(duì)嚙合剛度的影響

本文針對(duì)表1中的齒輪參數(shù)、材料屬性及工況條件,研究齒廓修形和齒向修形對(duì)人字齒輪副時(shí)變嚙合剛度的影響。

3.1 齒廓修形量對(duì)嚙合剛度的影響

齒廓修形如圖3a)所示,齒廓修形量計(jì)算公式為[23]

(20)

式中：c1和c2分別為小齒輪和大齒輪的齒廓修量；Ft為切向力,b為齒寬；mn為法向模數(shù)。代入表1中的參數(shù)得到小齒輪的修形量c1=0.017 mm,大齒輪的修形量c2=0.012 mm。

齒廓修形的影響因素有2個(gè)：①齒廓修形量；②齒廓修形長(zhǎng)度。首先研究齒廓修形量對(duì)嚙合剛度的影響,一般齒廓修形長(zhǎng)度為L(zhǎng)c=0.4mn,文中大齒輪和小齒輪修形長(zhǎng)度均取2 mm。然后在公式(20)計(jì)算得到的修形量基礎(chǔ)上,減小5 μm取一次修形量,計(jì)算得到齒廓修形量對(duì)嚙合剛度的影響,如圖9所示。

圖9中,情況1小齒輪齒廓修形量為0.017 mm,大齒輪齒廓修形量為0.012 mm,修形長(zhǎng)度均為2 mm;情況2小齒輪齒廓修形量為0.012 mm, 大齒輪齒廓修形量為0.007 mm,修形長(zhǎng)度均為2 mm;情況3小齒輪和大齒輪均未修形。從圖9a)可以看出,隨著齒廓修形量的增加,單對(duì)輪齒嚙合剛度出現(xiàn)降低,而且嚙合剛度右側(cè)明顯降低較多,這是因?yàn)樾↓X輪作為主動(dòng)輪,在退出嚙合時(shí),小齒輪的頂部逐漸嚙出,而小齒輪的修形量較大,會(huì)導(dǎo)致截面積減小較多,使剛度降低較多,甚至其修形量已經(jīng)大于計(jì)算得到的平均變形量,在進(jìn)行接觸判斷時(shí),判定其為不接觸,即出現(xiàn)該處輪齒沒(méi)有接觸的情況,則對(duì)應(yīng)輪齒片的剛度記為0。從圖9b)可以看出,隨著齒廓修形量的增加,時(shí)變嚙合剛度減小。

時(shí)變嚙合剛度的方差可以體現(xiàn)出時(shí)變嚙合剛度的波動(dòng)情況,不同修形量下時(shí)變嚙合剛度的均值可以體現(xiàn)出修形對(duì)剛度大小的影響,齒廓修形量對(duì)時(shí)變嚙合剛度均值和方差的影響如圖10所示。

圖10 齒廓修形量對(duì)時(shí)變嚙合剛度均值和方差的影響

圖10中實(shí)線(xiàn)為時(shí)變嚙合剛度均值曲線(xiàn),可以看出,隨著小齒輪和大齒輪齒廓修形量的增加,時(shí)變嚙合剛度均值逐漸減小;虛線(xiàn)為時(shí)變嚙合剛度方差曲線(xiàn),當(dāng)大齒輪齒廓修形量不變時(shí),隨著小齒輪齒廓修形量的增加方差先增大后減小,當(dāng)小齒輪齒廓修形量不變時(shí),隨著大齒輪齒廓修形量的增加,方差逐漸減小。

3.2 齒廓修形長(zhǎng)度對(duì)嚙合剛度的影響

在小齒輪的修形量c1=0.017 mm,大齒輪的修形量c2=0.012 mm保持不變的情況下,使修形長(zhǎng)度分別為1.5,2.0,2.5 mm,研究修形長(zhǎng)度對(duì)嚙合剛度的影響,如圖11所示。

圖11 齒廓修形長(zhǎng)度對(duì)嚙合剛度的影響

圖11中,情況1齒廓修形長(zhǎng)度為1.5 mm;情況2齒廓修形長(zhǎng)度為2.0 mm;情況3齒廓修形長(zhǎng)度為2.5 mm。從圖11可以看出,與齒廓修形量對(duì)單齒嚙合剛度的影響相似,隨著齒廓修形長(zhǎng)度的增加單對(duì)輪齒嚙合剛度和時(shí)變嚙合剛度均減小。

齒廓修形長(zhǎng)度對(duì)時(shí)變嚙合剛度均值和方差的影響如圖12所示。

圖12 齒廓修形長(zhǎng)度對(duì)時(shí)變嚙合剛度均值和方差的影響

圖12中實(shí)線(xiàn)為時(shí)變嚙合剛度均值曲線(xiàn),可以看出,隨著齒廓修形長(zhǎng)度的增加,時(shí)變嚙合剛度均值先下降,然后逐漸平穩(wěn);虛線(xiàn)為時(shí)變嚙合剛度方差曲線(xiàn),隨著齒廓修形長(zhǎng)度的增加,時(shí)變嚙合剛到的方差先增大,再減小,最后趨于穩(wěn)定。

3.3 齒向修形量對(duì)嚙合剛度的影響

齒向鼓形修形如圖3b)所示,對(duì)于一般精度齒輪,鼓形量計(jì)算公式為[22]

Δ≈fHβ+(5～10)μm

(21)

