爬壁機器人系統(tǒng)的Noether 對稱性和守恒量1)

傅景禮 陸曉丹 項 春

* (山東外事職業(yè)大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，山東威海 264504)

? (浙江水利水電學(xué)院機械與汽車工程學(xué)院，杭州 310018)

** (浙江理工大學(xué)數(shù)學(xué)物理研究所，杭州 310018)

1 引言

柔性機器人可以應(yīng)用到很多復(fù)雜和危險的環(huán)境中.關(guān)于柔性機器人的研究已經(jīng)逐漸成為數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、材料學(xué)等學(xué)科的熱門研究課題[1-7].

在柔性機器人的研究中,一種爬壁機器人受到關(guān)注.21 世紀(jì)初期,人們揭示了壁虎能夠攀爬在墻面上的原理[8],并掀起了制造爬壁機器人的浪潮.在國際上,爬壁機器人制造原理主要是通過模仿壁虎的運動[9].目前爬壁機器人按移動功能區(qū)分主要有吸盤式、車輪式和履帶式三種機器人.吸盤式能跨越很小的障礙,但移動速度慢;車輪式移動速度快、控制靈活,但維持一定的吸力較困難;履帶式對壁面適應(yīng)性強,著地面積大,但不易轉(zhuǎn)彎[10].斯坦福大學(xué)通過模仿壁虎的行走原理,研發(fā)了StickyBot 以及StickyBotⅢ[11]的仿壁虎機器人,模仿的是壁虎自身的行走原理[12-13],該機器人從吸附原理、運動形式都比較接近真實的壁虎.CMU (Carnegie Mellon University)微小型機器人實驗室研制了兩種結(jié)構(gòu)形式的爬壁機器人[14],即Waalbot 機器人和履帶式爬壁機器人,其中Waalbot 機器人是想尋求一種可以借助新的材料,利用粘附原理使爬壁機器人在豎直面上行走;另外一種履帶式壁虎機器人,試圖找到一種可以粘附在接觸面上的材料,使得履帶機器人像壁虎一樣在墻面上行走.雖然履帶式爬壁機器人可以承受較大的負載,但不能實現(xiàn)轉(zhuǎn)彎.加州大學(xué)伯克利分校與 iRobot 合作開發(fā)了Mecho-Gecko 爬壁機器人,它是兩輪驅(qū)動的四輪式機器人,通過在足上預(yù)裝粘合劑和剝離粘合劑來實現(xiàn)對壁面的吸附,其結(jié)構(gòu)相對比較復(fù)雜,他們后面又設(shè)計了6 腿的爬壁機器人Hexa-Gecko[9].美國克利夫蘭大學(xué)設(shè)計了一種輪腿式爬壁機器人Mini-Whegs[15],這是一種輪式機器人但只能前進不能夠后退和轉(zhuǎn)彎等,所以幾乎不能夠在實際中應(yīng)用.為了實現(xiàn)各種法向面的靈活過渡,東京工藝研究院和 Isikawajima-Harima 重工業(yè)有限公司聯(lián)合設(shè)計開發(fā)了“忍者 ”機器人[16],這是一種吸盤式爬壁機器人,該機器人可以很方便地實現(xiàn)前進后退,也可以橫向移動,也很容易實現(xiàn)墻面過渡,但是控制的過程特別復(fù)雜.

國內(nèi)在關(guān)于爬壁機器人的研究上也做了很多工作.中科院采用模板法已經(jīng)成功制成了類似壁虎絨毛的微納米分叉結(jié)構(gòu)[17].上海大學(xué)設(shè)計開發(fā)的采用真空吸附方式和腿足式移動機構(gòu),可以適應(yīng)不同曲率半徑的曲面,并可以跨越300 mm 的障礙[18].北京航空航天大學(xué)研究的“藍天潔士”系列是采用真空吸附技術(shù)的爬壁清洗機器人[19].南京航空航天大學(xué)研制了每個腿具有三個自由度的 IBSS 系列機器人[20-22],但這個機器人質(zhì)量比較大,載重能力不足,且身體的柔性不足,限制過多.近幾年中國科學(xué)院合肥物理科學(xué)研究院和中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)聯(lián)合提出“抓取+粘附+吸附”的爬壁機器人,相對于先前的爬壁機器人,該機器人可以實現(xiàn)在壁面上穩(wěn)定的附著同時可以滿足在多個壁面上爬行.操縱過程也得到進一步的優(yōu)化[23-24].

