解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維深刻性的途徑研究

◎趙 玲 王 淳 （.西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637000；.成都市新都一中實(shí)驗(yàn)學(xué)校，四川 成都 60500）

一、思維深刻性品質(zhì)的概述

數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的成分主要包括數(shù)學(xué)思維的深刻性、廣闊性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性、目的性、敏捷性和批判性七個(gè)方面.思維的深刻性又被稱為分清實(shí)質(zhì)的能力，這種能力表現(xiàn)為能洞察所研究的每一事實(shí)的本質(zhì)以及這些事實(shí)之間的相互關(guān)系.它是一切思維品質(zhì)的基礎(chǔ).對(duì)于初中學(xué)生而言，具備思維深刻性品質(zhì)不僅是學(xué)生解題能力的基礎(chǔ)，也是學(xué)生終身學(xué)習(xí)所需的基本思維能力.因此，在初中教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性至關(guān)重要.

二、培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性品質(zhì)存在的問題分析

由于思維的深刻性和解題能力之間有著密切聯(lián)系，解題能力是以思維的深刻性為基礎(chǔ)的，而學(xué)生思維深刻性的培養(yǎng)又是在解題過程中逐步實(shí)現(xiàn)的，因此教師應(yīng)該在解題教學(xué)中有目的、有意識(shí)地對(duì)學(xué)生思維深刻性的品質(zhì)進(jìn)行培養(yǎng).在習(xí)題的講解中，教師可通過區(qū)分相似概念、挖掘隱含條件、探索一般規(guī)律、滲透數(shù)學(xué)思想這四個(gè)途徑培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性.但是，在具體的解題教學(xué)中，許多教師卻忽視了通過這四個(gè)途徑.下面以反比例函數(shù)章節(jié)的習(xí)題為例，具體分析教師在解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性品質(zhì)時(shí)存在的問題.

（一）忽視了對(duì)相似概念的區(qū)分

重視對(duì)相似概念的區(qū)分.教師可以使學(xué)生通過分析、比較相似事物屬性的異同，逐步培養(yǎng)學(xué)生透過現(xiàn)象看清問題本質(zhì)的能力，提高思維的深刻性.但是，在反比例函數(shù)概念的解題教學(xué)中，許多教師沒有著重區(qū)分反比例函數(shù)和反比例關(guān)系的概念以及反比例函數(shù)值與正比例函數(shù)值的異同，學(xué)生在做題時(shí)極易對(duì)這些相似概念混淆，導(dǎo)致學(xué)生缺乏透過表面現(xiàn)象看清問題實(shí)質(zhì)的能力，不利于學(xué)生思維深刻性的培養(yǎng).

（二）忽視了對(duì)隱含條件的挖掘

隱含條件是指問題中那些若明若暗、含而不露的已知條件，往往需要通過對(duì)問題的深入分析和深刻理解才能使之明朗化.隱含條件的挖掘是對(duì)思維深刻性品質(zhì)的鍛煉.但是，在求反比例函數(shù)值的解題教學(xué)中，許多教師認(rèn)為學(xué)生遺漏隱含條件的原因是不細(xì)心，因此對(duì)隱含條件的講解存在“重結(jié)果”“輕過程”的現(xiàn)象.例如，題目中常需要根據(jù)圖形所在的象限決定值的符號(hào)以及在求反比例函數(shù)值時(shí)需要注意≠0.如果教師對(duì)詳細(xì)原因不做重點(diǎn)講解，那么學(xué)生解題時(shí)就容易漏掉這些隱含條件，導(dǎo)致學(xué)生解題的嚴(yán)謹(jǐn)性不能得到訓(xùn)練，不利于思維深刻性的培養(yǎng).

（三）忽視了對(duì)一般規(guī)律的探索

教師在講解同一類問題時(shí)，還要引導(dǎo)學(xué)生探討解決這類題型的“通法”，讓學(xué)生用異中求同的方式分析問題，揭示問題之間的相互關(guān)系，這本身就是對(duì)思維深刻性的訓(xùn)練.但是，在求反比例函數(shù)與幾何圖形所圍成的面積的問題中，有的教師只是讓學(xué)生做例題，接著講例解.他們沒有對(duì)其中蘊(yùn)含的解題規(guī)律進(jìn)行歸納，進(jìn)而總結(jié)出利用反比例函數(shù)值求面積問題以及利用坐標(biāo)求面積問題的“通法”，導(dǎo)致學(xué)生缺乏用異中求同的方式分析問題和解決問題，不利于思維深刻性的培養(yǎng).

