爬壁機(jī)器人固定/有限時(shí)間滑模軌跡跟蹤控制研究

賴欣,李嘉禾,彭天宇,張晨蕾,王森

(西南石油大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,成都 610500)

爬壁機(jī)器人作為一種能夠用于極限作業(yè)的特種機(jī)器人,可以替代人類在高空垂直立面位置作業(yè)?，F(xiàn)在爬壁機(jī)器人已經(jīng)在多個(gè)行業(yè)尤其是建筑行業(yè)、消防業(yè)、核工業(yè)、石油化工業(yè)和制造業(yè)等行業(yè)得到了極為廣泛的應(yīng)用[1]。

隨著爬壁機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展,控制系統(tǒng)相當(dāng)于爬壁機(jī)器人的“大腦”,決定著爬壁機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)策略。爬壁機(jī)器人軌跡跟蹤控制問題受到越來越多的關(guān)注。這主要是因?yàn)榕辣跈C(jī)器人作為一種受非完整約束的系統(tǒng),其約束不可積,因而其鎮(zhèn)定、控制及規(guī)劃等問題變得較為困難與復(fù)雜[2]。同時(shí),在實(shí)際系統(tǒng)中存在外干擾等不確定性因素,使得一些基于確定模型設(shè)計(jì)的控制律在實(shí)際應(yīng)用中達(dá)不到預(yù)期效果。

針對(duì)非完整約束系統(tǒng)的軌跡跟蹤方法研究,通常都希望能獲得更快的系統(tǒng)收斂速度。隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展,滑模變結(jié)構(gòu)控制作為一種典型的非線性控制方法能夠有效改善機(jī)器人的穩(wěn)定性和操縱性,從而提高執(zhí)行任務(wù)的能力[3]?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制算法簡(jiǎn)單、對(duì)外部干擾不敏感、系統(tǒng)響應(yīng)速度快、物理實(shí)現(xiàn)容易[4]。因此近年來,一些研究者采用自適應(yīng)滑模控制方法進(jìn)行軌跡跟蹤研究[5-7],并取得了一定的成效。所以研究爬壁機(jī)器人運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法具有十分重要的意義?，F(xiàn)有的軌跡跟蹤控制器誤差收斂通常采用指數(shù)趨近律、等速趨近律、冪次趨近律[8],這些都屬于無限時(shí)間收斂,也就是需要在時(shí)間趨于無限的條件下才能跟蹤上期望軌跡。而有限/固定時(shí)間滑?？刂圃诮鉀Q系統(tǒng)不確定性和外部擾動(dòng)方面被認(rèn)為是一個(gè)有效的魯棒控制方法,并且終端滑?？刂芠9]能夠保證有限時(shí)間收斂。有限/固定時(shí)間滑模控制方法具有算法簡(jiǎn)單、響應(yīng)速度快、對(duì)外界噪聲干擾和參數(shù)攝動(dòng)魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。因此本文設(shè)計(jì)了收斂時(shí)間有限的軌跡控制器,使爬壁機(jī)器人可以在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤上期望軌跡;在有限時(shí)間控制器的基礎(chǔ)上又設(shè)計(jì)了一種系統(tǒng)收斂時(shí)間與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān),只和控制器參數(shù)設(shè)計(jì)有關(guān)的固定時(shí)間控制器。本文首先建立爬壁機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,設(shè)計(jì)了一種雙閉環(huán)控制回路,將整體系統(tǒng)分為外環(huán)的位置系統(tǒng)和內(nèi)環(huán)的姿態(tài)系統(tǒng),分別設(shè)計(jì)了爬壁機(jī)器人角速度與線速度的有限/固定時(shí)間滑?？刂破?控制爬壁機(jī)器人實(shí)現(xiàn)對(duì)期望軌跡的跟蹤。