爬壁機器人在進入環(huán)境復(fù)雜的壁面進行工作時,它的柔性狀態(tài)尤其重要.要建立柔性爬壁機器人的動力學(xué)方程,必須對爬壁機器人的運動形態(tài)進行分析.雖然國內(nèi)外有很多實驗室開發(fā)研究做出了不同類型的爬壁機器人.但是對于爬壁機器人的動力學(xué)研究基本上僅限于牛頓力學(xué)方法,由于爬壁機器人結(jié)構(gòu)復(fù)雜,約束過多,使得研究十分困難.而基于能量和廣義坐標(biāo)的拉格朗日力學(xué)方法對于解決復(fù)雜和多約束的問題具有優(yōu)勢.邵潔[25]利用Lagrange 方法建立了爬壁機器人后肢的Lagrange 方程,這個工作顯然很不完善.

另一方面,李群理論為求解復(fù)雜的微分方程提出了對稱性分析方法[26].其中兩種基本的Noether對稱性方法和Lie 對稱性方法已經(jīng)成為求解復(fù)雜工程問題的有效工具[27].眾所周知,Noether 對稱性方法是基于系統(tǒng)的Hamilton 作用量在變換Lie 群下的不變性給出的一種對稱性,來尋找系統(tǒng)存在的守恒量,Noether 對稱性方法給出了系統(tǒng)存在的對稱性和守恒量(即第一積分,運動常數(shù))之間的一一對應(yīng)關(guān)系.近年來復(fù)雜約束力學(xué)系統(tǒng)的Noether 對稱性理論已趨于完善[28-39],并在物理、連續(xù)體,量子力學(xué)及諸多工程中得到應(yīng)用[40-42].

本文擬研究接近于真實壁虎爬行運動的腿式爬壁機器人的Lagrange 方程和Noether 對稱性理論.首先,建立爬壁機器人系統(tǒng)的四肢的一個平面簡化模型,對爬壁機器人系統(tǒng)引入恰當(dāng)?shù)膹V義坐標(biāo),并將直角坐標(biāo)表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù),給出爬壁機器人系統(tǒng)的動能和勢能從而給出爬壁機器人系統(tǒng)的Lagrange 函數(shù),采用不定乘子法,推導(dǎo)出非完整爬壁機器人系統(tǒng)的Lagrange 方程;其次,引入關(guān)于時間和廣義坐標(biāo)的無限小變換,給出爬壁機器人系統(tǒng)Noether 對稱性的定義、判據(jù)和存在的Noether 守恒量;再者,基于爬壁機器人系統(tǒng)存在的守恒量,給出了該系統(tǒng)的精確解;最后,以在圓錐壁面上爬壁機器人為例,很好地驗證了給出的爬壁機器人系統(tǒng)的對稱性理論,并進一步給出了該爬壁機器人系統(tǒng)的機身精確解以及四肢的數(shù)值解,即得到了該爬壁機器人系統(tǒng)的運動規(guī)律.

2 爬壁機器人的動力學(xué)分析

爬壁機器人大體上分為履帶式,輪式,腿式.其中運動原理最接近壁虎行走過程的是腿式機器人,該機器人是通過模仿壁虎在行走過程中的形態(tài)建立起的爬壁機器人模型.本文主要研究腿式機器人,一方面腿式機器人較其他類型機器人的應(yīng)用范圍要廣;另一方面,在運動過程中腿式機器人是最貼合壁虎的運動過程的.本文將分析腿式爬壁機器人(如圖1所示)的運動.

圖1 斯坦福大學(xué)的StickyBotIII 機器人Fig.1 StickyBotIII robot at Stanford University

爬壁機器人的運動可以看成是四肢帶動身體的一種運動,每條腿上有四個電機驅(qū)動,腿部采用桿來連接.該爬壁機器人從運動形式和吸附原理都接近于真實的壁虎.爬壁機器人的工作環(huán)境一般是在豎直面,圓柱面以及圓錐面等.本文所討論的爬壁機器人的工作環(huán)境為圓錐壁面,因為圓錐壁面較其他壁面更為復(fù)雜,因此只要爬壁機器人可以實現(xiàn)在圓錐壁面上的行走,那么在其余的工作環(huán)境也可以行走.