（四）忽視了對(duì)數(shù)學(xué)思想的滲透

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)識(shí).注重?cái)?shù)學(xué)思想的教學(xué)不僅能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的“軀體”，而且能使學(xué)生掌握其內(nèi)在的“精神”，這也是對(duì)思維深刻性的訓(xùn)練.但是，在解決反比例函數(shù)單調(diào)性問題的題目中，許多教師沒有滲透數(shù)形結(jié)合思想；在求不規(guī)則圖形面積問題的題目中，他們沒有滲透整體思想.這樣的做法導(dǎo)致學(xué)生不能將所學(xué)知識(shí)和方法進(jìn)行有效的融合，缺乏對(duì)數(shù)學(xué)思想的構(gòu)建，不利于思維深刻性的培養(yǎng).

三、培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性的途徑

上述內(nèi)容分析了教師在解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性存在的問題.下面以反比例函數(shù)章節(jié)的典型習(xí)題為例，從注重區(qū)分相似概念、挖掘隱含條件、探索解題規(guī)律、滲透數(shù)學(xué)思想這四個(gè)途徑提出培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性的方法.

（一）注重區(qū)分相似概念

概念是對(duì)事物本質(zhì)屬性的描述，重視相似概念的區(qū)分能夠加深學(xué)生對(duì)事物本質(zhì)的認(rèn)識(shí).在教學(xué)中通過比較、分析相似概念的異同點(diǎn)，能夠避免學(xué)生被事物表面的相似性迷惑，從而提高學(xué)生分清相似事物實(shí)質(zhì)的能力，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性的目的.

1.區(qū)分反比例關(guān)系和反比例函數(shù)的概念.

例1 下列屬于反比例函數(shù)的是（ ）.

由于反比例函數(shù)與反比例關(guān)系概念的相似性，許多學(xué)生不能區(qū)分反比例函數(shù)與反比例關(guān)系的異同，誤認(rèn)為最后兩個(gè)選項(xiàng)也是反比例函數(shù).事實(shí)上，反比例函數(shù)中兩個(gè)變量只能由單獨(dú)的字母表示，而反比例關(guān)系中的兩個(gè)變量是整式.因此反比例函數(shù)是反比例關(guān)系的一種特殊情況，并且反比例函數(shù)中的兩個(gè)變量有更明確的數(shù)量關(guān)系.教師通過對(duì)反比例函數(shù)概念和反比例關(guān)系概念的教學(xué)，可以提高學(xué)生在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中對(duì)反比例函數(shù)概念的認(rèn)知.

2.區(qū)分反比例函數(shù)值與正比例函數(shù)值的概念.

（二）注意挖掘隱含條件

隱含條件是那些隱含在題設(shè)內(nèi)，不易被察覺的條件.在教學(xué)中，教師可通過挖掘隱含條件，使題設(shè)條件更完備，這有利于提高學(xué)生分析問題的嚴(yán)謹(jǐn)性.因此，注意隱含條件的挖掘也是對(duì)思維深刻性的培養(yǎng).

1.注意≠0.

很多學(xué)生根據(jù)-5＝-1，得出＝±2.而忽略了≠2.在教學(xué)中，教師要深入挖掘反比例函數(shù)≠2 的含義.因?yàn)楫?dāng)＝2 時(shí)，無論取何值都有≡0，不滿足反比例函數(shù)的定義.通過分析本題中≠2 這一隱含條件，可提高學(xué)生分析問題的嚴(yán)謹(jǐn)性.

2.注意的符號(hào).

圖1

A.-6B.6C.-3D.3

很多學(xué)生根據(jù)三角形面積為3，得出＝6，忽略了還要結(jié)合函數(shù)圖像所在的象限確定的符號(hào).在教學(xué)中，教師要深入分析三角形面積和的幾何意義的聯(lián)系，才能使學(xué)生避免這類問題設(shè)下的陷阱，提高學(xué)生解題時(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

（三）注重探索解題規(guī)律

對(duì)反比例函數(shù)求面積問題的綜合題進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)這類題的題目雖然變化多端，但是關(guān)鍵考點(diǎn)并不多，很多題看似不同，其實(shí)屬于同一類題.通過探討解決一類題的“通法”，用異中求同的方式分析問題、揭示問題之間的相互關(guān)系，就是對(duì)思維深刻性的培養(yǎng).

