球桿系統(tǒng)的阻尼自適應抗擾控制

周長新， 聶卓赟， 程前， 何旺祥， 朱恩澤

(華僑大學 信息科學與工程學院， 福建 廈門 361021)

球桿系統(tǒng)是研究經典控制理論和現(xiàn)代控制理論常見的非線性系統(tǒng)平臺.目前，學者已對球桿系統(tǒng)進行了較多研究.文獻[1]采用基于線性二次型調節(jié)器(LQR)與擴張狀態(tài)觀測器(ESO)的控制算法對球桿系統(tǒng)進行研究.文獻[2-3]采用比例-積分-微分(PID)和自適應遺傳算法相結合的自適應遺傳PID方法，設計了球桿系統(tǒng)控制器. 自抗擾控制(ADRC)是一種采用擴張狀態(tài)觀測器、微分跟蹤器和帶寬參數(shù)整定等技術抑制系統(tǒng)擾動的方法.文獻[4-5]提出原始的非線性自抗擾控制，并完成了線性化.自抗擾控制器繼承了PID控制器的優(yōu)點，針對工業(yè)場景中的應用，提出帶寬參數(shù)整定方法，將自抗擾控制器的設計從非線性函數(shù)參數(shù)的經驗性選擇簡化為帶寬選擇.

自適應控制能夠自適應系統(tǒng)的不確定性和外部干擾，從而具有良好的抗擾性能[6].文獻[7]提出一種自適應控制器，以實現(xiàn)對外部干擾的漸近抑制.文獻[8]提出一種魯棒自適應算法，以實現(xiàn)不確定非線性系統(tǒng)的自適應跟蹤.自適應控制提供了一種提高抗擾性能的新方式，而自抗擾控制器的擾動估計和自適應調節(jié)是相容的，自抗擾控制器的擾動估計是一種內環(huán)控制器，而模型參考自適應控制(MRAC)又可體現(xiàn)一種外環(huán)自適應效果.通過ESO對狀態(tài)反饋的球桿系統(tǒng)狀態(tài)進行觀察，并估計“總擾動”進行補償，利用參考模型與自抗擾控制系統(tǒng)之間的狀態(tài)跟蹤誤差生成自適應律，通過添加阻尼抑制系統(tǒng)的震蕩超調，減少對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，從而提升系統(tǒng)的抗擾性能.由于自適應律可作用于跟蹤誤差，當跟蹤誤差較小時，自適應抗擾控制系統(tǒng)會自動減小為線性自抗擾控制(LADRC)系統(tǒng).因此，阻尼自適應抗擾控制可看作自抗擾控制的附加自適應.基于此，本文在自抗擾控制[9-13]的基礎上，提出一種阻尼自適應抗擾控制.

1 球桿系統(tǒng)的建模與分析

球桿系統(tǒng)主要由底座、支撐桿、帶輪、電機、杠桿臂、小球和導軌等組成[14].球桿系統(tǒng)裝置示意圖，如圖1所示.圖1中：d為杠桿臂和帶輪的連接處與帶輪輪心的距離；θ為帶輪轉動角度，θ限制于一定范圍內；α為導軌偏轉角度；L為杠桿臂連接點與導軌轉動固定點的距離；Y為小球在導軌上的位移.

圖1 球桿系統(tǒng)裝置示意圖Fig.1 Schematic diagram of ball-beam system device

帶增量式碼盤的直流伺服電機可以測量電機的轉動位置，導軌上的電阻傳感器可以實時測量小球的位置.為使小球在導軌上穩(wěn)定地運行，電機轉動帶動帶輪轉動(角度為θ)，帶輪又帶動支撐桿運動，使導軌發(fā)生偏轉(角度為α)，從而使小球在導軌上滾動.

球桿系統(tǒng)裝置參數(shù)，如表1所示.表1中：g為重力加速度；J為小球的轉動慣量；m為小球的質量；R為小球的半徑.

表1 球桿系統(tǒng)裝置參數(shù)Tab.1 Parameters of ball-beam system device

在忽略一些部件的情況下，可通過經典力學理論建立球桿系統(tǒng)的動力學方程，近似得到導軌偏轉角度α與帶輪轉動角度θ之間的關系，即

(1)

通過控制帶輪轉動角度θ，實現(xiàn)對小球的精確控制.球桿系統(tǒng)控制器的原理是通過控制直流伺服電機，調整帶輪轉動角度θ，從而對小球進行精確控制.