1 運(yùn)動(dòng)模型建立

運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是爬壁機(jī)器人完成軌跡跟蹤作業(yè)的基礎(chǔ)理論依據(jù)。爬壁機(jī)器人跟蹤期望軌跡的運(yùn)動(dòng)在數(shù)學(xué)上可表示為關(guān)于坐標(biāo)軸的函數(shù)。爬壁機(jī)器人的角速度、線速度等變化都可以化解為對(duì)于時(shí)間高階微分形式。我們需要建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程來描述機(jī)器人內(nèi)部變量與時(shí)間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系式。

本文設(shè)計(jì)的機(jī)器人采用四輪驅(qū)動(dòng)方式,由4個(gè)獨(dú)立的驅(qū)動(dòng)電機(jī)驅(qū)動(dòng)?？恐鴥?nèi)側(cè)輪和外側(cè)輪之間的電機(jī)轉(zhuǎn)速差實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)。首先在二維平面坐標(biāo)系中建立以O(shè)為原點(diǎn)的笛卡爾坐標(biāo)系XOY。

圖1中以輪式爬壁機(jī)器人運(yùn)動(dòng)方向建立橫向軸X0以及縱向軸Y0,以爬壁機(jī)器人的質(zhì)量中心O0為坐標(biāo)原點(diǎn),建立隨爬壁機(jī)器人一同運(yùn)動(dòng)的參考坐標(biāo)系X0O0Y0,假設(shè)爬壁機(jī)器人的幾何中心與質(zhì)心重合。其中:θ為機(jī)器人前進(jìn)方向與X軸之間的夾角;θr為爬壁機(jī)器人運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻時(shí)的航向角;vc為爬壁機(jī)器人前進(jìn)的線速度;ω為機(jī)器人的角速度,則爬壁機(jī)器人在笛卡爾坐標(biāo)系中的位姿為q=[X(0),Y(0),θ]T,而qr=[X(r),Y(r),θr]T表示為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)期望位姿。

圖1 爬壁機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

根據(jù)上述設(shè)定,假設(shè)P=[vc,ω]T作為爬壁機(jī)器人的控制輸入,可以求得爬壁機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程公式為:

(1)

式中:vX為vc在X軸上的分量;vY為vc在Y軸上的分量。將式(1)化為矩陣形態(tài)有

(2)

根據(jù)Campion等論述[10],任何輪式移動(dòng)機(jī)器人都可以采用兩個(gè)自由度特征值δm和δs表示。其中δm表示為空間自由度,也就是爬壁機(jī)器人工作的空間維度,本次設(shè)計(jì)的δm=2;δs表示為驅(qū)動(dòng)自由度,是輪式機(jī)器人可獨(dú)立改變運(yùn)動(dòng)方向的驅(qū)動(dòng)輪數(shù)目,由于此次爬壁機(jī)器人采用差速轉(zhuǎn)向模式,所以δs=0。綜上,本次設(shè)計(jì)的爬壁機(jī)器人自由度特征值組合為 [δmδs]=[2 0]。對(duì)應(yīng)的特征量組合的輪式爬壁機(jī)器人狀態(tài)方程表示為[11-12]

(3)

這里的η1對(duì)應(yīng)的是vc;η2對(duì)應(yīng)為ω。以此類推,不難求得期望位姿的狀態(tài)方程為

(4)

設(shè)qe為位姿誤差,根據(jù)參考坐標(biāo)系和全局坐標(biāo)系之間的變化關(guān)系可以得出

(5)

對(duì)式(5)兩邊同時(shí)求微分,并代入式(2)、式(4)中可以得到爬壁機(jī)器人的位姿誤差狀態(tài)方程為

(6)

設(shè)計(jì)的控制器需要控制電機(jī)輸出合適的驅(qū)動(dòng)力來控制爬壁機(jī)器人運(yùn)動(dòng)位姿收斂于期望點(diǎn),因此當(dāng)時(shí)間趨于無窮時(shí),位姿誤差向量qe的范數(shù)收斂于0[13]，即

