思維巧突破，零點妙證明

劉宇峰

【摘要】利用導(dǎo)數(shù)來破解函數(shù)零點的相關(guān)問題，創(chuàng)意新穎，背景各異，場景各不相同，思維方法變化多端，是高考命題者青睞與熱衷的一個命題方向.結(jié)合高考真題實例，熟練掌握此類問題的基本題型與基本破解方法和策略，以不變應(yīng)萬變，指導(dǎo)數(shù)學(xué)的教與學(xué).

【關(guān)鍵詞】函數(shù);導(dǎo)數(shù);切線;垂直;零點;絕對值

利用導(dǎo)數(shù)破解函數(shù)零點的相關(guān)問題一直是歷年高考中比較常見的一類題型，其創(chuàng)意新穎，背景各異，場景各不相同，思維方法變化多端.此類問題，合理地將函數(shù)、函數(shù)的零點、不等式以及導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等相關(guān)問題加以合理交匯，巧妙破解，方法多樣，思維多變，為各層次的學(xué)生均提供相應(yīng)的切入機會，具有很強的高考區(qū)分度與選拔性，是高考命題者青睞與熱衷的一個命題方向.

一、真題呈現(xiàn)

【高考真題】（2020年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅲ理科第21題）設(shè)函數(shù)f（x）=x3+bx+c，曲線y=f（x）在點12，f12處的切線與y軸垂直.

（1）求b;

（2）若f（x）有一個絕對值不大于1的零點，證明：f（x）所有零點的絕對值都不大于1.

此題以含參的三次函數(shù)為問題背景進行合理創(chuàng)設(shè)，以導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的零點等來合理設(shè)置，是高考中考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的交匯與融合時比較常見的函數(shù)類型.通過創(chuàng)新形式，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義來合理構(gòu)建，進而確定相應(yīng)的參數(shù)值，并在此基礎(chǔ)上，通過函數(shù)對應(yīng)的一個零點的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的零點的取值情況來巧妙設(shè)置證明問題，難度較大，讓人眼前一亮，同時很好地考查了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力等，具有很好的區(qū)分性與選拔性.

二、真題破解

解析：（1）f ′（x）=3x2+b，

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由題意得f ′12=0，即34+b=0，解得b=-34.

（2）思維視角一：分類討論思維

方法1：（分類討論法）

由（1）知f（x）=x3-34x+c，f ′（x）=3x2-34，令f ′（x）=0，解得x=-12或x=12，

而導(dǎo)函數(shù)f ′（x）與函數(shù)f（x）的情況為：

x

-∞，-12

-12

-12，12

12

12，+∞

f ′（x）

+

0

-

0

+

f（x）

c+14

c-14

因為f（1）=f-12=c+14，所以當c<-14時，函數(shù)f（x）只有大于1的零點;

因為f（-1）=f12=c-14，所以當c>14時，函數(shù)f（x）只有小于-1的零點;

由題設(shè)可知-14≤c≤14.

當c=-14時，函數(shù)f（x）只有兩個零點-12和1;當c=14時，函數(shù)f（x）只有兩個零點-1和12;當-14<c<14時，函數(shù)f（x）有三個零點x1，x2，x3，且x1∈-1，-12，x2∈-12，12，x3∈12，1.

綜上，若函數(shù)f（x）有一個絕對值不大于1的零點，則函數(shù)f（x）所有零點的絕對值都不大于1.

點評：根據(jù)題目條件，先求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的正負取值情況、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)在極值點處的取值情況，對參數(shù)c分類討論，再利用函數(shù)的不同零點個數(shù)情況加以分類討論，從而證明相關(guān)的命題成立.

思維視角二：參數(shù)分離思維

方法2：（反解參數(shù)法）

由（1）知f（x）=x3-34x+c，

設(shè)x0為函數(shù)f（x）的一個零點，根據(jù)題意，得f（x0）=x30-34x0+c=0，且|x0|≤1，

則c=-x30+34x0，|x0|≤1，

令c（x）=-x3+34x（-1≤x≤1），求導(dǎo)可得c′（x）=-3x2+34=-3x+12x-12，

當x∈-1，-12∪12，1時，c′（x）<0，當x∈-12，12時，c′（x）>0，

可知函數(shù)c（x）在-1，-12，12，1上單調(diào)遞減，在-12，12上單調(diào)遞增.

又c（-1）=14，c（1）=-14，c-12=-14，c12=14，則有-14≤c≤14.

