引導(dǎo)自主探究，深化建模思想
——以《17.1.3勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)為例

◎李幽蘭

(武漢市吳家山第二中學(xué)，湖北 武漢 430040)

數(shù)學(xué)源自生活，無(wú)處不在，數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用是非常廣泛的，很多問(wèn)題都可以通過(guò)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型巧妙解決這就需要我們學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待生活中的事物，引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生構(gòu)建適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、思考、總結(jié)、協(xié)作的能力，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的奇妙和學(xué)以致用的成就感勾股定理是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要定理，它是古代數(shù)學(xué)智慧的結(jié)晶，是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的杰出代表下面以勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用這一課的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，探討構(gòu)建數(shù)學(xué)模型在高效課堂中的應(yīng)用

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1內(nèi)容：利用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算，解決生活中的實(shí)際問(wèn)題

2內(nèi)容解析：勾股定理是最基本的數(shù)學(xué)定理之一，體現(xiàn)了直角三角形中三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，它可用于解決直角三角形中的計(jì)算問(wèn)題勾股定理在實(shí)際生活中具有廣泛的用途，本節(jié)通過(guò)聯(lián)系、比較、探索、歸納，幫助學(xué)生理解勾股定理，通過(guò)獨(dú)立思考與小組活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生的分析能力和探究能力，以利于學(xué)生能夠正確地運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1目標(biāo)：

(一)知識(shí)與技能：學(xué)生能說(shuō)出勾股定理,能運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題

(二)過(guò)程與方法：①通過(guò)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出直角三角形這一模型，深化“數(shù)形結(jié)合”和“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，將非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形；②經(jīng)歷探究勾股定理的應(yīng)用過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的意識(shí)，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力；③運(yùn)用分類討論的思想，讓學(xué)生更加全面地思考問(wèn)題

(三)情感態(tài)度與價(jià)值觀：①數(shù)學(xué)源于生活，讓學(xué)生體會(huì)勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用；②讓學(xué)生自主探索，團(tuán)結(jié)協(xié)作，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生不怕困難，積極自信的心理素質(zhì)和思想品質(zhì)；③讓學(xué)生熱愛(ài)校園，保護(hù)環(huán)境，加強(qiáng)環(huán)保意識(shí)和道德意識(shí)

2目標(biāo)解析：

達(dá)成目標(biāo)(一)的標(biāo)志是：學(xué)生能夠運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題

達(dá)成目標(biāo)(二)的標(biāo)志是：學(xué)生知道怎樣將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型

達(dá)成目標(biāo)(三)的標(biāo)志是：學(xué)生積極參與課堂學(xué)習(xí)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)充滿信心和興趣

三、學(xué)情分析

在利用勾股定理探索實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，老師要讓學(xué)生經(jīng)過(guò)思考克服困難，通過(guò)小組協(xié)作的形式實(shí)現(xiàn)高效課堂，提高學(xué)生的積極性和參與度，提高教學(xué)效率和教學(xué)效果讓學(xué)生在一堂課上不但收獲數(shù)學(xué)知識(shí)，還能從能力上、情感上、道德品質(zhì)上都有收獲，促使每個(gè)學(xué)生都能得到相應(yīng)的發(fā)展

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

(一)創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

教師引言：數(shù)學(xué)源于生活，也服務(wù)于生活大家一起來(lái)看看這個(gè)問(wèn)題能否用數(shù)學(xué)知識(shí)解決？

問(wèn)題：如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形的花壇，有些同學(xué)為了走捷徑，就在花壇內(nèi)的草坪上走出了一條“小路”，請(qǐng)你算一算，他們僅僅少走了________步路，卻踩壞了草坪(假設(shè)兩步為1米)

圖1

師生活動(dòng)：讓學(xué)生回顧勾股定理的內(nèi)容，并嘗試運(yùn)用勾股定理解決這個(gè)問(wèn)題教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上明確提出解決問(wèn)題的方法：同時(shí)指出這種方法就是構(gòu)建直角三角形勾股定理的數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而運(yùn)用勾股定理解決

根據(jù)勾股定理,

2×(3+4-5)=4(步)

