初中數學解題中化歸法的實踐運用探討

林瑞靜

【摘要】初中數學有多種方法、路徑的解題方式，而其中的化歸法能夠引導學生將復雜的數學問題簡單化，且能夠有效鍛煉學生的合理轉化思維，對培養(yǎng)學生的化歸解題思維具有一定的意義.本文將結合初中數學有關內容對學生的化歸解題思維培養(yǎng)展開研究，以引導學生掌握化歸法的解題方式，進而提升學生的數學解題效率.

【關鍵詞】初中數學;化歸法;運用;分析

學生要高效、快速地解答數學問題，就必須掌握合理有效的數學解題方法，而化歸法就是諸多數學解題方法中的有效方法.但是，并不是所有數學題目都能運用化歸法進行解答，學生要懂得綜合數學問題的難易程度，并且學會將題目中的條件進行有效轉化，提升自身的數學解題效率，而這些都需要學生長期有效的練習才能最終形成解題的習慣.

一、化歸法的實踐運用原則

（一）熟悉化

學生運用化歸法解答數學問題，可將復雜的數學問題化歸為自己較為熟悉和容易的數學問題，以更好地運用數學知識進行問題的解答.因此，在運用化歸法時，學生應該懂得遵循解答的熟悉化，將遇到的數學難題化歸為自己熟悉的問題，以使得自己能夠明白、知道可以運用哪些數學知識進行解答，從而快速、高效地解答數學問題.

（二）直觀化

對于一道數學問題，學生想要解出答案，就必須懂得挖掘其中的數學信息條件，并利用自己大腦中的數學知識進行解答，這樣才能有效解出正確的數學答案.但是，不是每一道數學問題中的信息條件都是直接給出的，往往存在許多的隱含條件，而這些都需要學生懂得運用良好的數學解題思維進行挖掘.其中，運用化歸解題思維就可以將數學題目中的信息條件直觀化，從而為解答問題做好準備.

（三）合理化

在教學中，教師既要要求學生分析題目中是否可以運用化歸思維，也要引導學生將題目中的信息進行及時歸納，以促使學生做到化歸解題的合理化，從而引導學生樹立良好的數學解題習慣，幫助學生構建良好的化歸解題思維.

二、初中數學解題中運用化歸法的策略

（一）方程解答中的運用

與其他解題方法不同，運用化歸法的一個重要特點就是學生不能直接去分析和解答數學問題，而是先將信息復雜且具有一定隱含條件的數學問題進行適當轉化，化歸為自己容易解決的數學問題，然后根據分析后的數學問題選擇自己所學的數學概念、定理，從而解答出數學問題的答案.但是，不是所用的數學問題都能運用化歸法解答.在解答初中數學解方程組問題中，學生就可以運用化歸法進行數學問題的解答，但要懂得分析方程組是屬于二元一次方程組還是三元一次、二元二次方程組，從而運用化歸解題思維，對方程組進行降次或者消元，以使得方程組能夠化歸為易于解決的問題.

例1 解方程組

ab+a+b=-13，

a2+b2=29.

解題分析：觀察上述方程組，我們可以發(fā)現方程組為二元二次方程組，學生運用目前的知識無法解決，但運用化歸思維可以將看似復雜的方程組問題簡單化，從而運用所學的數學方程解答方法進行問題的求解.學生可以同時進行降次和消元，并結合代入思維進行數學問題的解答.

解題過程：令x=a+b，y=ab，

則x+y=-13，x=-13-y…①，

那么a2+b2=29，x2=a2+b2+2ab=29+2y.

將①代入，得169+26y+y2=29+2y，

即y2+24y+140=0，得y=-10，x=-3 或y=-14，x=1，

由a+b=-3，ab=-10，解得a=-5，b=2或a=2，b=-5.

由a+b=1，ab=-14，解得a=1-572，b=1+572 或a=1+572，b=1-572.