2.1 爬壁機器人四肢運動學(xué)

首先計算爬壁機器人在圓錐壁面上四肢相對于身體的坐標(biāo)和速度.

考慮爬壁機器人的運動,根據(jù)爬壁機器人的肢體形態(tài)特點,為簡化起見,將爬壁機器人四肢各關(guān)節(jié)看成是一個自由度的轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié).并將爬壁機器人的單支腿簡化為如圖2 所示,簡化結(jié)構(gòu)由身體0、股骨1、脛骨2 和腳掌3 組成.構(gòu)件1 和構(gòu)件0 的連接處為髖關(guān)節(jié),構(gòu)件1 和構(gòu)件2 的連接處為膝關(guān)節(jié),構(gòu)件2 和構(gòu)件3 的連接處為踝關(guān)節(jié).θ1,θ2,θ3分別為股骨1、脛骨2 和腳掌3 與鉛垂線的夾角(規(guī)定關(guān)節(jié)與鉛垂線逆時針的夾角為正,順時針的夾角為負).股骨1、脛骨2 和腳掌3 的質(zhì)心坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) .令qi=θi(i=1,2,3) 作為廣義坐標(biāo),并用廣義坐標(biāo)表示直角坐標(biāo).

圖2 爬壁機器人單腿簡化圖Fig.2 Simplified view of a single leg of a wall-climbing robot

為簡便起見,假設(shè)爬壁機器人腿部股骨、脛骨和腳掌長度,質(zhì)量相等.分別記為 2l和m′.那么,爬壁機器人的股骨相對于身體的質(zhì)心坐標(biāo)可用廣義坐標(biāo)表示為

脛骨相對于身體的質(zhì)心坐標(biāo)可用廣義坐標(biāo)表示為

腳掌相對于身體的坐標(biāo)可用廣義坐標(biāo)表示為

因此股骨相對于身體的速度為

脛骨相對于身體的速度為

腳掌相對于身體的速度為

2.2 爬壁機器人機身運動學(xué)

接下來研究爬壁機器人在運動過程中機身重心位置坐標(biāo)以及重心位置的速度變化.爬壁機器人的工作壁面為圓錐曲面,如圖3 所示.

圖3 圓錐曲面上的爬壁機器人Fig.3 A wall-climbing robot on a conical surface

在地面中心創(chuàng)建一個固定的笛卡爾坐標(biāo)系{x,y,z},則在圓錐壁面工作環(huán)境下,爬壁機器人的質(zhì)心位置根據(jù)幾何學(xué)可以表示為

其中,a為圓錐壁面底面圓的半徑,b為圓錐壁面頂面圓的半徑,h為圓錐壁面的高度,α 為圓錐頂角的一半,θ4為爬壁機器人在底面投影與原點距離的連線與坐標(biāo)系x軸之間的夾角.其中

選取q4=θ4,q5=θ5,q6=z為爬壁機器人在圓錐壁面上爬行的機身重心廣義坐標(biāo),其中 θ5為爬壁機器人機身的轉(zhuǎn)動角,則爬壁機器人的機身重心位置的速度為

2.3 爬壁機器人系統(tǒng)動力學(xué)分析

通過對壁虎運動的研究發(fā)現(xiàn)[33],在攀爬的過程中,壁虎的四條腿并不是同時運動,而是以圖4 這種方式向上爬行.

