高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生思維廣度與深度的思考
——以“正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖像”的教學(xué)為例

◎陳因鴻 （重慶市永川萱花中學(xué)校，重慶 402160）

引 言

進(jìn)入高中階段，意味著學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)能力與思考能力有著顯著的提升，他們能夠根據(jù)知識的內(nèi)容構(gòu)建完整的邏輯，并運(yùn)用到實(shí)際當(dāng)中.數(shù)學(xué)學(xué)科知識點(diǎn)之間的聯(lián)系較為緊密，以正弦函數(shù)為例，這部分知識不僅涉及與三角函數(shù)相關(guān)的內(nèi)容，還包括函數(shù)圖像的變化，并能夠與余弦函數(shù)的性質(zhì)和圖像形成對比.因此，通過介紹這部分內(nèi)容，教師可以幫助學(xué)生更好地體會(huì)構(gòu)建深度思維的意義，從而拓展思考的方向，將不同的知識連接成完整的知識網(wǎng)絡(luò).在新的教育背景下，教師可以嘗試結(jié)合課外相關(guān)輔助資源，豐富授課環(huán)節(jié)，以保證學(xué)生的積極性.在學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力提升的同時(shí)，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維，最終使他們的能力和思維都有所提升.

一、思維廣度與深度的含義及意義

（一）具體含義

在全面培養(yǎng)與發(fā)展的過程中，教師應(yīng)當(dāng)首先明確培養(yǎng)的目標(biāo)，從而制訂不同的授課方案.思維的廣度實(shí)際上是指橫向思考的能力，而深度則體現(xiàn)在集中思考的方向.廣度意味著學(xué)生要能夠多角度獨(dú)立地思考問題出現(xiàn)的原因、其中存在的規(guī)律和隱藏條件以及最終的解決方案，根據(jù)其中的一個(gè)已知條件，結(jié)合自己所掌握的知識進(jìn)行突破，或者是在兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的事物中探索其中的關(guān)系.這種思考的方式主要是要讓學(xué)生了解問題的多面性，從而培養(yǎng)他們舉一反三和一題多解的能力.深度更注重對結(jié)論的總結(jié)，通過事物的現(xiàn)象能夠挖掘出其內(nèi)在的本質(zhì)，這需要同學(xué)們對于不同的問題有著深刻的認(rèn)識，由此找出合乎邏輯的關(guān)系.

（二）實(shí)際意義

面對新的教育形式，傳統(tǒng)教學(xué)已經(jīng)不再適應(yīng)現(xiàn)代學(xué)生的發(fā)展，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需要在練習(xí)習(xí)題的過程中總結(jié)出規(guī)律，這一切需要在知識扎實(shí)的情況下展開.因此，在課上，教師應(yīng)當(dāng)重視每一個(gè)單元之間存在的聯(lián)系，深入挖掘其中存在的規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生豐富自己的知識和閱歷，為思想的形成奠定基礎(chǔ).而在課上培養(yǎng)思維的廣度與深度，真實(shí)的目的是要讓學(xué)生能夠深刻地理解知識的具體含義，能夠在現(xiàn)有的基礎(chǔ)上總結(jié)并創(chuàng)新，從而提高自己的思想境界與數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，最終提升個(gè)人的能力.

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中提升學(xué)生思維廣度與深度的思考

如今隨著教育體制改革的深入推進(jìn)，越來越多的專家學(xué)者強(qiáng)調(diào)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，這就意味著教師在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時(shí)，要提升學(xué)生思維的廣度與深度.筆者經(jīng)過多年的教學(xué)實(shí)踐了解到，教師在培養(yǎng)學(xué)生思維廣度與深度的基礎(chǔ)上需要遵循以下教學(xué)原則：一、教學(xué)內(nèi)容需要立足于學(xué)生的直觀想象力.二、教學(xué)內(nèi)容需要能夠切實(shí)解決學(xué)生的數(shù)學(xué)疑問.三、教學(xué)活動(dòng)需要立足于基本數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn).以下將對這三個(gè)方面進(jìn)行詳細(xì)的闡述與分析.

（一）立足于直觀想象力，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

實(shí)際上，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，教師需要培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力.相比于高中其他科目的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)學(xué)科具有一定的抽象性，學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，如果無法在腦海中建立全面的想象，那么就無法充分理解該模塊內(nèi)容.因此，專家將直觀想象力歸納到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之中.筆者經(jīng)過多年的教學(xué)實(shí)踐了解到，只有不斷提升學(xué)生的直觀想象力，才能夠有效提高課堂教學(xué)質(zhì)量.直觀想象力不僅可以幫助學(xué)生將學(xué)到的知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)思維，更能夠提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力.值得注意的是，要想提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣度與深度，就需要在培養(yǎng)學(xué)生直觀想象力的過程中對這兩個(gè)方面足夠重視：一、直觀能力.二、想象能力.直觀能力的培養(yǎng)主要是培養(yǎng)學(xué)生建立直覺思維，想象能力的培養(yǎng)主要是培養(yǎng)學(xué)生的三維立體能力.因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時(shí)，需要在建立其直觀思維的基礎(chǔ)上有效培養(yǎng)其想象能力.