解題反思：在解題的過程中，學生既要保持清醒的頭腦，也要主動利用化歸思維去解答數學問題，以將復雜的方程組進行化簡，從而化為簡單的方程進行解答，再將解答出來的結果代入原方程組中，最終解出原方程組中未知數的值.這些都需要學生有序、有規(guī)則地利用化歸思維，如學生只是貪快，而忽略了方程組的關系，就會導致解答的錯誤.

（二）幾何解答中的運用

初中數學幾何問題也是一個學習和解答的難點，它考驗學生的空間和邏輯思維能力.學生需要懂得自我構建幾何抽象圖形，并學會從自己的思維習慣來解答問題，這樣的數學解題才具有效率.但是，很多學生一拿到數學問題就習慣性地盲目解答，很少去尋找更為便捷的解題路徑.比如，在解答一些較為復雜的數學平面幾何問題時，有些學生只是記住了幾何定理，但只要教師稍微對幾何問題進行變式，他們就不會解答了，其主要原因還是學生不會尋找?guī)缀螁栴}的有效解題路徑，同時缺乏對幾何定律的有效理解和認知.因此，在解答初中數學幾何問題中，學生仍然需要鍛煉自身的數學解題思維，學會運用化歸的思維進行問題的解答，從而將復雜的幾何問題簡單化.

例2 如圖1，A，B兩點在直線l的兩側，點A到直線l的距離AM=4，點B到直線l的距離BN=1，且MN=4，P為直線l上的動點，則|PA-PB|的最大值為多少？

解題分析：從幾何圖形中，我們可以知道這是一道關于三角形的幾何最值求值問題，但題目中給出的數據信息并不多，且難以發(fā)掘其中存在的聯系，這就需要學生利用化歸思維，對這道題進行適當的化歸，以化成自己熟悉的幾何問題.其中，學生可以從作圖和軸對稱變換角度運用自己所學的勾股定理進行問題的解答.比如，作點B關于直線l的對稱點B′，則可以得到PB=PB′，從而促使|PA-PB|=|PA-PB′|，進而學生可用平行線及勾股定理等知識點求出最值.

解題過程：作點B關于直線l的對稱點B′，連接AB′并延長交直線l于P，B′N=BN=1，過B′點作B′D⊥AM于點D，利用勾股定理求出AB′=5，

∴|PA-PB|的最大值為5.

解題反思：學生若直接求解，會浪費大量的時間，而只要學生懂得將上述幾何圖形進行轉化和歸納，就可以求解出幾何問題的答案.比如，學生可以利用作線段的方法，構建題目中幾何線段之間的關系，從而利用其中的關系求解出問題的答案.

（三）函數解答中的運用

在大多數初中數學考試當中，函數問題屬于比較普遍和基本的數學知識考核點，但仍有很多學生不能有效解答函數問題，這與學生缺乏良好的數學解題思維有關.其實，學生依然可以用化歸法對函數問題進行解答，將復雜的函數問題簡單化，從而促使數學解題變得更高效.首先，教師可以引導學生應用化歸法將初中數學函數問題簡單化，然后，促使學生利用已經學習過的函數知識去研究新函數問題的規(guī)律，從而降低函數問題的難度，幫助學生樹立數學解題的信心.

例3 在下圖中，反比例函數y=-8x與y=-x+2的圖像交于點A和點B，請求出兩點的坐標.

解題分析：在解答函數坐標問題時，學生應該懂得利用化歸思維將函數問題轉化為自己熟悉的解方程組問題，從而實現數形結合的有效轉化，歸納出有效的數學解題路徑.比如，構建方程組，即y=-8x與y=-x+2所組成的方程組，從而求解出二者交點的坐標.

解題過程：列解方程組y=-8x，

y=-x+2，即x1=4，

y1=-2，x2=-2，y2=4.

則A（-2，4），B（4，-2）.