對球桿系統(tǒng)進行動力學分析，可得小球運動與自身重力加速度、半徑、質量、轉動慣量、導軌偏轉角度及位移之間的關系，即

(2)

由于α的期望值在0附近，故在0附近對α進行線性化，可得

(3)

將式(3)代入式(2)，可得

(4)

再將式(1)代入式(4)，可得

(5)

系統(tǒng)實際輸出量為小球在導軌上的位移Y，輸入量為帶輪轉動角度θ.由表1數(shù)據(jù)，經計算可得球桿系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型，即

(6)

式(6)中：s為復頻域變量.

2 控制系統(tǒng)的設計

阻尼自適應抗擾控制結構由參考模型、ESO和自適應機構等組成，ESO用于觀測系統(tǒng)狀態(tài)和總擾動[8].與LADRC不同，阻尼自適應抗擾控制的前饋控制器和狀態(tài)反饋控制器可通過自適應機制進行實時調整.這種自適應機制是由ESO狀態(tài)xo和參考狀態(tài)xr之間的跟蹤誤差er推導出來的.阻尼自適應抗擾控制結構，如圖2所示.圖2中：r為參考輸入；u0為自適應機構調整后的控制量；b0為輸入增益；u為系統(tǒng)輸入(控制量)，u=Uin；y為系統(tǒng)輸出.

圖2 阻尼自適應抗擾控制結構Fig.2 Structure of damping adaptive active disturbance rejection control

2.1 LADRC的設計

(7)

式(7)中：yp為測量輸出，yp=Uout；Γ(xp，1，xp，2)為系統(tǒng)的不確定部分；D為外部擾動.

f=(1.853-b0)u+Γ(xp，1，xp，2)+D，f被視為一種依賴于不確定性、控制輸入和外部擾動的未知“總擾動”.為了測量“總擾動”，f被建模擴展為狀態(tài)變量xp，3，可得系統(tǒng)的擴張狀態(tài)模型，即

(8)

假設f可微分，h有界.為了觀測球桿系統(tǒng)的狀態(tài)和“總擾動”，設計ESO，有

(9)

xp為系統(tǒng)狀態(tài)，觀測誤差eo=xp-xo=[eo，1eo，2eo，3]T，其動態(tài)系統(tǒng)為

(10)

式(10)中：Bε=[0 0 1]T.

期望傳遞函數(shù)模型選擇為

(11)

因此，LADRC控制器的控制量為

(12)

2.2 阻尼自適應抗擾控制的設計

除了LADRC中的干擾估計和補償外，MRAC可以看作是實現(xiàn)自抗擾能力的另一種方法.這兩種方法具有一些相似性和互補性.在參考模型方面，參考模型表示控制方法中設計的控制系統(tǒng)的期望性能，LADRC通過極點配置實現(xiàn)參考模型，但是模型跟蹤誤差不能產生任何反饋校正；而MRAC可以應用于帶有跟蹤誤差反饋的自抗擾控制中.在狀態(tài)反饋方面，MRAC常常需要訪問被控對象的狀態(tài)，以實現(xiàn)狀態(tài)反饋，但由于系統(tǒng)的干擾和不確定性，其應用具有較大的困難；而LADRC最重要的優(yōu)點之一是ESO可以提供良好的狀態(tài)估計和干擾補償.在干擾抑制方面，作為兩種不確定性和干擾衰減方法，LADRC的干擾估計和MRAC的自適應調整可在基于ESO的狀態(tài)反饋控制方案中實現(xiàn)，從而極大地提高控制性能.

針對LADRC，MRAC系統(tǒng)中的震蕩超調問題，可在系統(tǒng)中添加減小系統(tǒng)震蕩超調的阻尼，阻尼系數(shù)ζ>1，這樣自適應機構的阻尼能力可以部分地抑制系統(tǒng)的震蕩超調.

添加阻尼系數(shù)ζ后的期望傳遞函數(shù)模型為

(13)

因此，阻尼自適應抗擾控制的期望控制量為

(14)

式(14)中：F*，K*分別為

(15)

基于以上分析，提出阻尼自適應抗擾控制方案.由于實際的系統(tǒng)狀態(tài)xp是不可測的，故用xo替代.H(s)的階數(shù)為2，而圖2中的觀測器階數(shù)為3，因此，為H(s)設置一個額外的狀態(tài)變量，即xr，3=xo，3，以表示相同狀態(tài)空間中的跟蹤誤差.