(7)

2 控制器設(shè)計(jì)

為了提高軌跡跟蹤的精確度,本文提出一種雙閉環(huán)滑?？刂品椒?基于前面運(yùn)動(dòng)學(xué)模型中得到誤差微分方程,以Lyapunov穩(wěn)定性為基礎(chǔ)結(jié)合固定時(shí)間/有限時(shí)間收斂理論,利用反演法思想反推控制函數(shù)得到控制需要的線速度以及角速度,并驗(yàn)證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和收斂性,實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確跟蹤期望軌跡。

在前面運(yùn)動(dòng)學(xué)方程中提到,本次設(shè)計(jì)的爬壁機(jī)器人為2自由度系統(tǒng),輸出存在3個(gè)變量:[x,y,θ]。本次設(shè)計(jì)選擇將爬壁機(jī)器人的位置坐標(biāo) (x,y) 為主動(dòng)跟蹤,航向角θ為從動(dòng)跟蹤[14],設(shè)計(jì)的雙閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。該閉環(huán)路徑跟蹤系統(tǒng)由內(nèi)外環(huán)組成:外環(huán)為位置子系統(tǒng),內(nèi)環(huán)為姿態(tài)子系統(tǒng);通過外環(huán)控制器完成對(duì)爬壁機(jī)器人位置坐標(biāo) (x,y) 的跟蹤,同時(shí)位置子系統(tǒng)控制器輸出一個(gè)中間指令信號(hào)θr傳遞給內(nèi)環(huán)的姿態(tài)子系統(tǒng)控制器;內(nèi)環(huán)通過姿態(tài)控制器實(shí)現(xiàn)對(duì)這個(gè)中間指令信號(hào)的跟蹤。

圖2 雙閉環(huán)路徑跟蹤控制流程圖

3 滑?？刂?/h2>

針對(duì)一階非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(8)

則在其狀態(tài)空間中存在一個(gè)超平面s(x),將整個(gè)狀態(tài)空間分割為s>0,s<0和s=0這3個(gè)部分。其中s=0被稱為滑模切換面,當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)所有的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)這個(gè)面時(shí),必定滿足

(9)

式(9)的存在為L(zhǎng)yapunov函數(shù)漸進(jìn)穩(wěn)定性提供了必要條件:存在一個(gè)Lyapunov函數(shù)v(x)=s2(x),在s=0的滑模切換面附近v為一個(gè)非增函數(shù)。當(dāng)s(x)→∞,必有v(x)→∞，因此可以得出該系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定?；ＴO(shè)計(jì)律的方法為如下幾步:首先，根據(jù)給定系統(tǒng)狀態(tài)設(shè)計(jì)可以滿足快速收斂且具有良好動(dòng)態(tài)品質(zhì)的滑模切換面;其次，設(shè)計(jì)滑?？刂期吔?輔助切換函數(shù)快速收斂;再次，結(jié)合切換函數(shù)以及滑模趨近律推導(dǎo)出滑模控制率;最后，驗(yàn)證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和收斂性。

3.1 固定/有限時(shí)間穩(wěn)定理論

系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)特性,指的是系統(tǒng)受到的小的擾動(dòng)作用消除后,一定時(shí)間后被調(diào)量與規(guī)定量之間的偏差值的收斂性。穩(wěn)定性一直是控制系統(tǒng)最重要的指標(biāo)之一。除此之外,收斂性同樣是評(píng)價(jià)控制系統(tǒng)好壞的重要指標(biāo)。在早期的控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過程中,指數(shù)收斂是所有閉環(huán)系統(tǒng)中最快的收斂方式。近段時(shí)間以來,非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間控制發(fā)展迅速。當(dāng)系統(tǒng)收斂時(shí)間逼近與系統(tǒng)初始狀態(tài)的有界時(shí)間函數(shù)的上界時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)能在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)。下面將給出固定/有限時(shí)間穩(wěn)定性描述[15-16]。

