關(guān)于多分結(jié)構(gòu)極小集的一些性質(zhì)

駱道忠， 王波， 李進(jìn)金，2

(1. 華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 福建 泉州 362021； 2. 閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 福建 漳州 363000)

1 預(yù)備知識(shí)

知識(shí)空間理論 (knowledge space theory，簡稱KST) 是由美國數(shù)學(xué)心理學(xué)家Falmagne和比利時(shí)數(shù)學(xué)心理學(xué)家Doignon于1985年首先提出的數(shù)學(xué)心理模型[1].KST建立了一套數(shù)學(xué)理論來反映教育規(guī)律，它通過分析學(xué)生對不同水平的一系列有關(guān)問題的解答情況，來確定學(xué)生在不同知識(shí)中的認(rèn)知水平，從而為教育評價(jià)提供了一種有效的科學(xué)方法，也是一種測試學(xué)生知識(shí)水平和構(gòu)建學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的理論[2-4]. 經(jīng)過幾十年的發(fā)展，該理論已經(jīng)成為了自適應(yīng)教學(xué)和測試系統(tǒng)中最有效的知識(shí)表示理論[5]，已廣泛運(yùn)用于輔助學(xué)習(xí)與自適應(yīng)測評領(lǐng)域[6-11].

在KST中， 假設(shè)某個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)都能通過一些問題來反應(yīng)， 將這些問題組成的集合稱為問題域，KST理論的一個(gè)核心假設(shè)是個(gè)體對問題的反應(yīng)只有正確與錯(cuò)誤、同意與不同意之分.然而，實(shí)際上很多情況并非如此，個(gè)體對問題的反應(yīng)有多種可能.1997年，Schrepp[12]首次嘗試將KST的主要概念推廣到具有兩個(gè)以上回答備選方案(比如同意、部分同意和不同意)的問題集上. 2020年，Stefanutti等[13]在Schrepp的工作基礎(chǔ)上將二分知識(shí)空間理論推廣到多分情形，引入多分知識(shí)狀態(tài)和多分知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而擴(kuò)展了KST的理論與方法.

設(shè)Q是一個(gè)項(xiàng)目(問題)集，(L，≤)是一個(gè)完備格(下文若無說明，L均指完備格)，稱映射K:Q→L為一個(gè)知識(shí)狀態(tài).(Q，L，K)為一個(gè)多分結(jié)構(gòu)，其中K是非空的知識(shí)狀態(tài)集.Q到L上的全體映射記為LQ.定義LQ上的偏序關(guān)系為

基是經(jīng)典知識(shí)空間理論極其重要的概念，可張成知識(shí)空間.它蘊(yùn)含了知識(shí)空間的所有信息，反應(yīng)了學(xué)生能掌握的最基本的問題集族， 為刻畫整個(gè)知識(shí)空間及尋找學(xué)習(xí)路徑都提供了依據(jù)[2].在二分知識(shí)空間框架下，若知識(shí)空間存在基，則任何一個(gè)知識(shí)狀態(tài)都可表示成原子的并.Stefanutti等[13]定義了多分結(jié)構(gòu)下q處的l-原子的概念，但要求反應(yīng)水平l為不可約元，即l滿足：對于任意的G?L，supG=l，則l∈G.當(dāng)l為可約元時(shí)，原子的概念就沒有意義了，而且在多分知識(shí)空間下，知識(shí)狀態(tài)不能表示成原子的并.于是，Stefanutti將多分知識(shí)空間加強(qiáng)為粒狀多分知識(shí)空間，這樣由基(原子)可擴(kuò)張成整個(gè)多分空間，與經(jīng)典二分知識(shí)空間的情況多少有些不同.在二分知識(shí)空間中，并不一定需要粒狀性，只需其基存在，就可以由其基(原子)擴(kuò)張成整個(gè)知識(shí)空間.

本文將原子的概念推廣到極小集上，去掉了不可約元條件，從而證明了在多分結(jié)構(gòu)下，任何狀態(tài)都能表示成極小集元素的并.

2 基本定義及例子

3 主要結(jié)果及其證明

另外，由上面的例2可以看到全體原子張不成K，但全體集小集卻可張成K.

定義4[13]設(shè)?是項(xiàng)目集Q上的擬序關(guān)系，一個(gè)狀態(tài)K:Q→L稱為與?相容的，如果?p，q∈Q，p?q?K(q)≤K(p).所有的與?相容的狀態(tài)構(gòu)成的集合K，稱為擬序多分空間.

定義5[14]設(shè)(L，≤)是一個(gè)偏序集，如果對L中的任意的降鏈x1≥x2≥…≥xn≥…，都存在k，使得xk=xk+1=…，則稱L滿足降鏈條件(記為DCC).對偶的降鏈條件，稱為升鏈條件(記為ACC).

注4由于有限格滿足DCC，因此，若L為有限格，上述推論亦成立.

注5定理2給出了由極小集構(gòu)建多分知識(shí)空間的算法，詳細(xì)過程同二分情形下由基構(gòu)建知識(shí)空間的算法，參考文獻(xiàn)[15].

證明： 假設(shè)K?B，對于任意的q∈Q，記K(q)=l，則必有下列兩種情況.

注6注意到上述證明的情況2，定理3的逆不成立.另外，由于極小集的定義是原子概念的推廣，因此，擬序多分空間的很多關(guān)于原子的性質(zhì)都能推廣到極小集上，證明方法同文獻(xiàn)[13]完全類似，如下面的定理4，但此處給出了一個(gè)簡單的證明.

4 結(jié)束語

在二分知識(shí)空間中，原子的概念扮演了相當(dāng)重要的角色，而在多分結(jié)構(gòu)下，由于存在可約元，如何更好地、恰當(dāng)?shù)囟x多分結(jié)構(gòu)下的原子便成為研究的一個(gè)重要課題.將原子推廣為極小集，能將多分知識(shí)狀態(tài)表示成極小集元素的并，但在二分情形下，與原子相關(guān)的理論還很多.今后的工作，將進(jìn)一步用極小集來研究基于多分結(jié)構(gòu)下的與原子相關(guān)的理論與應(yīng)用.