因此,有的同學(xué)僅僅少走了4步路，卻踩壞了草坪

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生回憶勾股定理的內(nèi)容，并注意文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的規(guī)范，初步體會(huì)通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題,同時(shí)滲透 “兩點(diǎn)之間，線段最短”，為后續(xù)教學(xué)內(nèi)容做鋪墊，也讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)的價(jià)值不僅在于方便生活，更讓我們看清事物的本質(zhì)，堅(jiān)守道德與正義，呼吁大家要愛(ài)護(hù)校園環(huán)境

(二)新知構(gòu)建，共研釋疑

1木板通過(guò)問(wèn)題

1(人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教材第25頁(yè)例1)一個(gè)門框的尺寸如圖所示,一塊長(zhǎng)3 m，寬22 m的長(zhǎng)方形薄木板能否從門框內(nèi)通過(guò)？為什么?

圖2

1木板橫著能否通過(guò)？

2木板豎著能否通過(guò)？

3在長(zhǎng)方形中，,,哪條線段最長(zhǎng)？

4門框能通過(guò)薄木板的最大寬度是多少?

學(xué)生帶著問(wèn)題進(jìn)行小組討論，通過(guò)小組組員協(xié)作演示，展示解題過(guò)程并講解，同時(shí)組員補(bǔ)充老師對(duì)學(xué)生的解題思路予以正面評(píng)價(jià)，但是關(guān)于運(yùn)用勾股定理的書寫過(guò)程，老師要進(jìn)行格式上的規(guī)范和強(qiáng)調(diào)

如圖所示，在Rt△中，根據(jù)勾股定理,

圖3

得=+=1+2=5，

所以木板可以從門框內(nèi)通過(guò)

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生能從實(shí)際生活的角度大膽考慮，用生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)加以思考和分析，最后能夠順其自然地想到將木板斜著通過(guò)門框，從而將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，成功構(gòu)建了數(shù)學(xué)模型

2梯子滑動(dòng)問(wèn)題

2(人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教材第25頁(yè)例1)如圖所示，一架26 m長(zhǎng)的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時(shí)為24 m如果梯子的頂端沿墻下滑05 m,那么梯子底端也外移05 m嗎?

分析問(wèn)題:此題首先要計(jì)算梯子底端外移多少米，可以轉(zhuǎn)化為求的長(zhǎng)度，而=-，自然想到要先利用勾股定理求、的長(zhǎng)，老師引導(dǎo)學(xué)生完成這道題目然后用電子展臺(tái)將學(xué)生的解題過(guò)程展示出來(lái)，并給予正面評(píng)價(jià)，再次強(qiáng)調(diào)運(yùn)用勾股定理的書面格式要規(guī)范

圖4

在Rt△中，根據(jù)勾股定理,

得=-=26-24=1，

在Rt△中，根據(jù)勾股定理,

得=-=26-(24-05)=315

∴=-≈177-1=077

所以梯子的頂端沿墻下滑05 m時(shí)，梯子底端并不是外移05 m，而是外移約077 m

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，分別畫出相應(yīng)的直角三角形，明確已知量和所求量，再分析和轉(zhuǎn)化，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力

1一種盛飲料的圓柱形杯(如圖)，測(cè)得內(nèi)部底面半徑為25 cm,高為12 cm,吸管放進(jìn)杯里，杯口外面至少要露出46 cm，求吸管至少要做多長(zhǎng)

圖5

學(xué)生獨(dú)立思考完成變式練習(xí)，然后小組成員對(duì)各自的答案匯總和討論，由小組代表上臺(tái)充當(dāng)小老師講題，其他小組成員可以對(duì)講解不清的地方發(fā)起提問(wèn)，最后老師評(píng)價(jià)和補(bǔ)充

【設(shè)計(jì)意圖】鞏固訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用勾股定理在建立數(shù)學(xué)模型中解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生自主探究、小組合作的學(xué)習(xí)能力，學(xué)習(xí)他人的長(zhǎng)處，發(fā)現(xiàn)自己的不足，同時(shí)也站在教師的角度看待問(wèn)題，更加全面和客觀地評(píng)價(jià)事物