有限時(shí)間穩(wěn)定 對(duì)于類似于式(8)的非線性系統(tǒng),如果系統(tǒng)的收斂時(shí)間T(x0)可以用一個(gè)關(guān)于系統(tǒng)初始狀態(tài)的有界函數(shù)表示,則式(8)這樣的非線性系統(tǒng)具有有限時(shí)間穩(wěn)定的平衡態(tài)。

引理1 全局有限時(shí)間穩(wěn)定

針對(duì)如下系統(tǒng)

(10)

如果存在一個(gè)正定函數(shù)V(x),且該函數(shù)滿足

(11)

其中b>0,0<λ<1為系統(tǒng)參數(shù),則系統(tǒng)(10)滿足全局有限時(shí)間穩(wěn)定,且收斂時(shí)間為

(12)

固定時(shí)間穩(wěn)定 對(duì)于式(8)所示的非線性系統(tǒng),如果該系統(tǒng)的收斂時(shí)間T全局有界并且為一個(gè)不依賴系統(tǒng)初始狀態(tài)的常數(shù),則稱該非線性系統(tǒng)具有固定時(shí)間穩(wěn)定的平衡態(tài)。

引理2 全局固定時(shí)間穩(wěn)定

針對(duì)系統(tǒng)(10),如果存在一個(gè)正定函數(shù)v(x),如果該函數(shù)滿足

(13)

其中a>0,b>0,1<λ1<2,0<λ2<1為系統(tǒng)參數(shù),且λ1+λ2=2,則系統(tǒng)(8)滿足全局固定時(shí)間穩(wěn)定,其收斂時(shí)間滿足

(14)

3.2 有限時(shí)間滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

爬壁機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為:

(15)

在運(yùn)動(dòng)學(xué)模型(15)中,其中位置子系統(tǒng)模型為:

(16)

首先假設(shè)兩個(gè)虛擬控制器vc,x,vc,y分別為:

(17)

則式(16)可以簡(jiǎn)化為:

(18)

然后定義位置子系統(tǒng)誤差和速度子系統(tǒng)誤差方程為:

(19)

分別設(shè)計(jì)切換面和有限時(shí)間趨近律如下[17]:

(20)

式中：i=x,y,bi都為正數(shù)；0<λi<1。

然后利用Backstepping思想反步穩(wěn)定性函數(shù),設(shè)計(jì)控制器為

(21)

那么不僅可以保證位置子系統(tǒng)滿足Lyapunov穩(wěn)定,還能夠保證其在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡態(tài)[18]。

1) 位置子系統(tǒng)穩(wěn)定性和有限時(shí)間收斂特性分析

首先定義Lyapunov函數(shù)為

(22)

則

(23)

然后將式(20)代入式(23)中可得

(24)

根據(jù)式(17)可以求得實(shí)際的控制器vc和期望的姿態(tài)角θr為:

(25)

針對(duì)姿態(tài)子系統(tǒng)，即

(26)

定義狀態(tài)誤差及其微分方程為:

(27)

構(gòu)造切換面和有限時(shí)間趨近律:

(28)

式中：aθ、bθ都為正數(shù)；0<λθ<1。

然后利用Backstepping思想反步穩(wěn)定性函數(shù),設(shè)計(jì)控制器為

(29)

那么不僅可以保證姿態(tài)子系統(tǒng)滿足Lyapunov穩(wěn)定,還能夠保證其在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡態(tài)。

2) 姿態(tài)子系統(tǒng)穩(wěn)定性和有限時(shí)間收斂特性分析

定義Lyapunov函數(shù)為

(30)

則有

(31)

(32)

3.3 固定時(shí)間滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

位置子系統(tǒng)誤差和速度子系統(tǒng)誤差方程為式(19),分別設(shè)計(jì)滑模切換面和固定時(shí)間趨近律如下:

(33)

式中：i=x,y,ai和bi都為正數(shù)；1<λi,1<2,0<λi,2<1,且λi,1+λi,2=2。

然后利用Backstepping思想反步穩(wěn)定性函數(shù),設(shè)計(jì)控制器。首先對(duì)式(33)求導(dǎo)得

(34)

將式(34)代入式(33)中可得控制器方程如下:

(35)

那么不僅可以保證位置子系統(tǒng)滿足Lyapunov穩(wěn)定,還能夠保證其在固定時(shí)間內(nèi)收斂到平衡態(tài)。

1) 位置子系統(tǒng)穩(wěn)定性和固定時(shí)間收斂特性分析

首先將式(22)代入式(23)可得:

(36)

根據(jù)式(16)可以求得實(shí)際的控制器vc和期望的姿態(tài)角θr為:

(37)

針對(duì)姿態(tài)子系統(tǒng)，即

(38)

定義狀態(tài)誤差及其微分方程為:

(39)

構(gòu)造切換面和固定時(shí)間趨近律:

(40)

式中：aθ、bθ都為正數(shù)；1<λθ,1<2,0<λθ,2<1,且λθ,1+λθ,2=2。

然后利用Backstepping思想反步穩(wěn)定性函數(shù),設(shè)計(jì)控制器為

(41)

那么不僅可以保證姿態(tài)子系統(tǒng)滿足Lyapunov穩(wěn)定,還能夠保證其在固定時(shí)間內(nèi)收斂到平衡態(tài)。

2) 姿態(tài)子系統(tǒng)穩(wěn)定性和固定時(shí)間收斂特性分析

定義Lyapunov函數(shù)為

(42)

則有

(43)

(44)

以上是爬壁機(jī)器人軌跡跟蹤控制器的設(shè)計(jì),下面分別對(duì)直線、正弦、圓軌跡進(jìn)行跟蹤仿真。

3.4 軌跡跟蹤仿真

仿真參數(shù)設(shè)置如下:

固定時(shí)間滑?？刂茀?shù)設(shè)置為:

(45)

(46)

有限時(shí)間滑?？刂茀?shù)設(shè)置為:

(47)

(48)

1) 跟蹤直線軌跡

給定直線期望狀態(tài)為:

(49)

爬壁機(jī)器人的初始狀態(tài)為:

(50)

普通滑模、有限滑模、固定滑模跟蹤直線的仿真結(jié)果如圖3和圖4所示,跟蹤直線的線速度和角速度仿真如圖5和圖6所示。

圖3 跟蹤直線軌跡

圖4 跟蹤直線誤差圖

圖5 跟蹤直線線速度

圖6 跟蹤直線角速度

結(jié)合下面仿真結(jié)果可以看出,普通滑模控制、有限時(shí)間滑?？刂坪凸潭〞r(shí)間滑?？刂凭芡瓿蓪?duì)爬壁機(jī)器人期望軌跡的跟蹤。從同一起初位置跟蹤軌跡的收斂速度從快到慢依次為:固定時(shí)間滑?？刂?有限時(shí)間滑?？刂?普通滑?？刂啤Ｊ諗繒r(shí)間分別為3 s、2 s和1 s;從對(duì)爬壁機(jī)器人位置狀態(tài)x、y、z的跟蹤誤差曲線上來看,跟蹤精度最高的為固定時(shí)間滑?？刂?其次是有限時(shí)間滑?？刂?。但從跟蹤直線角速度來看固定時(shí)間滑?？刂频某{(diào)略微大于有限時(shí)間滑?？刂啤?/p>

2) 跟蹤正弦軌跡

正弦曲線期望狀態(tài)為:

(51)

爬壁機(jī)器人的初始狀態(tài)為:

(52)