1.探索利用反比例函數(shù)值求面積問題的解題規(guī)律.

圖2

如果題目的已知量只有函數(shù)解析式，則這類問題就要利用反比例函數(shù)值求解.雖然本題是用值求面積問題的個(gè)別案例，但教師要引導(dǎo)學(xué)生探索出解決這類問題的一般規(guī)律.通過對(duì)該案例解題環(huán)節(jié)的提煉，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)這類問題的解題規(guī)律：首先觀察所給圖形的任意一邊是否垂直坐標(biāo)軸，如果垂直，則可直接利用值求解.如果所給圖形的任意一邊不垂直于坐標(biāo)軸，則要利用三角形全等的知識(shí)，將原圖形進(jìn)行割補(bǔ)，轉(zhuǎn)化為任意一邊垂直坐標(biāo)軸的圖形，再利用值求解.

2.探索利用坐標(biāo)求面積問題的解題規(guī)律.

圖3

如果題目的已知量只有函數(shù)解析式、點(diǎn)的坐標(biāo)，則這類問題就要利用點(diǎn)的坐標(biāo)求解.本題盡管是用坐標(biāo)求面積問題的特殊案例，但教師要引導(dǎo)學(xué)生探索出解決這類問題的一般規(guī)律，通過對(duì)該案例解題環(huán)節(jié)的提煉，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)這類問題的解題規(guī)律：根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)及其函數(shù)解析式可求出其他關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，再將這些點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段關(guān)系，結(jié)合面積公式，從而將問題解決.

（四）注重滲透數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是學(xué)生依據(jù)具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中提煉出的數(shù)學(xué)本質(zhì).在解題過程中，數(shù)學(xué)思想是學(xué)生明確解決問題方法的認(rèn)知能力，是使學(xué)生分清問題實(shí)質(zhì)的必備要素.因此，數(shù)學(xué)思想的滲透在思維深刻性的培養(yǎng)中必不可少.

1.滲透數(shù)形結(jié)合思想.

在講解有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的題目中，要結(jié)合函數(shù)圖形分析題目.通過函數(shù)圖像判斷函數(shù)值的大小，可使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想，體會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì).

2.滲透整體與系統(tǒng)思想.

圖4

由于反比例函數(shù)具有關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的性質(zhì)，如果所求的圖形也具有對(duì)稱性，那么從整體與系統(tǒng)的角度認(rèn)識(shí)反比例函數(shù)圖像和幾何圖形，就是對(duì)這類題型本質(zhì)的認(rèn)識(shí).本題解題的關(guān)鍵在于要將題目中所給圖形的某一部分，利用對(duì)稱性轉(zhuǎn)化為一個(gè)整體圖形，這里的整體圖形是指能夠利用基本圖形的面積公式計(jì)算出面積的圖形.通過領(lǐng)悟整體與系統(tǒng)思想，學(xué)生能體會(huì)到解決這類問題的本質(zhì).

結(jié) 語

教師應(yīng)該有目的、有針對(duì)性地對(duì)學(xué)生思維的深刻性品質(zhì)進(jìn)行培養(yǎng).本文提出了在解題教學(xué)中從注重區(qū)分相似概念、挖掘隱含條件、探索解題規(guī)律、滲透思想方法這四個(gè)途徑培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性的方法.首先，教師應(yīng)該注重相似概念的區(qū)分，提高學(xué)生分清相似事物實(shí)質(zhì)的能力；其次，注重隱含條件的挖掘，提高學(xué)生分析問題的嚴(yán)謹(jǐn)性；再次，注重對(duì)同一類問題解決規(guī)律的探索，提高學(xué)生用異中求同的方式分析問題的能力；最后，注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透，對(duì)題目中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想建立整體性的認(rèn)知結(jié)構(gòu).這四個(gè)途徑，不僅能幫助教師優(yōu)化教學(xué)策略，提高解題教學(xué)的效率，而且能幫助學(xué)生開拓思維，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，使學(xué)生具備終身學(xué)習(xí)的思維品質(zhì).