圖4 壁虎的爬行運動Fig.4 The creeping movement of a gecko

圖中黃色圓點表示腳掌與壁面接觸.因為所研究的爬壁機器人系統(tǒng)是建立在壁虎的仿生學(xué)基礎(chǔ)上,所以對壁虎的運動步態(tài)研究就等價于對爬壁機器人系統(tǒng)的步態(tài)研究.圖2～圖4 表明,爬壁機器人系統(tǒng)在攀爬過程中始終有兩個腳掌是與壁面接觸的,并且在爬行過程中均采用的是對角步態(tài),即左側(cè)前腳與右側(cè)后腳同時運動,右側(cè)前腳與左側(cè)后腳同時運動.同時,通過觀察發(fā)現(xiàn),爬壁機器人系統(tǒng)在運動過程中,支撐腿在運動時帶動身體運動,同時另外對角兩條腿也運動.并且發(fā)現(xiàn),兩條支撐腿相對應(yīng)的各個關(guān)節(jié)的運動廣義坐標(biāo)角度基本上是相等的.因此為簡便起見可將四肢的動能看成是相等的.

設(shè)爬壁機器人系統(tǒng)在爬壁中不發(fā)生滑動,只存在靜摩擦,那么可以得到爬壁機器人的非完整約束條件為

為方便起見,假設(shè)爬壁機器人系統(tǒng)在爬壁過程中四肢的動能相同.由此非完整爬壁機器人系統(tǒng)的動能為

其中,T1為非完整爬壁機器人系統(tǒng)相對于身體單條腿的動能,T′為爬壁機器人系統(tǒng)機身的動能,分別為

由式(10)可得

在式(12)和式(13)中,m′為單條腿一關(guān)節(jié)的質(zhì)量,m為爬壁機器人系統(tǒng)機身的質(zhì)量,J為爬壁機器人系統(tǒng)身體的轉(zhuǎn)動慣量,J1為爬壁機器人系統(tǒng)單條腿中關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動慣量(本文假設(shè)爬壁機器人系統(tǒng)單支腿各個關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動慣量相等).

非完整爬壁機器人系統(tǒng)的勢能為

由此非完整爬壁機器人系統(tǒng)的Lagrange 函數(shù)為

非完整爬壁機器人系統(tǒng)的運動微分方程,即Routh方程為

為廣義約束反力.方程(20)為非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機器人系統(tǒng)的Lagrange方程.非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)的運動微分方程的解可在方程(20)的解中找到.當(dāng)爬壁機器人系統(tǒng)在運動過程中滿足非完整約束條件(10),則方程(20)的解便可給出非完整爬壁機器人系統(tǒng)(17)的運動規(guī)律.

3 爬壁機器人系統(tǒng)的Noether 對稱性和Noether 守恒量

引入關(guān)于時間和廣義坐標(biāo)的無限小變換

方程(22)可展開為

引入爬壁機器人系統(tǒng)的Hamilton 作用量

其中,γ 為某曲線,L為爬壁機器人系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù),q=(q1,q2,···,q6) .在變換式(23)下,曲線 γ 將變?yōu)橄嗫拷那€ γ?,爬壁機器人系統(tǒng)相應(yīng)的Hamilton作用量變換為

作用量S的變分 ?S為差S(γ?)?S(γ) 的相對 ε 的主線性部分,根據(jù)全變分和等時變分之間關(guān)系,有

將式(23)代入式(27)并注意到

得到

式(28)和式(30)就是完整爬壁機器人系統(tǒng)的Hamilton 作用量變分的基本公式.

定義1如果爬壁機器人系統(tǒng)的Hamilton 作用量是無限小變換式(22)或式(23)下的不變量,即無限小變換滿足

則無限小變換是完整爬壁機器人系統(tǒng)的Noether 對稱性變換.

定義2對于受到非勢廣義力和廣義非完整約束力的非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)的Hamilton 作用量是無限小變換式(22)或式(23)下的不變量,即無限小變換滿足

由定義公式(31)和基本公式(28)和(30)可以得到完整爬壁機器人系統(tǒng)的如下判據(jù):

判據(jù) 1對于無限小群變換式(22),如果滿足條件

則變換式(22)是完整爬壁機器人系統(tǒng)的Noether 對稱變換.

判據(jù) 2對于無限小群變換式(23),如果滿足條件

則變換式(23)為完整爬壁機器人系統(tǒng)的Noether 對稱變換.

利用關(guān)系(24),由于 ε 獨立性可以得到完整爬壁機器人系統(tǒng)的Noether 恒等式

Noether 定理1如果無限小變換式(23)是完整爬壁機器人系統(tǒng)的Noether 對稱變換,則該系統(tǒng)存在如下形式的守恒量

Noether 定理1 也可以表示為Noether 定理2.