普通滑模、有限滑模、固定滑模跟蹤正弦的仿真結(jié)果如圖7和圖8所示,跟蹤正弦的線速度和角速度仿真如圖9和圖10所示。

圖7 跟蹤正弦軌跡

圖8 跟蹤正弦誤差

圖9 跟蹤正弦線速度

圖10 跟蹤正弦角速度

結(jié)合圖7到圖8來看,跟蹤速度最快的依然是固定時(shí)間滑?？刂品?其次是有限時(shí)間滑?？刂坪鸵话慊？刂?從跟蹤誤差收斂情況來看,固定時(shí)間滑?？刂坪陀邢迺r(shí)間滑?？刂剖諗克俣让黠@比普通滑?？刂聘焓諗康?。

3) 跟蹤圓軌跡

給定圓軌跡期望狀態(tài)為:

(53)

爬壁機(jī)器人初始狀態(tài)為:

(54)

普通滑模、有限滑模、固定滑模跟蹤圓的仿真結(jié)果如圖11和圖12所示,跟蹤圓的線速度和角速度仿真如圖13和圖14所示。

圖11 跟蹤圓軌跡圖

圖12 跟蹤圓誤差

圖13 跟蹤圓線速度

圖14 跟蹤圓角速度

對(duì)圓軌跡的跟蹤結(jié)果來看,固定時(shí)間滑模和有限時(shí)間滑?？刂凭煊谄胀ɑ？刂平Y(jié)果。跟蹤速度誤差收斂情況,普通滑模收斂時(shí)間約為2.5 s,有限時(shí)間滑模在2 s左右收斂到0;固定時(shí)間滑模誤差收斂速度最快,僅為大約1 s左右。所以跟蹤精度來說為固定時(shí)間滑模控制>有限時(shí)間滑?？刂?普通滑?？刂?。

綜合上述仿真結(jié)果來看,固定/有限時(shí)間滑模控制均比普通滑?？刂扑惴ǜ櫵俣雀烨腋櫿`差更小、跟蹤精度更高。結(jié)合圖5、圖6、圖9、圖10、圖13、圖14來看,兩種控制算法均具有良好的穩(wěn)定性。

4 結(jié)論

1) 針對(duì)現(xiàn)有爬壁機(jī)器人軌跡跟蹤精度存在的問題并結(jié)合工程實(shí)際需求,建立并推導(dǎo)了爬壁機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和位姿誤差方程。根據(jù)爬壁機(jī)器人自由度特征量與被控變量的關(guān)系,提出了一種采用外環(huán)的位置控制和內(nèi)環(huán)的姿態(tài)控制結(jié)合的雙閉環(huán)控制方法。

2) 設(shè)計(jì)了固定/有限時(shí)間滑模控制器和驗(yàn)證了系統(tǒng)穩(wěn)定性。固定/有限時(shí)間滑?？刂埔敕蔷€性系統(tǒng)使系統(tǒng)具有有限時(shí)間穩(wěn)定的平衡態(tài),并利用Backstepping思想反步穩(wěn)定性函數(shù),保證姿態(tài)子系統(tǒng)滿足Lyapunov穩(wěn)定,還能夠保證其在固定/有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡態(tài)。有限滑模控制器時(shí)間可以預(yù)知,但依賴于系統(tǒng)設(shè)置的初始條件。固定時(shí)間滑?？刂剖諗繒r(shí)間不依賴于初始條件,并且收斂時(shí)間快于有限滑模控制。

3) 利用MATLAB分別對(duì)兩種控制算法進(jìn)行了跟蹤圓軌跡、正弦軌跡、直線軌跡的跟蹤實(shí)驗(yàn),并與一般的滑?？刂扑惴▽?duì)比。結(jié)合仿真結(jié)果證明了固定/有限滑模控制沒有抖震,且比一般滑?？刂聘叩母櫨扰c更快的跟蹤速度。在性能上來看,固定滑?？刂聘鼉?yōu)于有限時(shí)間滑模和固定時(shí)間滑模。