解題反思：無論函數圖像怎樣復雜和多變，只要我們懂得有效分析函數題目所求的內容，就可以構建知識點間的聯系，即在題目中尋找兩個函數的重疊之處，就可以獲知交點的坐標.教師引導學生將函數問題轉化為方程組的簡單解析問題，就可以讓學生的解題更簡便，最終促使學生不再因為解題的煩瑣而放棄作答.

三、化歸法在初中數學解題中的重要性

（一）推陳出新，拓展解題思路

初中學生往往對于未見過或者未熟練掌握的題型產生恐慌和困惑，無法找到解題切入點.教師應該針對這種情況，結合學生已經掌握的題型解答方法，將舊題型的解題思路和化歸法解題進行對比，讓學生更直觀、更高效地產生深度理解，促進學生對化歸法的運用和掌握，從而在之后的解題當中做到游刃有余.

例4 已知x2+y2+2x-4y+5=0，求解x和y.

在這道題中，一個方程式出現了兩個未知的變量，學生的困惑也隨之而來，對于解題無從下手.所以，為了學生更好地理解和使用化歸思想，教師就會先給學生展示兩個題目，一是：x2+2x+1=0，求解x的值;另一個是：y2-4y+4=0，求解y的值.當學生看到這些數學問題時，能夠通過以前的知識順利解答出來.緊接著，教師向學生展示（x+1）2+（y-2）2=0，這樣一來，學生很容易就得出了正確的答案.

結合案例我們不難看出，即便一些題型是學生沒有熟練掌握或者根本沒有見過的，但是萬變不離其宗，只要學生具備一定的數學解題基礎，在掌握化歸法之后，也可以做到高效解題.教師在教學實際當中應該注重舊知識和新知識的聯動性，做到模塊化，再結合數學解題方法，銜接各模塊，構建初中數學知識網絡和解題框架，讓學生形成系統化、框架化的知識體系，促進數學知識的前后銜接、融會貫通，促進對學生學科核心素養(yǎng)的培育，提高其數學解題能力.

（二）去復雜化，解題更簡捷

將化歸思想用到復雜的問題中去，能夠將復雜的問題簡單化.教師在初中數學解題教學當中，一定要注意培養(yǎng)學生對于題目的宏觀化理解，只有立足于宏觀角度，才能深度剖析題目，簡化解題的路徑.教師可以通過有效地引導式教學幫助學生建立這種解題習慣，再輔以反復的練習與強調，培養(yǎng)學生高效的解題習慣，從而讓學生充分意識和理解解題的根本思路，即將問題簡單化，有效降低解題難度，在這種潛移默化中提高學生的學習能力，培育學生的學科核心素養(yǎng).

如在“一元一次方程”的講解中，教師可以要求學生按從簡單到復雜的原則進行學習，當學生了解方程變形的目的的時候，就會很容易地解答方程問題.如果遇到非常復雜的一元一次方程，學生也會通過自己獨特的解答方式將方程轉變?yōu)閤=a的形式，即方程的解，使復雜的一元一次方程求解變得簡單.

（三）已知條件利用最大化，解題更高效

初中學生在數學學習當中往往會碰到不會解的題型.一方面，這種難題可以鍛煉學生的解題能力，更可以提高學生的計算水準，促進數學學科素養(yǎng)的培育;另一方面，可以篩選出數學天賦強的學生加以培養(yǎng).一般這種難題具備復雜性，學生只有有效結合題目已知條件去挖掘隱藏條件，才能通過復雜的運算得出結果.所以，初中學生學習數學首先要能對已知條件進行挖掘和歸納，如此才能將問題簡單化、直觀化，這也是化歸法在初中數學解題當中的重要作用.

四、結 語

綜上所述，初中數學解題方法有多種，而化歸法是提升學生解題能力的有效方法.因此，在解答初中數學問題時，教師應該結合函數問題、方程問題及幾何問題等，教會學生如何運用化歸思維解答數學問題，從而促使學生能夠利用化歸思維高效解題.

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