Noether 定理2:對于完整爬壁機器人系統(tǒng),如果無限小變換式(22)或式(23)滿足Noether 恒等式(35),則完整爬壁機器人系統(tǒng)存在守恒量(36).

用定義公式(32)及基本公式(28)和(30)可以得到非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機器人系統(tǒng)(10)和(20)廣義Noether 準(zhǔn)對稱性的如下判據(jù):

判據(jù) 3對于無限小群變換式(22),如果滿足條件

則變換式(22)是非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機器人系統(tǒng)的廣義Noether 準(zhǔn)對稱變換.

判據(jù) 4對于無限小群變換式(23),如果滿足條件

則變換式(23)為非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機器人系統(tǒng)的廣義Noether 準(zhǔn)對稱變換.

利用關(guān)系(24),由于 ε 獨立性可以得到非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機器人系統(tǒng)(10)和(20)的Noether 恒等式

Noether 定理3:如果存在規(guī)范函數(shù)G,使得無限小變換式(23)是非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機器人系統(tǒng)(10)和(20)的廣義Noether 準(zhǔn)對稱變換,則該系統(tǒng)存在如下形式的守恒量

Noether 定理3 可以表示為Noether 定理4.

Noether 定理4:對于非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機器人系統(tǒng)(10)和(20),如果存在規(guī)范函數(shù)G使得無限小變換式(22)或式(23)滿足Noether 恒等式(39),則該系統(tǒng)存在守恒量(40).

定義3如果無限小變換式(23)是非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)(10)和(17)的廣義Noether 準(zhǔn)對稱性變換,且變換還滿足條件

則稱變換式(23)是非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)(10)和(17)的強廣義Noether 準(zhǔn)對稱變換.

Noether 定理5:如果存在規(guī)范函數(shù)G使得無限小變換式(23)是非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)(10)和(17)的強廣義Noether 準(zhǔn)對稱變換,則該系統(tǒng)存在守恒量(40).

當(dāng)條件(41)放寬為以下條件

便可以得出非完整爬壁機器人系統(tǒng)(10)和(17)的弱廣義Noether 準(zhǔn)對稱變換.

定義4如果無限小變換式(23)是非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)(10)和(17)的廣義Noether 準(zhǔn)對稱性變換,且變換還滿足條件(42)則稱變換式(23)為非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)(10)和(17)的弱廣義Noehter 準(zhǔn)對稱變換.

Noether 定理6:如果存在規(guī)范函數(shù)G使得無限小變換式(23)是非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)(10)和(17)的弱廣義Noether 準(zhǔn)對稱變換,則該系統(tǒng)存在守恒量(40).

由Noether 守恒量(40)再給定初始條件便可得出非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機器人系統(tǒng)在圓錐壁面上爬壁過程中的運動規(guī)律.

4 利用爬壁機器人系統(tǒng)的Noether 守恒量求其運動規(guī)律

在分析力學(xué)領(lǐng)域,近30 年來我國梅鳳翔教授帶領(lǐng)眾多學(xué)者從事約束力學(xué)系統(tǒng)的Noether 對稱性和Lie 對稱性的研究工作[27,43-59],并提出了約束力學(xué)系統(tǒng)的形式不變性(也稱梅對稱性)理論[60,61],建立了約束力學(xué)系統(tǒng)的對稱性理論,在國際上產(chǎn)生一定影響.然而在先前的工作中,一般是根據(jù)系統(tǒng)的某種對稱性給出系統(tǒng)存在的守恒量(第一積分或運動常數(shù)),很少進一步由守恒量給出系統(tǒng)的精確解.事實上,當(dāng)?shù)贸龅谝环e分(守恒量,它是一階微分方程),那么守恒量的求解已經(jīng)沒有困難,對于專門從事于對稱性理論研究的人員來說,關(guān)于守恒量的求解不需繼續(xù)進行.然而,近幾年來一些學(xué)者對此提出異議,并建議將約束力學(xué)系統(tǒng)對稱性理論應(yīng)用于多體系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、連續(xù)介質(zhì)系統(tǒng)和工程實際中,因為該方法可為復(fù)雜系統(tǒng)提供一個更好的解決思路和方向.下面以復(fù)雜的非完整爬壁機器人系統(tǒng)為例,由爬壁機器人系統(tǒng)存在的守恒量,給出爬壁機器人系統(tǒng)的解,即給出爬壁機器人系統(tǒng)的運動規(guī)律.