（二）立足于數(shù)學(xué)問題的解決，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

筆者通過一對一訪談班級中的學(xué)生，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生雖然能夠聽懂教師在課堂中傳授的知識，但是一到做題環(huán)節(jié)就手足無措.由此可見，在提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維廣度與深度的過程中，還需要培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力.大多數(shù)學(xué)生無法將學(xué)到的知識轉(zhuǎn)化為解決問題的能力，這就要求教師在教學(xué)中融入適當(dāng)?shù)念}型，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維能力的目的.如今，隨著素質(zhì)教育的穩(wěn)步推進(jìn)，教師在培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力的過程中，可以融入一些生活素材，這樣的方式不僅能夠有效提升學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，更能夠引導(dǎo)學(xué)生將教材知識與實(shí)際生活相結(jié)合，最終達(dá)到提升學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.例如，在講解《正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖像》這一內(nèi)容時(shí)，一些學(xué)生認(rèn)為該知識十分晦澀難懂，學(xué)習(xí)久了甚至?xí)霈F(xiàn)走神的現(xiàn)象，因此，為了避免此類現(xiàn)象的發(fā)生，教師可以選取生活中的常見案例來進(jìn)行教學(xué).

（三）立足于基本數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

除了上述兩個(gè)方面之外，教師在提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維廣度與深度的過程中，還需要立足于基本數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn).研究發(fā)現(xiàn)，要想全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，需要根據(jù)班級中學(xué)生的實(shí)際情況建立三維模型，通過分層抽樣測試的方式來對不同學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行分析，最終結(jié)果發(fā)現(xiàn)：對于大多數(shù)學(xué)生來說，他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中抽象能力較好、邏輯能力較差，而學(xué)生的建模水平則呈現(xiàn)出參差不齊的情況.因此，在培養(yǎng)學(xué)生思維能力的過程中，教師需要有效提升學(xué)生的思維能力與建模水平.然而普通的教學(xué)無法對學(xué)生的這兩個(gè)能力進(jìn)行有效提升，因此，教師需要立足于數(shù)學(xué)基本活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)班級中學(xué)生的實(shí)際水平選取更加符合班級學(xué)生能力的教學(xué)方式與活動(dòng)形式，只有這樣的方式才能夠有效提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣度與深度.

三、理清知識結(jié)構(gòu)拓展思想的廣度與深度

四、在實(shí)際教學(xué)中采用策略培養(yǎng)學(xué)生的專業(yè)思維

（一）情境建設(shè)

在課堂中，情境的建設(shè)能夠幫助學(xué)生更好地進(jìn)入到相關(guān)的學(xué)習(xí)氛圍中.在帶領(lǐng)學(xué)生了解“正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖像”時(shí)，首先請他們思考“一個(gè)角的正弦是什么”，可以通過單位圓中正弦值的變化感受圖像的基本構(gòu)成.如圖1 所示.

圖1

在這一單位圓中，代表圓的半徑，長度為1，根據(jù)正弦值的定義，圖中就是任意角度的正弦值.根據(jù)這一結(jié)論，請同學(xué)們思考：正弦值的取值范圍是什么？ 在思考中，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)，隨著點(diǎn)的不斷運(yùn)動(dòng)，的值也在不斷地變化，取值區(qū)間為［-1，1］，將sin中的替換就能夠得出正弦函數(shù)，即＝sin，值域?yàn)椋?1，1］，定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù).這一概念的得出并不是教師直白地告訴學(xué)生的，而是他們自己總結(jié)出的.在這樣的情境建設(shè)中，學(xué)生可以根據(jù)最基礎(chǔ)的思路發(fā)現(xiàn)函數(shù)的定義式以及值域，在自己的總結(jié)中加深對這部分知識的理解與應(yīng)用，由此發(fā)展其思維的廣度，找到知識間存在的聯(lián)系.之后，教師帶領(lǐng)學(xué)生共同研究圖像的畫法，學(xué)生首先能夠想到利用特殊的正弦值在坐標(biāo)中描點(diǎn)，畫出一個(gè)單位區(qū)間的圖像.這種方法可以總結(jié)為“五點(diǎn)法”，（0，2π）為一個(gè)完整區(qū)間.在情境的建設(shè)中，學(xué)生的深度思維與廣度思維都能夠得到極好地訓(xùn)練，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的奧秘.

（二）思想提升

五、引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，拓展其思維的廣度與深度

結(jié) 語

邏輯的發(fā)展離不開教師和學(xué)生的相互配合，在實(shí)際的教學(xué)中，教師可以豐富課堂的環(huán)節(jié)帶動(dòng)同學(xué)們主動(dòng)思考，并在不同的提問方式中拓展同學(xué)們的思考方向，鍛煉學(xué)生的總結(jié)能力，在不同的方面中，培養(yǎng)他們思考的廣度與深度，從而更好地理解和應(yīng)用這一數(shù)學(xué)知識.