參考模型在狀態(tài)空間中可表示為

(16)

er=xr-xo=[er，1er，2er，3]T，er為自適應控制器的調節(jié)根據(jù)，進而可得到阻尼自適應抗擾控制器的控制量為

u=(Kr+Fxo)/b0，

(17)

其參數(shù)為

(18)

式(17)，(18)中：K，F(xiàn)分別為狀態(tài)反饋控制器和前饋控制器的參數(shù)；P為設計的正定矩陣，P=PT；ωA為帶寬參數(shù)，ωA>0，其與能量相關，決定了自適應調節(jié)速度；ρ為

(19)

式(19)中：q為量化參數(shù)，q>0.

采用標準LADRC設計，有

(20)

由此可得

(21)

3 仿真實驗與分析

3.1 仿真分析

為了驗證阻尼自適應抗擾控制的效果，將阻尼自適應抗擾控制與LADRC進行比較.加入階躍響應和階躍干擾信號，以驗證阻尼自適應抗擾控制的響應性能和抗擾性能.當q=0時，阻尼自適應抗擾控制器自動變?yōu)長ADRC控制器.LADRC和阻尼自適應抗擾控制設置相同的自抗擾控制參數(shù)，b0=1.853，ωc=0.75，ωo=8.25，ζ=1.3.阻尼自適應抗擾控制中，q=0.002.

系統(tǒng)的輸入信號為階躍信號，其值為0.25 m，設置系統(tǒng)的響應時間為30 s.當系統(tǒng)運行至15 s時，加入階躍擾動，擾動值為0.2 m.球桿系統(tǒng)的仿真響應曲線和控制量曲線，如圖3所示.由圖3可知：阻尼自適應抗擾控制比LADRC的抗擾性能更佳，且震蕩超調更小.

(a) 響應曲線 (b) 控制量曲線圖3 球桿系統(tǒng)的仿真響應曲線和控制量曲線Fig.3 Simulation response curves and control quantity curves of ball-beam system

3.2 實驗分析

為了驗證阻尼自適應抗擾控制的實驗性能，進行球桿系統(tǒng)控制實驗.球桿系統(tǒng)(廣東省深圳市固高科技有限公司)，如圖4所示.該阻尼自適應抗擾控制器在MATLAB/SIMULINK 2015b平臺中實現(xiàn)，搭建系統(tǒng)的采樣率為100 Hz.實驗驗證了球桿系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)定性.然后，引入階躍干擾信號驗證阻尼自適應抗擾控制的抗擾性能.

圖4 球桿系統(tǒng)Fig.4 Ball-beam system

球桿系統(tǒng)的實驗響應曲線和控制量曲線，如圖5 所示.由圖5可知:相較于LADRC，阻尼自適應抗擾控制能在更短的時間內穩(wěn)定，且震蕩超調更?。恍∏蚩梢院芎玫馗櫸恢迷O定值(r=0.25 m)；在與仿真實驗相同參數(shù)的情況下，驗證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性.

(a) 響應曲線 (b) 控制量曲線圖5 球桿系統(tǒng)的實驗響應曲線和控制量曲線Fig.5 Experimental response curves and contorl quantity curves of ball-beam system

球桿系統(tǒng)控制器參數(shù)的自適應曲線，如圖6所示.圖6中：F1～F3，K均為控制器參數(shù).由圖6可以知道：當擾動出現(xiàn)時，小球離開設定位置后能夠快速地回到設置位置，阻尼自適應抗擾控制的球桿系統(tǒng)具有較好的抗擾性能.

(a) F1 (b) F2

(c) F3 (d) K圖6 球桿系統(tǒng)控制器參數(shù)的自適應曲線Fig.6 Adaptive curves of ball-beam system controller parameters

由于LADRC的增益是固定的，因此，在不同的運行條件下只能依靠ESO保持良好的抗擾性能，當擾動發(fā)生時，由于阻尼自適應抗擾控制的參數(shù)調整，參數(shù)隨之發(fā)生變化.通過這種方式，小球的位置稍微向前移動后，能夠快速地回到設置位置.相較于LADRC，阻尼自適應抗擾控制的抗擾性能更佳.

4 結束語

球桿系統(tǒng)的阻尼自適應抗擾控制可以減小系統(tǒng)的震蕩超調，提升系統(tǒng)的抗擾性能.針對自適應抗擾控制中不穩(wěn)定非線性系統(tǒng)的震蕩問題，通過增加阻尼的方式進行抑制，阻尼自適應抗擾控制可看作自抗擾控制系統(tǒng)的附加阻尼自適應.當狀態(tài)跟蹤誤差較小時，阻尼自適應抗擾控制自動減小為LADRC.增加阻尼可以在LADRC的基礎上提升系統(tǒng)的穩(wěn)定性和抗擾性能.仿真和實驗結果驗證了阻尼自適應抗擾控制的優(yōu)越性和有效性.