(三)鞏固訓(xùn)練，遷移拓展

3表面距離最短路徑問(wèn)題

3如圖，一只螞蟻在棱長(zhǎng)為的正方體表面爬行，它從頂點(diǎn)爬到頂點(diǎn)去尋找食物,則它走過(guò)的最短路程為( )

圖6

教師引導(dǎo)學(xué)生完成例題，總結(jié)解題方法

圖7

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)于平面圖形，由“兩點(diǎn)之間，線段最短”可以直接運(yùn)用勾股定理求出兩點(diǎn)之間的距離，將立體圖形的側(cè)面展開，轉(zhuǎn)化為平面圖形，構(gòu)造直角三角形，才能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成可以用勾股定理計(jì)算的問(wèn)題通過(guò)例題分析，建立數(shù)學(xué)模型，有利于幫助學(xué)生把握解題思路和技巧，促使學(xué)生學(xué)會(huì)歸納與總結(jié)方法

2有一個(gè)圓柱,它的底面半徑為3 cm,高為12 cm，在圓柱的底面點(diǎn)有一只蝸牛,它想從點(diǎn)爬到點(diǎn),請(qǐng)問(wèn)這只蝸牛沿著圓柱側(cè)面至少要爬行多少厘米

圖8

3長(zhǎng)方體盒長(zhǎng)、寬、高分別為5 cm,3 cm和8 cm,在盒子底端點(diǎn)有一只小蟲子，它想從盒子表面點(diǎn)爬行到點(diǎn)，那么小蟲子爬行的最短路程為________cm

圖9

師生活動(dòng)：將學(xué)生小組分成兩部分，一部分做變式練習(xí)2，一部分做變式練習(xí)3，學(xué)生根據(jù)例題的方法，獨(dú)立思考完成變式練習(xí)，然后小組成員之間討論答案，以小組為單位展示解題過(guò)程(包含展開圖)并講解題目，進(jìn)行小組比拼，然后老師點(diǎn)評(píng)和補(bǔ)充，同時(shí)提醒學(xué)生注意變式2只有一種情形，而變式3需要分類討論，考慮三種不同的展開圖情況，再來(lái)比較哪種路徑最短，并比較兩個(gè)變式練習(xí)與例3的聯(lián)系與區(qū)別對(duì)于小組比拼中表現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生和小組進(jìn)行加分和全班鼓掌鼓勵(lì)，讓班級(jí)形成良性的競(jìng)爭(zhēng)氛圍

【設(shè)計(jì)意圖】鞏固訓(xùn)練學(xué)生解決立體圖形求表面最短距離的問(wèn)題，討論答案和學(xué)生講解的過(guò)程讓學(xué)生在輸出的同時(shí)看到自己的不足，同時(shí)可以體會(huì)獲得成功的喜悅通過(guò)具體問(wèn)題，深化運(yùn)用勾股定理解決問(wèn)題，通過(guò)學(xué)生的講題和小組之間的比拼，形成良性競(jìng)爭(zhēng)，激發(fā)學(xué)生的集體榮譽(yù)感和比賽積極性

(四)課堂總結(jié)，反思升華

首先學(xué)生自由發(fā)言，表達(dá)自己本節(jié)課的收獲，然后教師概括并加以補(bǔ)充和升華

一節(jié)課的成功在于，教學(xué)目標(biāo)明確，教學(xué)過(guò)程合理，學(xué)生積極參與、收獲知識(shí)并提高能力本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)緊緊圍繞著構(gòu)建直角三角形的勾股定理解決數(shù)學(xué)模型問(wèn)題，以及怎樣構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的生活氣息，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性本節(jié)課每個(gè)環(huán)節(jié)都充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)“自找水源”的學(xué)習(xí)意識(shí)；通過(guò)創(chuàng)設(shè)生活化情景，貼近學(xué)生的生活，達(dá)到最近發(fā)展區(qū)，深化數(shù)學(xué)建模思想；通過(guò)小組的組員之間、組與組之間、師生之間的課堂活動(dòng)，形成互幫互助互補(bǔ)的師生學(xué)習(xí)共同體，更有利于形成良好的學(xué)習(xí)氛圍和學(xué)習(xí)習(xí)慣