式中,fHβ為螺旋線(xiàn)傾斜極限偏差。

通過(guò)查表可得,小齒輪螺旋線(xiàn)傾斜極限偏差為8.5 μm,大齒輪螺旋線(xiàn)傾斜極限偏差為9.0 μm,通過(guò)(21)式計(jì)算,得到小齒輪鼓形量的范圍是13.5～18.5 μm,大齒輪鼓形量的范圍是14～19 μm,本文小齒輪和大齒輪的鼓形量均取15 μm。為了研究鼓形量對(duì)嚙合剛度的影響,在選取的鼓形量?jī)蓚?cè)再取2個(gè)鼓形量進(jìn)行對(duì)比較。

圖13 齒向修形量對(duì)嚙合剛度的影響

圖13中,情況1小齒輪和大齒輪鼓形量均為10 μm;情況2小齒輪和大齒輪鼓形量均為15 μm;情況3小齒輪和大齒輪的鼓形量均為20 μm。從圖13a)可以看出,隨著鼓形量增加,單對(duì)輪齒嚙合剛度最大值明顯降低,而且嚙合剛度兩側(cè)明顯向內(nèi)移動(dòng),這是說(shuō)明修形后導(dǎo)致嚙合時(shí),存在更多輪齒不接觸部分。從圖13b)可以看出,隨著齒向修形量增大,時(shí)變嚙合剛度不斷減小,剛度的幅值出現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì),隨著修形量增大,時(shí)變嚙合剛度由較大的波動(dòng)變得平緩,修形量增大到一定值后,時(shí)變嚙合剛度的波動(dòng)又開(kāi)始逐漸增大,而且時(shí)變嚙合剛度的波峰和波谷的位置出現(xiàn)變化。

鼓形量對(duì)時(shí)變嚙合剛度均值和方差的影響如圖14所示。

圖14 鼓形量對(duì)時(shí)變嚙合剛度均值和方差的影響

圖14中實(shí)線(xiàn)為時(shí)變嚙合剛度均值曲線(xiàn)，可以看出，隨著小齒輪鼓形量的增加，時(shí)變嚙合剛度均值逐漸減小，隨著大齒輪鼓形量的增加，先逐漸減小然后趨于平穩(wěn)；虛線(xiàn)為時(shí)變嚙合剛度方差曲線(xiàn)，當(dāng)小齒輪鼓形量不變時(shí)，隨著大齒輪鼓形量的增加方差先減小后增大，然后趨于平穩(wěn)，當(dāng)大齒輪鼓形量不變時(shí)，隨著小齒輪鼓形量的增加，方差逐漸減小。

3.4 與Masta軟件的對(duì)比驗(yàn)證

本文假設(shè)人字齒輪的退刀槽為剛性，然后將人字齒輪視為2個(gè)斜齒輪的并聯(lián)，基于Masta對(duì)斜齒輪進(jìn)行修形剛度分析。在使用Masta進(jìn)行計(jì)算時(shí)，由于是對(duì)一側(cè)斜齒輪進(jìn)行計(jì)算，因此轉(zhuǎn)矩需要減半，然后將Masta計(jì)算結(jié)果的2倍作為人字齒輪的嚙合剛度，與本文的解析算法計(jì)算的含有修形的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，齒廓修形結(jié)果比較如表2所示，齒向修形結(jié)果比較如表3所示。

由表2和表3的對(duì)比可以看出，本文算法結(jié)果與Masta軟件計(jì)算結(jié)果的2倍比較，剛度最大值的誤差不超過(guò)8%，剛度幅值的誤差不超過(guò)20%，說(shuō)明該解析算法能夠快速且較為準(zhǔn)確對(duì)修形后的人字齒輪副的時(shí)變嚙合剛度進(jìn)行計(jì)算。

表2 本文齒廓修形計(jì)算結(jié)果與Masta軟件計(jì)算結(jié)果對(duì)比

表3 本文齒向修形計(jì)算結(jié)果與Masta軟件計(jì)算結(jié)果對(duì)比

4 結(jié) 論

1) 將切片法與勢(shì)能法相結(jié)合，提出了一種考慮對(duì)稱(chēng)度、軸向力和修形的人字齒輪傳動(dòng)時(shí)變嚙合剛度的解析算法，并與有限元計(jì)算結(jié)果和ISO標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，驗(yàn)證算法的準(zhǔn)確性。

2) 單對(duì)輪齒嚙合剛度及人字齒輪副時(shí)變嚙合剛度均隨著齒廓修形量的增大而減小，時(shí)變嚙合剛度均值隨著小齒輪和大齒輪齒廓修形量的增加逐漸減小，時(shí)變嚙合剛度方差隨著小齒輪齒廓修形量的增加先增大后減小，隨著大齒輪齒廓修形量的增加逐漸減小。

3) 單對(duì)輪齒嚙合剛度及人字齒輪副時(shí)變嚙合剛度均隨著齒廓修形長(zhǎng)度的增大而減小，時(shí)變嚙合剛度均值隨著齒廓修形長(zhǎng)度的增加先下降，然后逐漸平穩(wěn)，時(shí)變嚙合剛度方差隨著齒廓修形長(zhǎng)度的增加，先增大，再減小，最后趨于穩(wěn)定。

4) 齒向修形對(duì)嚙合剛度的降低較齒廓修形更為明顯，單對(duì)輪齒嚙合剛度及人字齒輪副時(shí)變嚙合剛度均隨著齒向修形量的增大而減小，時(shí)變嚙合剛度均值隨著小齒輪齒向修形量的增加逐漸減小，隨著大齒輪齒向修形量的增加先減小最后趨于平穩(wěn)，時(shí)變嚙合剛度方差隨著小齒輪齒向修形量的增加逐漸減小，隨著大齒輪齒向修形量的增加先減小后增大，然后趨于平穩(wěn)。