Bluman 對從微分方程的對稱性給出特征方程,再得到方程對應(yīng)的多個第一積分方法進行了系統(tǒng)研究[26].方法表明,如果微分方程的階數(shù)和守恒量的數(shù)目相等,便可積分給出微分方程的解.

前面爬壁機器人系統(tǒng)給出的Noether 守恒量都是一階方程,當(dāng)給定初始條件時,利用直接積分的方法,便可解出非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)的解,即給出非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)的運動規(guī)律.

5 算例

通過以上討論,已經(jīng)得出非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)在圓錐壁面上的Lagrane 函數(shù)以及非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)的運動微分方程,并給出了爬壁機器人系統(tǒng)的Noether 對稱性理論,下面以圓錐壁面上爬壁機器人為例,給出相應(yīng)的Lagrange 方程,Noether 對稱性和Noether 守恒量,Noether 定理,以驗證爬壁機器人Noether 對稱性理論.并由圓錐壁面上爬壁機器人的守恒量給出精確解,即運動規(guī)律.

5.1 圓錐面上爬壁機器人的Lagrange 方程

將式(10),式(16)及式(19)代入到式(17)和式(18)中得

式(43)是非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)在圓錐壁面上的Routh 方程.但如果直接對式(43) 求Lagrang 乘子 λ 是非常復(fù)雜的.為了簡便起見,現(xiàn)假設(shè)在圓錐面上爬壁機器人單支腿任意兩個廣義坐標(biāo)中有如下關(guān)系

此時非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)在圓錐壁面上的Routh 方程(43)可化簡為

式(45)～ 式(50)便是化簡后非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)在圓錐壁面上的Routh 方程.

由式(45)～ 式(47)解出Lagrange 乘子 λ 即

將乘子(51)代入到方程式(45)～ 式(47),即可得到 非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機器人系統(tǒng)的Lagrange 方程

5.2 爬壁機器人的Noether 等式和Noether 守恒量

將式(10)、式(16)、式(19)和式(51)代入式(39),并由假設(shè)(44)得到非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機器人系統(tǒng)的Noether 恒等式為

取無限小變換生成元和規(guī)范函數(shù)為

以上得到的生成元和規(guī)范函數(shù)是對應(yīng)于非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整圓錐壁面上爬壁機器人系統(tǒng)的廣義準(zhǔn)對稱變換.

將無限小變換式(59)～ 式(64)分別代入到式(41)和式(42)中.其中無限小變換式(59)～ 式(61)不滿足式(41)及式(42),無限小變換式(62)～ 式(64)滿足式(41).因此無限小變換式(62)～ 式(64)對應(yīng)非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)的強廣義準(zhǔn)對稱變換.

對無限小變換式(59)～ 式(61),由Noether 定理3 的守恒量(40)分別給出為

對無限小變換式(62)～ 式(64),由Noether 定理4 的守恒量(40)分別給出為

顯然,守恒量I6是平庸的.其中守恒量I1,I2,···,I5是非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機器人系統(tǒng)的Noether 守恒量.I4,I5是非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)的Noether 守恒量.

下面驗證I1,I2,···,I5的守恒性.式(65)對時間求導(dǎo)得

即I1是一個守恒量.

將式(66)對時間求導(dǎo)得

由式(53)得

即I2是一個守恒量.

將式(67)對時間求導(dǎo)得

由式(54)得

即I3是一個守恒量.

將式(68)對時間求導(dǎo)得

由式(55)得

即I4是一個守恒量.

將式(69)對時間求導(dǎo)得

由式(56)得

即I5是一個守恒量.

可見式(65)～ 式(67)是非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機器人系統(tǒng)的Noether守恒量.式(68)～ 式(70)是非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)的Noether 守恒量.

5.3 圓錐壁面上爬壁機器人機身的運動規(guī)律

利用非保守非完整爬壁機器人的守恒量(68)和(69),可以得出非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)在圓錐壁面上機身的運動規(guī)律.