設(shè)x1 為函數(shù)f（x）的零點，則必有f（x1）=x31-34x1+c=0，即-14≤c=-x31+34x1≤14，

所以4x31-3x1-1=（x1-1）（2x1+1）2≤0，4x31-3x1+1=（x1+1）（2x1-1）2≥0，解得-1≤x1≤1，即|x1|≤1.

所以函數(shù)f（x）所有零點的絕對值都不大于1.

點評：根據(jù)題目條件，分離參數(shù)，通過構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)值來確定參數(shù)的取值范圍，結(jié)合函數(shù)零點所滿足的關(guān)系式，利用不等式組的建立與求解來確定零點的取值范圍，從而證明相關(guān)的命題成立.

思維視角三：因式分解思維

方法3：（作差分解法）

由（1）知函數(shù)f（x）=x3-34x+c，

設(shè)x0為函數(shù)f（x）的絕對值不大于1的零點，根據(jù)題意有f（x0）=x30-34x0+c=0，①

若函數(shù)f（x）只有一個零點，則問題得證;

否則，設(shè)x1為函數(shù)f（x）的不同于x0的零點，根據(jù)題意有f（x1）=x31-34x1+c=0，②

由①-②，整理可得0=（x0-x1）x20+x0x1+x21-34=（x0-x1）x0+12x12-34（1-x21），

因為x0≠x1，則有34（1-x21）=x0+12x12≥0，解得|x1|≤1，問題得證.

綜上，若函數(shù)f（x）有一個絕對值不大于1的零點，則函數(shù)f（x）所有零點的絕對值都不大于1.

方法4：（待定系數(shù)法）

由（1）知函數(shù)f（x）=x3-34x+c，若函數(shù)f（x）只有一個零點，則問題得證;

否則，可設(shè)函數(shù)f（x）=（x-x1）（x-x2）（x-x3），其中x1+x2+x3=0，x1x2+x2x3+x1x3=-34，-x1x2x3=c，

則有x1=-x2-x3，代入x1x2+x2x3+x1x3=-34，整理可得x22+x23+x2x3=34，

配方整理有34（1-x23）=x2+12x32≥0，解得|x3|≤1，

同理可得|x1|≤1，|x2|≤1，問題得證.

綜上，若函數(shù)f（x）有一個絕對值不大于1的零點，則函數(shù)f（x）所有零點的絕對值都不大于1.

方法5：（判別式法）

由（1）知函數(shù)f（x）=x3-34x+c，若函數(shù)f（x）只有一個零點，則問題得證;

否則，可設(shè)函數(shù)f（x）=（x-x1）（x-x2）（x-x3），其中x1+x2+x3=0，x1x2+x2x3+x1x3=-34，-x1x2x3=c，

則有x1=-x2-x3，代入x1x2+x2x3+x1x3=-34，整理可得x22+x2x3+x23-34=0，

對于以上關(guān)于x2的一元二次方程，Δ=x23-4x23-34≥0，解得|x3|≤1，

同理可得|x1|≤1，|x2|≤1，問題得證.

綜上，若函數(shù)f（x）有一個絕對值不大于1的零點，則函數(shù)f（x）所有零點的絕對值都不大于1.

方法6：（二次函數(shù)法）

由（1）知函數(shù)f（x）=x3-34x+c，

設(shè)x0為函數(shù)f（x）的絕對值不大于1的零點，根據(jù)題意有f（x0）=x30-34x0+c=0，①

若函數(shù)f（x）只有一個零點，則問題得證.

否則，可設(shè)函數(shù)f（x）=（x-x0）x2+x0x+x20-34=（x-x0）g（x），則只需證明g（x）=0的兩根絕對值不大于1.

因為函數(shù)g（x）圖像的對稱軸為x=-12x0∈-12，12，且g（-1）=x0-122≥0，g（1）=x0+122≥0，

結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知g（x）=0的兩根均在[-1，1]內(nèi)，即g（x）=0的兩根絕對值不大于1，問題得證.

綜上，若函數(shù)f（x）有一個絕對值不大于1的零點，則函數(shù)f（x）所有零點的絕對值都不大于1.

點評：根據(jù)題目條件，分函數(shù)f（x）只有一個零點或其他情況，利用函數(shù)零點的性質(zhì)因式分解，借助相關(guān)零點關(guān)系式加以作差分解、待定系數(shù)、函數(shù)與方程以及構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化法等思維，證明零點的絕對值不大于1即可證明相關(guān)的命題成立.