對Noether 守恒量(69)積分可得

其中,c5為Noether 守恒量(69)的常數(shù),c為不定積分常量.由上式可以看出,爬壁機器人在圓錐壁面上機身的旋轉(zhuǎn)角與時間成正比.

由式(68)得

其中,c4為Noether 守恒量(68)中的常數(shù).將式(82)代入到式(57)中得

對式(84)利用泰勒公式展開同時精確到一階無窮小量可以得到

求解式(87)得

假設(shè)非保守非完整爬壁機器人在t=0 時以初速度v沿著壁面從底部向上爬行.即t=0 時,q6=0,=vcosα根據(jù)初始條件可得

為分析運動規(guī)律將式(88)化簡得

同樣利用泰勒公式展開式(83)得

將式(90)代入到式(91)可得

對式(92)積分可得

從式(90)可以看到非保守非完整爬壁機器人在爬壁過程中高度q6和初始速度v,爬壁機器人總體的重量,圓錐壁面的頂角以及底面圓的半徑有關(guān).并且該式的周期為,一般情況下,爬壁機器人機身的重量是非常大的,并且圓錐壁面 α 角一般來說比較小,即T是一個非常大的數(shù),不妨假設(shè)爬壁機器人在爬壁過程中在T/4 時間內(nèi)就足以爬到頂峰.這個結(jié)論說明,爬壁機器人在爬壁過程中的高度隨時間呈非線性遞增.

從式(93)可以看出非保守非完整爬壁機器人在爬壁過程中,非保守非完整爬壁機器人在底面投影與原點距離的連線與坐標(biāo)系x軸之間的夾角q4和時間之間呈非線性關(guān)系.

5.4 圓錐壁面上爬壁機器人四肢運動規(guī)律

利用非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機器人系統(tǒng)的守恒量(65)～ (67),便可以得出非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機器人系統(tǒng)在圓錐壁面上四肢的運動規(guī)律.

為方便研究非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機器人系統(tǒng)在圓錐壁面上的四肢運動規(guī)律,將爬壁機器人系統(tǒng)四肢的各個關(guān)節(jié)看成是細直桿.由細直桿的轉(zhuǎn)動慣量[62]可以得知各關(guān)節(jié)中心位置的轉(zhuǎn)動慣量為

將式(94)代入式(65)～式(67)得

通過查閱相關(guān)文獻[35],同時考慮到計算的簡便可設(shè)相應(yīng)參數(shù)的值為

同時假設(shè)式(65)～ 式(67)中守恒量的常數(shù)為

將式(98)和式(99)代入到式(95)～ 式(97)后可得

假設(shè)初始狀態(tài)下

可以得到圖5 所示的數(shù)值解.

圖5 四肢各關(guān)節(jié)運動規(guī)律Fig.5 The motion rule of each joint of limbs

通過圖5 可以得出在運動過程中隨著時間的增加,非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機器人系統(tǒng)的股骨,脛骨與鉛垂線的夾角q1和q2越來越小并單調(diào)遞減.這里負值表示爬壁機器人的各關(guān)節(jié)與鉛垂線順時針方向的夾角.因此單看廣義坐標(biāo)q1和q2夾角的度數(shù)來說是先減少后增加,即爬壁機器人在爬壁過程中的股骨和脛骨是左右擺動的.

最后,非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機器人系統(tǒng)中腳掌與鉛垂線的夾角呈單調(diào)遞增.并且通過圖像發(fā)現(xiàn),廣義坐標(biāo)q3的夾角的增長速度呈現(xiàn)指數(shù)上升的趨勢.這也就說明爬壁機器人在爬壁過程中,其腳掌的靈活性要比股骨和脛骨的靈活性高,同時表現(xiàn)出爬壁機器人在爬壁過程中的四肢各個關(guān)節(jié)中,腳掌的作用力起著重要作用.這也與文獻[43]中壁虎四肢的運動規(guī)律一致.

6 結(jié)論

綜合本文的研究,給出如下結(jié)論.