思維視角四：三角函數(shù)思維

方法7：（三角換元法）

由（1）知函數(shù)f（x）=x3-34x+c，

設(shè)x=sin? θ為函數(shù)f（x）的絕對值不大于1的零點，則c=-sin3θ+34sin θ=14sin 3θ=sin θsin π3+θsin π3-θ，

則函數(shù)f（x）=（x-sin θ）x-sin π3+θx-sin π3-θ，

若函數(shù)f（x）只有一個零點，則問題得證;

否則，sin π3+θ與sin π3-θ也是函數(shù)f（x）不同于sin θ的零點，

結(jié)合三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)知sin π3+θ∈[-1，1]，sinπ3-θ∈[-1，1]，問題得證.

綜上，若函數(shù)f（x）有一個絕對值不大于1的零點，則函數(shù)f（x）所有零點的絕對值都不大于1.

點評：根據(jù)題目條件，設(shè)出函數(shù)f（x）的絕對值不大于1的零點的三角關(guān)系式，分離參數(shù)，借助三倍角公式以及三角恒等變換公式的轉(zhuǎn)化，確定函數(shù)的三角關(guān)系表達式，分函數(shù)f（x）只有一個零點或其他情況，結(jié)合三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來證明相關(guān)的命題成立.

思維視角五：反證思維

方法8：（反證法）

由（1）知函數(shù)f（x）=x3-34x+c，f ′（x）=3x2-34=3x+12x-12，

令f ′（x）>0，解得x<-12或x>12;令f ′（x）<0，解得-12<x<12，

所以函數(shù)f（x）在-12，12上單調(diào)遞減，在-∞，-12，12，+∞上單調(diào)遞增，且f（-1）=f12=c-14，f（1）=f-12=c+14，

若函數(shù)f（x）所有零點中存在一個絕對值大于1的零點x0，

則f（-1）>0或f（1）<0，即c>14或c<-14，

當c>14時，

f（-1）=f12=c-14>0，

f（1）=f-12=c+14>0，

又f（-4c）=-64c3+3c+c=4c（1-16c2）<0，

由零點存在性定理知函數(shù)f（x）在（-4c，-1）上存在唯一一個零點x0，

即函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上存在唯一一個零點，在（-1，+∞）上不存在零點，

此時函數(shù)f（x）不存在絕對值不大于1的零點，與題設(shè)矛盾;

當c<-14時，

f（-1）=f12=c-14<0，f（1）=f-12=c+14<0，又f（-4c）=-64c3+3c+c=4c（1-16c2）>0，

由零點存在性定理知函數(shù)f（x）在（1，-4c）上存在唯一一個零點x0′，

即函數(shù)f（x）在（1，+∞）上存在唯一一個零點，在（-∞，1）上不存在零點，

此時函數(shù)f（x）不存在絕對值不大于1的零點，與題設(shè)矛盾.

綜上，函數(shù)f（x）所有零點的絕對值都不大于1.

點評：根據(jù)題目條件，求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及相應(yīng)的函數(shù)值，利用條件的假設(shè)：f（x）所有零點中存在一個絕對值大于1的零點x0，通過反證思維，結(jié)合c>14與c<-14兩種不同情況，利用零點存在性定理，判斷函數(shù)f（x）不存在絕對值不大于1的零點，由此得以證明原來的命題成立.

三、變式拓展

【變式】（2022屆云南省大理州大理市高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷）設(shè)函數(shù)f（x）=aex（x-1）-2x2+b.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）若a=2，f（x）有一個不大于0的零點，證明：f（x）所有的零點都不大于1.

分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，然后分a≤0，04，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的正負與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求解即可;

（2）由題意，f（0）=b-2≥0，分別利用零點的定義證明b=2，b>2時函數(shù)的單調(diào)性，對f（ln 2）與0的大小關(guān)系進行討論即可.

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用.在利用導(dǎo)數(shù)證明涉及函數(shù)零點的不等式問題時，一般會構(gòu)造一個函數(shù)，通過分類討論思想、函數(shù)與方程思想等的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的取值情況，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，以及對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.

四、解后反思

在解決此類利用導(dǎo)數(shù)來破解函數(shù)零點的相關(guān)問題時：可直接利用函數(shù)特征加以分類討論;可直接構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)合理轉(zhuǎn)化;可直接通過導(dǎo)數(shù)來確定對應(yīng)函數(shù)的草圖，數(shù)形結(jié)合;可間接通過設(shè)置結(jié)論的反面加以反證推理，以達到解決問題的目的.在破解問題時無論采用何種方法切入，都離不開相應(yīng)參數(shù)的分類討論與函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握基本題型和基本破解方法與策略，以不變應(yīng)萬變.