(1) 對爬壁機器人這一復(fù)雜的動力學(xué)系統(tǒng),本文基于其動能和勢能構(gòu)建了Lagrange 函數(shù),選擇恰當(dāng)?shù)膹V義坐標(biāo),建立了系統(tǒng)的Lagrange 方程;引入Lie 群方法,基于爬壁機器人系統(tǒng)的Hamilton 作用量在變換Lie 群下的不變性,建立了系統(tǒng)的Noether對稱性理論,找到了系統(tǒng)存在的一系列守恒量;基于給出的守恒量進行了詳細的求解,給出了爬壁機器人系統(tǒng)機身的精確解和四肢的數(shù)值解,發(fā)現(xiàn)了在圓錐壁面上爬壁機器人的運動規(guī)律.

(2) 爬壁機器人是一個多體非完整約束系統(tǒng),采用的Lagrange 力學(xué)方法比牛頓力學(xué)方法優(yōu)勢明顯,方法簡介:首次將Lie 群分析方法用于復(fù)雜的爬壁機器人系統(tǒng),建立了Noether 對稱性理論,發(fā)現(xiàn)了該系統(tǒng)在運動過程中存在的守恒量,為Lie 群分析方法應(yīng)用于其他機器人系統(tǒng)奠定了基礎(chǔ);通過利用爬壁機器人系統(tǒng)存在的守恒量,給出了系統(tǒng)的精確解和數(shù)值解,為約束力學(xué)系統(tǒng)的Noether 對稱性理論應(yīng)用于其他機器人系統(tǒng)展示了美好前景.

(3) 提出爬壁機器人系統(tǒng)的Routh 方程,求出Lagrange 乘子(51),建立了圓錐曲面上爬壁機器人系統(tǒng)的Lagrange 方程(52)～ (57).

(4) 系統(tǒng)建立了爬壁機器人系統(tǒng)的Noether 對稱性理論.定義爬壁機器人系統(tǒng)的Hamilton 作用量,給出了Hamilton 作用量的基本變分公式(28)和(30);引入關(guān)于爬壁機器人系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和時間的無限小變換(Lie 群變換),基于Hamilton 作用量在變換Lie 群下的不變性,提出了完整爬壁機器人系統(tǒng)的Noether 定理1 和Noether 定理2,在此基礎(chǔ)上提出了非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)相應(yīng)于非保守完整爬壁機器人系統(tǒng)的Noether 定理3 和Noether 定理4,同時提出了非保守非完整爬壁機器人系統(tǒng)的Noether 定理5 和Noether 定理6;基于給出的Noether定理,求出圓錐面上爬壁機器人的Noether 恒等式(58)和一系列對稱性的變換Lie 群(59)～ (64);發(fā)現(xiàn)了圓錐面上爬壁機器人存在的守恒量I1,I2,···,I6.

(5) 基于給出的守恒量I1,I2,···,I6,給出了圓錐曲面上爬壁機器人機身運動的精確解(81)、(90)和(93)以及四肢在特定參數(shù)下運動的數(shù)值解(100),即解圖5.發(fā)現(xiàn)了圓錐曲面上爬壁機器人在爬壁過程中的股骨和脛骨是左右擺動的,其腳掌的靈活性要比股骨和脛骨的靈活性高,同時表現(xiàn)出爬壁機器人在爬壁過程中的四肢各個關(guān)節(jié)中,腳掌的作用力起著重要作用,這個結(jié)論與壁虎爬壁過程中四肢運動規(guī)律結(jié)論一致.

(6) 研究表明對于一般的爬壁機器人系統(tǒng)的Lagrange 方程存在突出的非線性項,要給出對稱性的一般解(精確解)是困難的,只能給出對稱性的數(shù)值解.

(7) 本文基于爬壁機器人系統(tǒng)的Hamilton 作用量在變換Lie 群下的不變性建立了系統(tǒng)的Noether對稱性理論,接下來考慮爬壁機器人系統(tǒng)的Lagrange方程在變換Lie 群下的不變性,建立系統(tǒng)的Lie 對稱性理論,并研究在相空間中爬壁機器人系統(tǒng)的Noether 對稱性理論和Lie 對稱性理論.

(8) 本文給出的方法可以推廣應(yīng)用于其他柔性機器人系統(tǒng).